10.12: Пропорція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98018

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Оцініть частку населення за пропорціями вибірки
Застосуйте корекцію для безперервності
Обчислити довірчий інтервал

Кандидат у двомісні виборчі комісії проводять опитування, щоб визначити, хто попереду. Опитувач випадковим чином вибирає\(500\) зареєстрованих виборців і визначає, що\(260\) на\(500\) користь кандидата. Іншими словами,\(0.52\) за зразком виступає кандидат. Хоча ця оцінка частки є інформативною, важливо також обчислити довірчий інтервал. Довірчий інтервал обчислюється на основі середнього і стандартного відхилення розподілу вибірки пропорції. Формули для цих двох параметрів наведені нижче:

\[\mu _p=\pi\]

\[\sigma _p=\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{N}}\]

Оскільки ми не знаємо параметра популяції\(\pi\), ми використовуємо пропорцію вибірки в\(p\) якості оцінки. Таким чином, передбачувана стандартна похибка\(p\)

\[s _p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}\]

Ми починаємо з взяття нашої statistic (\(p\)) і створення інтервалу, який діапазонів (\(Z_{0.95}\)\(s_p\)) () в обох напрямках, де\(Z_{0.95}\) кількість стандартних відхилень, що виходять від середнього нормального розподілу,\(0.95\) необхідного для утримання області (див. Розділ про довіру інтервал для середнього значення). Значення\(Z_{0.95}\) обчислюється за допомогою звичайного калькулятора і дорівнює\(1.96\). Потім ми робимо невелике коригування, щоб виправити той факт, що розподіл дискретний, а не безперервний.

Калькулятор нормального розподілу

\(s_p\)розраховується, як показано нижче:

\[s _p=\sqrt{\frac{(0.52)(1-0.52)}{300}}=0.0223\]

Щоб виправити на те, що ми апроксимуємо дискретний розподіл з безперервним розподілом (нормальним розподілом), віднімаємо\(0.5/N\) з нижньої межі і додаємо\(0.5/N\) до верхньої межі інтервалу. Тому довірчий інтервал

\[p\pm Z_{0.95}\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}\pm \frac{0.5}{N}\]

\[\text{Lower limit}: 0.52 - (1.96)(0.0223) - 0.001 = 0.475\]

\[\text{Upper limit}: 0.52 + (1.96)(0.0223) + 0.001 = 0.565\]

\[0.475 \leq \pi \leq 0.565\]

Оскільки інтервал простягається\(0.045\) в обидві сторони, похибка дорівнює\(0.045\). З точки зору відсотків, між\(47.5\%\) і\(56.5\%\) з виборців віддають перевагу кандидату, і похибка є\(4.5\%\). Майте на увазі, що похибка\(4.5\%\) - це похибка для відсотка, що сприяє кандидату, а не похибка для різниці між відсотком, що сприяє кандидату, і відсотком, що сприяє опоненту. Похибка для різниці становить\(9\%\), в два рази перевищує похибку для окремих відсотків. Майте це на увазі, коли ви чуєте повідомлення в засобах масової інформації; ЗМІ часто отримують це неправильно.