10.11: Кореляція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98011

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Вказати стандартну помилку\(z'\)
Обчислити довірчий інтервал\(\rho\)

Розрахунок довірчого інтервалу за значенням популяції кореляції Пірсона (\(\rho\)) ускладнюється тим, що розподіл вибірки не розподіляється нормально.\(r\) Рішення полягає в\(z'\) перетворенні Фішера, описаному в розділі про розподіл вибірки р Пірсона, кроками обчислення довірчого інтервалу для\(\rho\) є:

Перетворити\(r\) на\(z'\).
Обчислити довірчий інтервал з точки зору\(z'\).
Перетворіть довірчий інтервал назад в\(r\).

Візьмемо дані з тематичного дослідження Animal Research як приклад. У цьому дослідженні студентів попросили оцінити ступінь, до якої вони вважали, що дослідження тварин є неправильним, і ступінь, до якої вони вважали це необхідним. Як ви могли очікувати, між цими двома змінними існував негативний зв'язок: чим більше студенти вважали, що дослідження тварин є неправильними, тим менше вони вважали це необхідним. Кореляція, заснована на\(34\) спостереженнях, є\(-0.654\). Проблема полягає в тому, щоб обчислити\(95\%\) довірчий інтервал на\(\rho\) основі\(r\) цього\(-0.654\).

Перетворення\(r\) в\(z'\) можна зробити за допомогою калькулятора. Цей калькулятор показує, що\(z'\) асоційований\(r\) з\(-0.654\) a is\(-0.78\).

Розподіл вибірки приблизно\(z'\) нормально розподілений і має стандартну похибку

\[\frac{1}{\sqrt{N-3}}\]

Для цього прикладу\(N = 34\) і тому стандартна помилка є\(0.180\). \(95\%\)Довірчий інтервал (\(Z_{0.95}\)) - це\(1.96\), як це можна знайти за допомогою звичайного калькулятора розподілу (встановлення затіненої області\(0.95\) та натискання кнопки «Між»).\(Z\) Таким чином, довірчий інтервал обчислюється як:

\[\text{Lower limit} = -0.775 - (1.96)(0.18) = -1.13\]

\[\text{Upper limit} = -0.775 + (1.96)(0.18) = -0.43\]

Останнім кроком є перетворення кінцевих точок інтервалу назад до\(r\) використання калькулятора. \(r\)\(z'\)Асоційоване з a of\(-1.13\) is\(-0.81\) і\(r\) пов'язане з a\(z'\) of\(-0.43\) is\(-0.40\). Тому кореляція населення (\(\rho\)), швидше за все, буде між\(-0.81\) і\(-0.40\). \(95\%\)Довірчий інтервал становить:

\[-0.81 \leq \rho \leq -0.40\]

Щоб розрахувати\(99\%\) довірчий інтервал, використовується\(Z\) для\(99\%\) довірчого інтервалу\(2.58\) наступним чином:

\[\text{Lower limit} = -0.775 - (2.58)(0.18) = -1.24\]

\[\text{Upper limit} = -0.775 + (2.58)(0.18) = -0.32\]

Повертаючись назад до\(r\), довірчий інтервал становить:

\[-0.84 \leq \rho \leq -0.31\]

Природно, що\(99\%\) довірчий інтервал ширше, ніж\(95\%\) довірчий інтервал.