10.10: Різниця між засобами

Цілі навчання

• Викладіть припущення для обчислення довірчого інтервалу на різниці між засобами
• Обчислити довірчий інтервал на різниці між засобами
• Форматування даних для комп'ютерного аналізу

Набагато частіше дослідник цікавиться різницею між засобами, ніж конкретними значеннями самих засобів. Ми візьмемо як приклад дані з тематичного дослідження «Animal Research». У цьому експерименті студенти оцінили (за$7$ -бальною шкалою), чи вважали вони дослідження тварин неправильним. Розміри вибірки, засоби і відхилення наведені окремо для самців і самок в табл$\PageIndex{1}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Засоби та відхилення у дослідженні тварин

Стан	п	Середнє	дисперсія
Самки	17	5.353	2.743
Самці	17	3.882	2.985

Як бачите, самки оцінили дослідження тварин як більш неправильні, ніж самці. Ця вибіркова різниця між жіночим$5.35$ середнім і чоловічим середнім$3.88$ є$1.47$. Однак гендерна різниця в цій конкретній вибірці не дуже важлива. Що важливо, так це різниця в популяції. Різниця в вибіркових засобах використовується для оцінки різниці в засобах популяції. Точність оцінки виявляється довірчим інтервалом.

Для того, щоб побудувати довірчий інтервал, ми зробимо три припущення:

1. Дві популяції мають однакову дисперсію. Це припущення називається припущенням однорідності дисперсії.
2. Популяції зазвичай розподілені.
3. Кожне значення відбирається незалежно один від одного значення.

Наслідки порушення цих припущень розглядаються в наступному розділі. Поки що досить сказати, що від дрібних до помірних порушень припущень$1$ і$2$ особливої різниці не мають.

Довірчий інтервал по різниці між засобами обчислюється за такою формулою:

$$\text{Lower Limit} = M_1 - M_2 -(t_{CL})(S_{M_1-M_2})$$

$$\text{Upper Limit} = M_1 - M_2 +(t_{CL})(S_{M_1-M_2})$$

де$M_1 - M_2$ - різниця між вибірковими засобами,$t_{CL}$ є t для потрібного рівня довіри, і$S_{M_1-M_2}$ є розрахунковою стандартною похибкою різниці між вибірковими засобами. Значення цих термінів будуть зрозумілішими в міру демонстрації розрахунків.

Ми продовжуємо використовувати дані тематичного дослідження «Animal Research» і обчислимо довірчий інтервал на різницю між середнім балом самок і середнім балом самців. Для цього розрахунку ми будемо вважати, що дисперсії в кожній з двох популяцій рівні.

Насамперед необхідно обчислити оцінку стандартної похибки різниці між засобами ($S_{M_1-M_2}$). Нагадаємо з відповідного розділу в главі про розподілах вибірки, що формула стандартної похибки різниці засобів в популяції така:

$$\sigma _{M_1-M_2}=\sqrt{\frac{\sigma _{1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{n_2}}=\sqrt{\frac{\sigma ^{2}}{n}+\frac{\sigma ^{2}}{n}}=\sqrt{\frac{2\sigma ^2}{n}}$$

Для того, щоб оцінити цю кількість, ми оцінюємо$\sigma ^2$ і використовуємо цю оцінку замість$\sigma ^2$. Оскільки ми припускаємо, що дисперсії в сукупності однакові, ми оцінюємо цю дисперсію шляхом усереднення наших двох відхилень вибірки. Таким чином, наша оцінка дисперсії обчислюється за такою формулою:

$$MSE=\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{2}$$

де$MSE$ наша оцінка$\sigma ^2$. У цьому прикладі

$$MSE=\frac{2.743 + 2.985}{2}=2.864$$

Зверніть увагу, що$MSE$ означає «середня квадратна помилка» і є середнім квадратом відхилення кожного балу від середнього значення своєї групи.

Оскільки$n$ (кількість балів в кожній умові) є$17$,

$$S_{M_1-M_2}=\sqrt{\frac{2MSE}{n}}=\sqrt{\frac{(2)(2.864)}{17}}=0.5805$$

Наступним кроком є пошук використання$t$ для довірчого інтервалу ($t_{CL}$). Для розрахунку$t_{CL}$ нам потрібно знати ступені свободи. Ступінь свободи - це кількість незалежних оцінок дисперсії, на яких$MSE$ грунтується. Це$n_1$ дорівнює$(n_1 - 1) + (n_2 - 1)$ де - розмір вибірки першої групи і розмір$n_2$ вибірки другої групи. Для цього прикладу,$n_1= n_2 = 17$. Коли$n_1= n_2$, прийнято використовувати "$n$" для позначення розміру вибірки кожної групи. Тому ступені свободи є$16 + 16 = 32$.

Калькулятор: Знайти t для довірчого інтервалу

З наведеного вище калькулятора або$t$ таблиці ви можете виявити, що$t$ для$95\%$ довірчого інтервалу для$32 df$ є$2.037$.

Тепер у нас є всі компоненти, необхідні для обчислення довірчого інтервалу. По-перше, ми знаємо різницю між засобами:

$$M_1 - M_2 = 5.353 - 3.882 = 1.471$$

Ми знаємо стандартну похибку різниці між засобами є

$$S_{M_1 - M2} = 0.5805$$

і що$t$ для$95\%$ довіри інтервал з$32 df$ є

$$t_{CL}=2.037$$

Тому$95\%$ довірчий інтервал дорівнює

$$\text{Lower Limit} = 1.471 - (2.037)(0.5805) = 0.29$$

$$\text{Upper Limit} = 1.471 + (2.037)(0.5805) = 2.65$$

Ми можемо записати довірчий інтервал як:

$$0.29 \leq \mu _f - \mu _m \leq 2.65$$

де$\mu _f$ - середнє значення популяції для самок і$\mu _m$ середнє значення популяції для самців. Цей аналіз дає докази того, що середнє значення для жінок вище середнього значення для чоловіків, і що різниця між засобами в популяції, ймовірно, буде між$0.29$ і$2.65$.

Форматування даних для комп'ютерного аналізу

Більшість комп'ютерних програм, які обчислюють$t$ тести, вимагають, щоб ваші дані були в певній формі. Розглянемо дані в табл$\PageIndex{2}$.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Приклад даних

Група 1	Група 2
3	5
4	6
5	7

Тут є дві групи, кожна з яких має три спостереження. Щоб відформатувати ці дані для комп'ютерної програми, зазвичай потрібно використовувати дві змінні: перша вказує групу, в якій знаходиться суб'єкт, а друга - сама оцінка. Для даних у таблиці$\PageIndex{2}$ переформатовані дані виглядають наступним чином:

Таблиця$\PageIndex{3}$: Переформатовані дані

Г	У
1	3
1	4
1	5
2	5
2	6
2	7

Щоб використовувати Analysis Lab для виконання розрахунків, ви повинні скопіювати дані, а потім

Натисніть кнопку «Введення/редагування даних користувача». (Можливо, вас попереджають, що з міркувань безпеки ви повинні використовувати комбінацію клавіш для вставки даних.)

1. Вставте свої дані.
2. Натисніть «Прийняти дані».
3. Встановіть залежну змінну на$Y$.
4. Встановіть для змінної групування значення$G$.
5. Натисніть кнопку$t$ -test довіри інтервал.

$95\%$Довірчий інтервал на різниці між засобами поширюється від$-4.267$ до$0.267$.

Обчислення для нерівних розмірів вибірки (необов'язково)

Розрахунки дещо складніше, коли розміри вибірки не рівні. Одне з міркувань полягає в тому$MSE$, що оцінка дисперсії підраховує зразок з більшим розміром вибірки більше, ніж зразок з меншим розміром вибірки. Обчислювально це робиться шляхом обчислення суми квадратів error ($SSE$) наступним чином:

$$SSE=\sum (X-M_1)^2+\sum (X-M_2)^2$$

де$M_1$ - середнє для групи$1$ і$M_2$ середнє значення для групи$2$. Розглянемо наступний невеликий приклад:

Таблиця$\PageIndex{4}$: Приклад даних

Група 1	Група 2
3	2
4	4
5

$$M_1 = 4\; \; and\; \; M_2 = 3$$

$$SSE = (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (2-3)^2 + (4-3)^2 = 4$$

Потім$MSE$ обчислюється: $$MSE=\frac{SSE}{df}$$

де ступені свободи ($df$) обчислюються, як і раніше:

$$df = (n_1 -1) + (n_2 -1) = (3-1) + (2-1) = 3$$

$$MSE=\frac{SSE}{df}=\frac{4}{3}=1.333$$

Формула

$$S_{M_1-M_2}=\sqrt{\frac{2MSE}{n}}$$

замінюється на

$$S_{M_1-M_2}=\sqrt{\frac{2MSE}{n_h}}$$

де$n_h$ - гармонійне середнє розмірів вибірки і обчислюється наступним чином:

$$n_h=\frac{2}{\tfrac{1}{n_1}+\tfrac{1}{n_2}}=\frac{2}{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}}=2.4$$

і

$$S_{M_1-M_2}=\sqrt{\frac{(2)(1.333)}{2.4}}=1.054$$

$t_{CL}$для$3 df$ і$0.05$ рівень дорівнює$3.182$.

Тому$95\%$ довірчий інтервал дорівнює

$$\text{Lower Limit} = 1 - (3.182)(1.054)= -2.35$$

$$\text{Upper Limit} = 1 + (3.182)(1.054)= 4.35$$

Ми можемо записати довірчий інтервал як:

$$-2.35 \leq \mu _1 - \mu _2 \leq 4.35$$