10.11: Кореляція

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 10.10: Різниця між засобами
- 10.12: Пропорція

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Вказати стандартну помилку $z'$
Обчислити довірчий інтервал $\rho$

Розрахунок довірчого інтервалу за значенням популяції кореляції Пірсона ( $\rho$ ) ускладнюється тим, що розподіл вибірки не розподіляється нормально. $r$ Рішення полягає в $z'$ перетворенні Фішера, описаному в розділі про розподіл вибірки р Пірсона, кроками обчислення довірчого інтервалу для $\rho$ є:

Перетворити $r$ на $z'$ .
Обчислити довірчий інтервал з точки зору $z'$ .
Перетворіть довірчий інтервал назад в $r$ .

Візьмемо дані з тематичного дослідження Animal Research як приклад. У цьому дослідженні студентів попросили оцінити ступінь, до якої вони вважали, що дослідження тварин є неправильним, і ступінь, до якої вони вважали це необхідним. Як ви могли очікувати, між цими двома змінними існував негативний зв'язок: чим більше студенти вважали, що дослідження тварин є неправильними, тим менше вони вважали це необхідним. Кореляція, заснована на $34$ спостереженнях, є $-0.654$ . Проблема полягає в тому, щоб обчислити $95\%$ довірчий інтервал на $\rho$ основі $r$ цього $-0.654$ .

Перетворення $r$ в $z'$ можна зробити за допомогою калькулятора. Цей калькулятор показує, що $z'$ асоційований $r$ з $-0.654$ a is $-0.78$ .

Розподіл вибірки приблизно $z'$ нормально розподілений і має стандартну похибку

$\frac{1}{\sqrt{N-3}}$

Для цього прикладу $N = 34$ і тому стандартна помилка є $0.180$ . $95\%$ Довірчий інтервал ( $Z_{0.95}$ ) - це $1.96$ , як це можна знайти за допомогою звичайного калькулятора розподілу (встановлення затіненої області $0.95$ та натискання кнопки «Між»). $Z$ Таким чином, довірчий інтервал обчислюється як:

$\text{Lower limit} = -0.775 - (1.96)(0.18) = -1.13$

$\text{Upper limit} = -0.775 + (1.96)(0.18) = -0.43$

Останнім кроком є перетворення кінцевих точок інтервалу назад до $r$ використання калькулятора. $r$ $z'$ Асоційоване з a of $-1.13$ is $-0.81$ і $r$ пов'язане з a $z'$ of $-0.43$ is $-0.40$ . Тому кореляція населення ( $\rho$ ), швидше за все, буде між $-0.81$ і $-0.40$ . $95\%$ Довірчий інтервал становить:

$-0.81 \leq \rho \leq -0.40$

Щоб розрахувати $99\%$ довірчий інтервал, використовується $Z$ для $99\%$ довірчого інтервалу $2.58$ наступним чином:

$\text{Lower limit} = -0.775 - (2.58)(0.18) = -1.24$

$\text{Upper limit} = -0.775 + (2.58)(0.18) = -0.32$

Повертаючись назад до $r$ , довірчий інтервал становить:

$-0.84 \leq \rho \leq -0.31$

Природно, що $99\%$ довірчий інтервал ширше, ніж $95\%$ довірчий інтервал.