10.12: Пропорція

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 10.11: Кореляція
- 10.13: Статистична грамотність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Оцініть частку населення за пропорціями вибірки
Застосуйте корекцію для безперервності
Обчислити довірчий інтервал

Кандидат у двомісні виборчі комісії проводять опитування, щоб визначити, хто попереду. Опитувач випадковим чином вибирає $500$ зареєстрованих виборців і визначає, що $260$ на $500$ користь кандидата. Іншими словами, $0.52$ за зразком виступає кандидат. Хоча ця оцінка частки є інформативною, важливо також обчислити довірчий інтервал. Довірчий інтервал обчислюється на основі середнього і стандартного відхилення розподілу вибірки пропорції. Формули для цих двох параметрів наведені нижче:

$\mu _p=\pi$

$\sigma _p=\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{N}}$

Оскільки ми не знаємо параметра популяції $\pi$ , ми використовуємо пропорцію вибірки в $p$ якості оцінки. Таким чином, передбачувана стандартна похибка $p$

$s _p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}$

Ми починаємо з взяття нашої statistic ( $p$ ) і створення інтервалу, який діапазонів ( $Z_{0.95}$ $s_p$ ) () в обох напрямках, де $Z_{0.95}$ кількість стандартних відхилень, що виходять від середнього нормального розподілу, $0.95$ необхідного для утримання області (див. Розділ про довіру інтервал для середнього значення). Значення $Z_{0.95}$ обчислюється за допомогою звичайного калькулятора і дорівнює $1.96$ . Потім ми робимо невелике коригування, щоб виправити той факт, що розподіл дискретний, а не безперервний.

Калькулятор нормального розподілу

$s_p$ розраховується, як показано нижче:

$s _p=\sqrt{\frac{(0.52)(1-0.52)}{300}}=0.0223$

Щоб виправити на те, що ми апроксимуємо дискретний розподіл з безперервним розподілом (нормальним розподілом), віднімаємо $0.5/N$ з нижньої межі і додаємо $0.5/N$ до верхньої межі інтервалу. Тому довірчий інтервал

$p\pm Z_{0.95}\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}\pm \frac{0.5}{N}$

$\text{Lower limit}: 0.52 - (1.96)(0.0223) - 0.001 = 0.475$

$\text{Upper limit}: 0.52 + (1.96)(0.0223) + 0.001 = 0.565$

$0.475 \leq \pi \leq 0.565$

Оскільки інтервал простягається $0.045$ в обидві сторони, похибка дорівнює $0.045$ . З точки зору відсотків, між $47.5\%$ і $56.5\%$ з виборців віддають перевагу кандидату, і похибка є $4.5\%$ . Майте на увазі, що похибка $4.5\%$ - це похибка для відсотка, що сприяє кандидату, а не похибка для різниці між відсотком, що сприяє кандидату, і відсотком, що сприяє опоненту. Похибка для різниці становить $9\%$ , в два рази перевищує похибку для окремих відсотків. Майте це на увазі, коли ви чуєте повідомлення в засобах масової інформації; ЗМІ часто отримують це неправильно.