5.2: Основні поняття ймовірності
Цілі навчання
- Обчислити ймовірність в ситуації, коли є однаково ймовірні результати
- Застосовуйте концепції до карт і кубиків
- Обчислити ймовірність двох незалежних подій, що відбуваються
- Обчислити ймовірність будь-якого з двох незалежних подій, що відбуваються
- Робіть проблеми, які передбачають умовні ймовірності
- Обчислити ймовірність того, що в кімнатіN людей хоча б двоє поділяють день народження
- Опишіть помилковість азартного гравця
Імовірність однієї події
Якщо ви кидаєте шестигранну матрицю, є шість можливих результатів, і кожен з цих результатів однаково вірогідний. Шість, швидше за все, вийде як три, а також для інших чотирьох сторін померти. Яка ж тоді ймовірність того, що один підійде? Оскільки можливих результатів шість, ймовірність є1/6. Яка ймовірність того, що підійде або одиниця, або шістка? Два результати, про які ми стурбовані (один або шість наближаються) називаються сприятливими результатами. Враховуючи, що всі результати однаково вірогідні, ми можемо обчислити ймовірність одиниці або шістки за формулою:
probability=Number of favorable outcomesNumber of possible equally-likely outcomes
При цьому є два сприятливих результату і шість можливих результатів. Так що ймовірність кинути або одиницю, або шість є1/3. До речі, не вводьте в оману використання терміна «сприятливий». Ви повинні розуміти це в сенсі «сприятливий для події, про яку йде мова». Ця подія може бути не сприятливою для вашого благополуччя. Наприклад, ви можете робити ставку на трійку.
Наведена вище формула застосовується до багатьох азартних ігор. Наприклад, яка ймовірність того, що карта, витягнута навмання з колоди гральних карт, буде тузом? Оскільки колода має чотири тузи, є чотири сприятливих результату; оскільки колода має52 карти,52 можливі результати. Таким чином, ймовірність є4/52=1/13. А як щодо ймовірності того, що картою буде клуб? Так як є13 клуби, ймовірність є13/52=1/4.
Припустимо, у вас пакетик з20 вишнею:146 кисло-солодкий. Якщо ви вибираєте вишню навмання, яка ймовірність того, що вона буде солодкою? Є20 можливі вишні, які можуть бути зібрані, тому кількість можливих результатів є20. З цих20 можливих результатів14 сприятливі (солодкі), тому ймовірність того, що вишня буде солодкою, є14/20=7/10. Однак є одне потенційне ускладнення для цього прикладу. Потрібно припустити, що ймовірність збирання будь-якої з вишень така ж, як і ймовірність збирання будь-якої іншої. Це не було б правдою, якщо (давайте уявимо) черешні менше, ніж кислі. (Вишня потрапляла б до рук легше, коли ви взяли проби з мішка.) Отже, майте на увазі, що коли ми оцінюємо ймовірності з точки зору співвідношення сприятливих для всіх потенційних випадків, ми в значній мірі покладаємося на припущення рівної ймовірності для всіх результатів.
Ось більш складний приклад.
Приклад5.2.1
Ви кидаєте2 кубики. Яка ймовірність того, що сума двох кубиків буде6? Щоб вирішити цю проблему, перерахуйте всі можливі результати. Є36 їх, так як кожен вмирає може придумати один з шести способів. 36Можливості наведені нижче.
Померти 1 | Померти 2 | Всього | Померти 1 | Померти 2 | Всього | Померти 1 | Померти 2 | Всього | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 1 | 4 | 5 | 1 | 6 | ||
1 | 2 | 3 | 3 | 2 | 5 | 5 | 2 | 7 | ||
1 | 3 | 4 | 3 | 3 | 6 | 5 | 3 | 8 | ||
1 | 4 | 5 | 3 | 4 | 7 | 5 | 4 | 9 | ||
1 | 5 | 6 | 3 | 5 | 8 | 5 | 5 | 10 | ||
1 | 6 | 7 | 3 | 6 | 9 | 5 | 6 | 11 | ||
2 | 1 | 3 | 4 | 1 | 5 | 6 | 1 | 7 | ||
2 | 2 | 4 | 4 | 2 | 6 | 6 | 2 | 8 | ||
2 | 3 | 5 | 4 | 3 | 7 | 6 | 3 | 9 | ||
2 | 4 | 6 | 4 | 4 | 8 | 6 | 4 | 10 | ||
2 | 5 | 7 | 4 | 5 | 9 | 6 | 5 | 11 | ||
2 | 6 | 8 | 4 | 6 | 10 | 6 | 6 | 12 |
Ви можете бачити, що5 з36 можливостей загальна6. Тому ймовірність є5/36.
Якщо знати ймовірність події, то легко обчислити ймовірність того, що подія не відбудеться. ЯкщоP(A) є імовірністю подіїA, то1−P(A) є ймовірність того, що подія не відбудеться. Для останнього прикладу ймовірність того, що підсумок6 є5/36. Тому ймовірність того, що підсумок немає6, є1−5/36=31/36.
Імовірність двох (або більше) незалежних подій
ПодіїA іB є незалежними подіями, якщо ймовірність подіїB відбувається однакова незалежно від того,A відбувається подія чи ні. Візьмемо простий приклад. Справедлива монета кидається два рази. Імовірність того, що голова підніметься на другому кидку,1/2 незалежно від того, підійшла чи ні голова на першому кидку. Дві події
- перший кидок - це голова і
- другий кидок - це голова.
Так що ці події є незалежними.
Розглянемо дві події:
- «Завтра в Х'юстоні буде дощ» і
- «Завтра в Галвестоні піде дощ» (місто поблизу Х'юстона)
Ці події не є незалежними, оскільки швидше за все, що в Галвестоні буде дощ у дні, коли в Х'юстоні йде дощ, ніж у дні, коли це не так.
Імовірність А і В
Коли дві події незалежні, ймовірність того, і іншого відбувається є продуктом ймовірностей окремих подій. Більш формально, якщо подіїA іB є незалежними, то ймовірність того, і іншогоA іB відбувається становить:
P(AandB)=P(A)×P(B)
деP(AandB) - ймовірність подійA і того,B і іншого,P(A) що відбуваються, - ймовірність події,A що відбуваються, іP(B) ймовірність подіїB.
Приклад5.2.2
Якщо перевернути монету двічі, яка ймовірність того, що вона підніметься головами обидва рази?
Рішення
ПодіяA полягає в тому, що монета приходить голови на першому сальто і подіяB полягає в тому, що монета приходить голови на другому сальто. Оскільки обидваP(A) іP(B) рівні1/2, ймовірність того, що обидві події відбуваються, є
12×12=14
Приклад5.2.3
Якщо перевернути монету і згорнути шестигранну матрицю, яка ймовірність того, що монета підніметься головами і вмирає1?
Рішення
Оскільки дві події є незалежними, ймовірність - це просто ймовірність голови (яка є1/2) разів більша ймовірність того, що вмирає1 (яка є1/6). Тому ймовірність того, і іншого події, що відбуваються, є
12×16=112
Приклад5.2.4
Ви витягуєте карту з колоди карт, кладете її назад, а потім витягуєте іншу карту. Яка ймовірність того, що перша карта - це серце, а друга - чорна?
Рішення
Так як в колоді є52 карти і13 з них - серця, ймовірність того, що перша карта - це серце, є13/52=1/4. Так як в колоді є26 чорні карти, ймовірність того, що друга карта чорна, є26/52=1/2. Таким чином, ймовірність того, що обидві події відбуваються
14×12=18
Див. розділ про умовні ймовірності на цій сторінці, щоб дізнатися, як обчислювати,P(AandB) колиA і неB є незалежними.
Імовірність A або B
Якщо подіїA іB є незалежними, ймовірність того, що подіяA або подіяB відбулася, така:
P(AorB)=P(A)+P(B)−P(AandB)
У цій дискусії, коли ми говоримо "AабоB відбувається», ми включаємо три можливості:
- Aвідбувається іB не відбувається
- Bвідбувається іA не відбувається
- ОбидваA іB відбуваються
Таке використання слова «або» технічно називається інклюзивним або тому, що воно включає випадок, в якому обидваA іB відбуваються. Якби ми включили тільки перші два випадки, то ми б використовували ексклюзивний або.
(Необов'язково) Ми можемо вивести закон дляP(AorB) з нашого закону проP(AandB). Подія "A-or-B" може відбутися будь-яким з наступних способів:
- A-and-Bтрапляється
- A-and-not-Bтрапляється
- not-A-and-Bтрапляється
Проста подіяA може статися, якщоA-and-B трапиться абоA-and-not-B трапиться. Аналогічно, проста подіяB відбувається, якщо абоA-and-B трапиться, абоnot-A-and-B трапиться. P(A)+P(B)томуP(A−and−B)+P(A−and−not−B)+P(A−and−B)+P(not−A−and−B), тоді якP(A−or−B) єP(A−and−B)+P(A−and−not−B)+P(not−A−and−B). Ми можемо зробити ці дві суми рівними, віднімаючи одне входженняP(A−and−B) з першого. Отже,P(A−or−B)=P(A)+P(B)−P(A−and−B).
Тепер для деяких прикладів.
Приклад5.2.5
Якщо перевернути монету два рази, яка ймовірність того, що ви отримаєте голову на першому сальто або голову на другому сальто (або обидва)?
Рішення
Дозволити ПодіяA бути головою на першому фліп, а ПодіяB - головою на другому фліпP(A)=1/2, потімP(B)=1/2, іP(AandB)=1/4. Тому,
P(AorB)=12+12−14=34
Приклад5.2.6
Якщо ви кидаєте шестисторонній померти, а потім перевернути монету, яка ймовірність того, що ви отримаєте або6 на плашку або голову на монету фліп (або обидва)?
Рішення
Використовуючи формулу,
P(6or head)=P(6)+P(head)−P(6and head)=16+12−(16)(12)=712
Альтернативний підхід до обчислення цього значення полягає в тому, щоб почати з обчислення ймовірності не отримати ні голову.6 Потім відніміть це значення з,1 щоб обчислити ймовірність отримання6 або голови. Хоча це складний метод, він має перевагу в тому, що він застосовується до проблем з більш ніж двома подіями. Ось розрахунок в даному випадку. Імовірність не отримати ні голову, ні голова може бути змінений як ймовірність6
(not getting a 6)AND(not getting a head)
Це випливає тому, що якщо у вас не вийшло6 і у вас не вийшло голову, то у вас не вийшло6 ні голови. Імовірність не отримати шістку є1−1/6=5/6. Імовірність не отримати голову є1−1/2=1/2. Імовірність не отримати шістку і не отримати голову є5/6×1/2=5/12. Тому це ймовірність не отримати6 або голову. Таким чином, ймовірність отримати шістку або голову є (ще раз)1−5/12=7/12.
Якщо ви кидаєте кубик три рази, яка ймовірність того, що один або кілька ваших кидків придумають1? Тобто, яка ймовірність отримати1 на першому кидку АБО а1 на другому кидку АБО а1 на третій кидок? Найпростіший спосіб підійти до цієї проблеми - обчислити ймовірність
- НЕ потрапляючи1 на перший кидок
- І не потрапляючи1 на другий кидок
- І не потрапляючи1 на третій кидок
Відповіддю буде1 мінус цієї ймовірності. Імовірність не отримати ні1 на одному з трьох кидків є5/6×5/6×5/6=125/216. Тому ймовірність отримати1 на хоча б один з кидків є1−125/216=91/216.
Умовні ймовірності
Часто потрібно обчислити ймовірність події з огляду на те, що сталася інша подія. Наприклад, яка ймовірність того, що дві карти, витягнуті навмання з колоди гральних карт, будуть тузами? Може здатися, що можна було б скористатися формулою ймовірності двох незалежних подій і просто помножити4/52×4/52=1/169. Однак це було б неправильно, оскільки дві події не є незалежними. Якщо перша карта витягнута туз, то ймовірність того, що друга карта також є тузом, буде нижчою, оскільки в колоді залишилося б лише три тузи.
Після того, як перша вибрана карта - туз, ймовірність того, що друга карта вибрана також тузом називається умовною ймовірністю малювання туза. При цьому «умовою» є те, що перша карта - туз. Символічно ми пишемо це так:
P(ace on second draw|an ace on the first draw)
Вертикальна смуга «|» читається як «дано», тому вищевказаний вираз коротко: «Імовірність того, що туз буде намальований на другому розіграші, враховуючи, що туз був намальований на першому розіграші». Що це за ймовірність? Так як після того, як туз буде намальований на першому розіграші, з51 загальної кількості карт залишаються3 тузи. Це означає, що ймовірність того, що один з цих тузів буде втягнутий, є3/51=1/17.
Якщо ПодіїA і неB є самостійними, тоP(AandB)=P(A)×P(B|A)
Застосовуючи це до завдання двох тузів, ймовірність витягти двох тузів з колоди дорівнює4/52×3/51=1/221.
Приклад5.2.7
Якщо ви витягнете дві карти з колоди, яка ймовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту?
Рішення
Є два способи задовольнити цю умову:
- Ви можете отримати спочатку Ace of Diamonds, а потім чорну карту.
- Ви можете отримати спочатку чорну карту, а потім Алмазний туз.
Давайте розрахуємо CaseA.
Імовірність того, що перша карта - це Бубновий туз, є1/52. Імовірність того, що друга карта чорна, враховуючи, що перша карта - це Бубновий26 туз,26/51 тому що інші51 карти чорні. Таким чином, ймовірність є1/52×26/51=1/102.
Тепер для справиB:
Імовірність того, що перша карта чорна, є26/52=1/2. Імовірність того, що друга карта - це Бубновий туз, враховуючи, що перша карта чорна, є1/51. Таким чином1/2×1/51=1/102, ймовірність CaseB така ж, як і ймовірність CaseA. Нагадаємо, що ймовірністьA абоB єP(A)+P(B)−P(AandB). У цій проблемі,P(AandB)=0 оскільки карта не може бути Бубновою тузом і бути чорною картою. Тому ймовірність CaseA або CaseB є1/102+1/102=2/102=1/51. Отже,1/51 є ймовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту при витягуванні двох карт з колоди.
Проблема дня народження
Якщо в кімнаті є25 люди, то яка ймовірність того, що хоча б двоє з них поділяють однаковий день народження. Якщо ваша перша думка полягає в тому, що це так25/365=0.068, ви будете здивовані, дізнавшись, що це набагато вище, ніж це. Ця проблема вимагає застосування розділів поP(AandB) і умовної ймовірності.
До цієї проблеми найкраще підійти, запитавши, яка ймовірність того, що немає двох людей однакового дня народження. Як тільки ми дізнаємося цю ймовірність, ми можемо просто відняти її,1 щоб знайти ймовірність того, що дві людини поділяють день народження.
Якщо ми виберемо двох людей навмання, яка ймовірність того, що вони не поділяють день народження? З365 днів, в які у другої людини міг бути день народження, з364 них відрізняються від дня народження першої особи. Тому ймовірність є364/365. ВизначимоP2 як ймовірність того, що друга намальована людина не розділить день народження з намальованим раніше людиною. P2тому364/365. Тепер визначтеP3 як ймовірність того, що третя особа, намальована, не поділяє день народження з кимось, намальованим раніше, враховуючи, що попередніх матчів на день народження немає. P3тому є умовною ймовірністю. Якщо попередніх матчів на день народження немає, то два365 дні були «вичерпані», залишивши363 невідповідні дні. ТомуP3=363/365. У подібній манеріP4=362/365P5=361/365,, і так далі доP25=341/365.
Для того, щоб не було збігів, друга людина не повинна відповідати жодній попередній людині, а третя особа не повинна відповідати жодній попередній людині, а четверта особа не повинна відповідати жодній попередній людині тощо Оскільки всеP(AandB)=P(A)P(B), що нам потрібно зробити, - це помножитиP2,P3,P4...P25 разом. Результат є0.431. Тому ймовірність хоча б одного збігу є0.569.
Помилковість азартного гравця
Справедлива монета перевертається п'ять разів і кожен раз піднімається головами. Яка ймовірність того, що на шостому сальто придумають голови? Правильна відповідь - це, звичайно ж,1/2. Але багато хто вважає, що хвостик частіше виникає після закидання п'яти голів. Їх помилкові міркування можуть йти приблизно так: «У довгостроковій перспективі кількість голів і хвостів буде однаковою, тому хвости мають деякі наздоганяють». Недоліки цієї логіки розкриваються в моделюванні в цьому розділі.