5.2: Основні поняття ймовірності

Цілі навчання

• Обчислити ймовірність в ситуації, коли є однаково ймовірні результати
• Застосовуйте концепції до карт і кубиків
• Обчислити ймовірність двох незалежних подій, що відбуваються
• Обчислити ймовірність будь-якого з двох незалежних подій, що відбуваються
• Робіть проблеми, які передбачають умовні ймовірності
• Обчислити ймовірність того, що в кімнаті$N$ людей хоча б двоє поділяють день народження
• Опишіть помилковість азартного гравця

Імовірність однієї події

Якщо ви кидаєте шестигранну матрицю, є шість можливих результатів, і кожен з цих результатів однаково вірогідний. Шість, швидше за все, вийде як три, а також для інших чотирьох сторін померти. Яка ж тоді ймовірність того, що один підійде? Оскільки можливих результатів шість, ймовірність є$1/6$. Яка ймовірність того, що підійде або одиниця, або шістка? Два результати, про які ми стурбовані (один або шість наближаються) називаються сприятливими результатами. Враховуючи, що всі результати однаково вірогідні, ми можемо обчислити ймовірність одиниці або шістки за формулою:

$$\text{probability}=\frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Number of possible equally-likely outcomes}}$$

При цьому є два сприятливих результату і шість можливих результатів. Так що ймовірність кинути або одиницю, або шість є$1/3$. До речі, не вводьте в оману використання терміна «сприятливий». Ви повинні розуміти це в сенсі «сприятливий для події, про яку йде мова». Ця подія може бути не сприятливою для вашого благополуччя. Наприклад, ви можете робити ставку на трійку.

Наведена вище формула застосовується до багатьох азартних ігор. Наприклад, яка ймовірність того, що карта, витягнута навмання з колоди гральних карт, буде тузом? Оскільки колода має чотири тузи, є чотири сприятливих результату; оскільки колода має$52$ карти,$52$ можливі результати. Таким чином, ймовірність є$4/52 = 1/13$. А як щодо ймовірності того, що картою буде клуб? Так як є$13$ клуби, ймовірність є$13/52 = 1/4$.

Припустимо, у вас пакетик з$20$ вишнею:$14$$6$ кисло-солодкий. Якщо ви вибираєте вишню навмання, яка ймовірність того, що вона буде солодкою? Є$20$ можливі вишні, які можуть бути зібрані, тому кількість можливих результатів є$20$. З цих$20$ можливих результатів$14$ сприятливі (солодкі), тому ймовірність того, що вишня буде солодкою, є$14/20 = 7/10$. Однак є одне потенційне ускладнення для цього прикладу. Потрібно припустити, що ймовірність збирання будь-якої з вишень така ж, як і ймовірність збирання будь-якої іншої. Це не було б правдою, якщо (давайте уявимо) черешні менше, ніж кислі. (Вишня потрапляла б до рук легше, коли ви взяли проби з мішка.) Отже, майте на увазі, що коли ми оцінюємо ймовірності з точки зору співвідношення сприятливих для всіх потенційних випадків, ми в значній мірі покладаємося на припущення рівної ймовірності для всіх результатів.

Ось більш складний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$

Ви кидаєте$2$ кубики. Яка ймовірність того, що сума двох кубиків буде$6$? Щоб вирішити цю проблему, перерахуйте всі можливі результати. Є$36$ їх, так як кожен вмирає може придумати один з шести способів. $36$Можливості наведені нижче.

Таблиця$\PageIndex{1}$:$36$ можливості від кидка$2$ кісток

Померти 1	Померти 2	Всього		Померти 1	Померти 2	Всього		Померти 1	Померти 2	Всього
1	1	2		3	1	4		5	1	6
1	2	3		3	2	5		5	2	7
1	3	4		3	3	6		5	3	8
1	4	5		3	4	7		5	4	9
1	5	6		3	5	8		5	5	10
1	6	7		3	6	9		5	6	11
2	1	3		4	1	5		6	1	7
2	2	4		4	2	6		6	2	8
2	3	5		4	3	7		6	3	9
2	4	6		4	4	8		6	4	10
2	5	7		4	5	9		6	5	11
2	6	8		4	6	10		6	6	12

Ви можете бачити, що$5$ з$36$ можливостей загальна$6$. Тому ймовірність є$5/36$.

Якщо знати ймовірність події, то легко обчислити ймовірність того, що подія не відбудеться. Якщо$P(A)$ є імовірністю події$A$, то$1-P(A)$ є ймовірність того, що подія не відбудеться. Для останнього прикладу ймовірність того, що підсумок$6$ є$5/36$. Тому ймовірність того, що підсумок немає$6$, є$1 - 5/36 = 31/36$.

Імовірність двох (або більше) незалежних подій

Події$A$ і$B$ є незалежними подіями, якщо ймовірність події$B$ відбувається однакова незалежно від того,$A$ відбувається подія чи ні. Візьмемо простий приклад. Справедлива монета кидається два рази. Імовірність того, що голова підніметься на другому кидку,$1/2$ незалежно від того, підійшла чи ні голова на першому кидку. Дві події

1. перший кидок - це голова і
2. другий кидок - це голова.

Так що ці події є незалежними.

Розглянемо дві події:

1. «Завтра в Х'юстоні буде дощ» і
2. «Завтра в Галвестоні піде дощ» (місто поблизу Х'юстона)

Ці події не є незалежними, оскільки швидше за все, що в Галвестоні буде дощ у дні, коли в Х'юстоні йде дощ, ніж у дні, коли це не так.

Імовірність А і В

Коли дві події незалежні, ймовірність того, і іншого відбувається є продуктом ймовірностей окремих подій. Більш формально, якщо події$A$ і$B$ є незалежними, то ймовірність того, і іншого$A$ і$B$ відбувається становить:

$$P(A\; \text{and}\; B)=P(A)\times P(B)$$

де$P(A\; \text{and}\; B)$ - ймовірність подій$A$ і того,$B$ і іншого,$P(A)$ що відбуваються, - ймовірність події,$A$ що відбуваються, і$P(B)$ ймовірність події$B$.

Приклад$\PageIndex{2}$

Якщо перевернути монету двічі, яка ймовірність того, що вона підніметься головами обидва рази?

Рішення

Подія$A$ полягає в тому, що монета приходить голови на першому сальто і подія$B$ полягає в тому, що монета приходить голови на другому сальто. Оскільки обидва$P(A)$ і$P(B)$ рівні$1/2$, ймовірність того, що обидві події відбуваються, є

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо перевернути монету і згорнути шестигранну матрицю, яка ймовірність того, що монета підніметься головами і вмирає$1$?

Рішення

Оскільки дві події є незалежними, ймовірність - це просто ймовірність голови (яка є$1/2$) разів більша ймовірність того, що вмирає$1$ (яка є$1/6$). Тому ймовірність того, і іншого події, що відбуваються, є

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Ви витягуєте карту з колоди карт, кладете її назад, а потім витягуєте іншу карту. Яка ймовірність того, що перша карта - це серце, а друга - чорна?

Рішення

Так як в колоді є$52$ карти і$13$ з них - серця, ймовірність того, що перша карта - це серце, є$13/52 = 1/4$. Так як в колоді є$26$ чорні карти, ймовірність того, що друга карта чорна, є$26/52 = 1/2$. Таким чином, ймовірність того, що обидві події відбуваються

$$\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

Див. розділ про умовні ймовірності на цій сторінці, щоб дізнатися, як обчислювати,$P(A\; \text{and}\; B)$ коли$A$ і не$B$ є незалежними.

Імовірність A або B

Якщо події$A$ і$B$ є незалежними, ймовірність того, що подія$A$ або подія$B$ відбулася, така:

$$P(A\; \text{or}\; B)=P(A)+P(B)-P(A\; \text{and}\; B)$$

У цій дискусії, коли ми говоримо "$A$або$B$ відбувається», ми включаємо три можливості:

1. $A$відбувається і$B$ не відбувається
2. $B$відбувається і$A$ не відбувається
3. Обидва$A$ і$B$ відбуваються

Таке використання слова «або» технічно називається інклюзивним або тому, що воно включає випадок, в якому обидва$A$ і$B$ відбуваються. Якби ми включили тільки перші два випадки, то ми б використовували ексклюзивний або.

(Необов'язково) Ми можемо вивести закон для$P(A\; \mathbf{or}\; B)$ з нашого закону про$P(A\; \mathbf{and}\; B)$. Подія "$\textbf{A-or-B}$" може відбутися будь-яким з наступних способів:

1. $\textbf{A-and-B}$трапляється
2. $\textbf{A-and-not-B}$трапляється
3. $\textbf{not-A-and-B}$трапляється

Проста подія$A$ може статися, якщо$\textbf{A-and-B}$ трапиться або$\textbf{A-and-not-B}$ трапиться. Аналогічно, проста подія$B$ відбувається, якщо або$\textbf{A-and-B}$ трапиться, або$\textbf{not-A-and-B}$ трапиться. $P(A) + P(B)$тому$P(A-and-B) + P(A-and-not-B) + P(A-and-B) + P(not-A-and-B)$, тоді як$P(A-or-B)$ є$P(A-and-B) + P(A-and-not-B) + P(not-A-and-B)$. Ми можемо зробити ці дві суми рівними, віднімаючи одне входження$P(A-and-B)$ з першого. Отже,$P(A-or-B) = P(A) + P(B) - P(A-and-B)$.

Тепер для деяких прикладів.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо перевернути монету два рази, яка ймовірність того, що ви отримаєте голову на першому сальто або голову на другому сальто (або обидва)?

Рішення

Дозволити Подія$A$ бути головою на першому фліп, а Подія$B$ - головою на другому фліп$P(A) = 1/2$, потім$P(B) = 1/2$, і$P(A\; \text{and}\; B) = 1/4$. Тому,

$$P(A\; \text{or}\; B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Приклад$\PageIndex{6}$

Якщо ви кидаєте шестисторонній померти, а потім перевернути монету, яка ймовірність того, що ви отримаєте або$6$ на плашку або голову на монету фліп (або обидва)?

Рішення

Використовуючи формулу,

$$\begin{align*} P(6\; \text{or head}) &= P(6)+P(\text{head})-P(6\; \text{and head})\\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{2}-\left ( \frac{1}{6} \right )\left ( \frac{1}{2} \right )\\ &= \frac{7}{12} \end{align*}$$

Альтернативний підхід до обчислення цього значення полягає в тому, щоб почати з обчислення ймовірності не отримати ні голову.$6$ Потім відніміть це значення з,$1$ щоб обчислити ймовірність отримання$6$ або голови. Хоча це складний метод, він має перевагу в тому, що він застосовується до проблем з більш ніж двома подіями. Ось розрахунок в даному випадку. Імовірність не отримати ні голову, ні голова може бути змінений як ймовірність$6$

$$(\text{not getting a 6})\; AND\; (\text{not getting a head})$$

Це випливає тому, що якщо у вас не вийшло$6$ і у вас не вийшло голову, то у вас не вийшло$6$ ні голови. Імовірність не отримати шістку є$1 - 1/6 = 5/6$. Імовірність не отримати голову є$1 - 1/2 = 1/2$. Імовірність не отримати шістку і не отримати голову є$5/6 \times 1/2 = 5/12$. Тому це ймовірність не отримати$6$ або голову. Таким чином, ймовірність отримати шістку або голову є (ще раз)$1 - 5/12 = 7/12$.

Якщо ви кидаєте кубик три рази, яка ймовірність того, що один або кілька ваших кидків придумають$1$? Тобто, яка ймовірність отримати$1$ на першому кидку АБО а$1$ на другому кидку АБО а$1$ на третій кидок? Найпростіший спосіб підійти до цієї проблеми - обчислити ймовірність

• НЕ потрапляючи$1$ на перший кидок
• І не потрапляючи$1$ на другий кидок
• І не потрапляючи$1$ на третій кидок

Відповіддю буде$1$ мінус цієї ймовірності. Імовірність не отримати ні$1$ на одному з трьох кидків є$5/6 \times 5/6 \times 5/6 = 125/216$. Тому ймовірність отримати$1$ на хоча б один з кидків є$1 - 125/216 = 91/216$.

Умовні ймовірності

Часто потрібно обчислити ймовірність події з огляду на те, що сталася інша подія. Наприклад, яка ймовірність того, що дві карти, витягнуті навмання з колоди гральних карт, будуть тузами? Може здатися, що можна було б скористатися формулою ймовірності двох незалежних подій і просто помножити$4/52 \times 4/52 = 1/169$. Однак це було б неправильно, оскільки дві події не є незалежними. Якщо перша карта витягнута туз, то ймовірність того, що друга карта також є тузом, буде нижчою, оскільки в колоді залишилося б лише три тузи.

Після того, як перша вибрана карта - туз, ймовірність того, що друга карта вибрана також тузом називається умовною ймовірністю малювання туза. При цьому «умовою» є те, що перша карта - туз. Символічно ми пишемо це так:

$$P(\text{ace on second draw}\; |\; \text{an ace on the first draw})$$

Вертикальна смуга «|» читається як «дано», тому вищевказаний вираз коротко: «Імовірність того, що туз буде намальований на другому розіграші, враховуючи, що туз був намальований на першому розіграші». Що це за ймовірність? Так як після того, як туз буде намальований на першому розіграші, з$51$ загальної кількості карт залишаються$3$ тузи. Це означає, що ймовірність того, що один з цих тузів буде втягнутий, є$3/51 = 1/17$.

Якщо Події$A$ і не$B$ є самостійними, то $$P(A\; \text{and} B) = P(A) \times P(B|A)$$

Застосовуючи це до завдання двох тузів, ймовірність витягти двох тузів з колоди дорівнює$4/52 \times 3/51 = 1/221$.

Приклад$\PageIndex{7}$

Якщо ви витягнете дві карти з колоди, яка ймовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту?

Рішення

Є два способи задовольнити цю умову:

1. Ви можете отримати спочатку Ace of Diamonds, а потім чорну карту.
2. Ви можете отримати спочатку чорну карту, а потім Алмазний туз.

Давайте розрахуємо Case$A$.

Імовірність того, що перша карта - це Бубновий туз, є$1/52$. Імовірність того, що друга карта чорна, враховуючи, що перша карта - це Бубновий$26$ туз,$26/51$ тому що інші$51$ карти чорні. Таким чином, ймовірність є$1/52 \times 26/51 = 1/102$.

Тепер для справи$B$:

Імовірність того, що перша карта чорна, є$26/52 = 1/2$. Імовірність того, що друга карта - це Бубновий туз, враховуючи, що перша карта чорна, є$1/51$. Таким чином$1/2 \times 1/51 = 1/102$, ймовірність Case$B$ така ж, як і ймовірність Case$A$. Нагадаємо, що ймовірність$A$ або$B$ є$P(A)+P(B)-P(A\; \text{and}\; B)$. У цій проблемі,$P(A\; \text{and}\; B) = 0$ оскільки карта не може бути Бубновою тузом і бути чорною картою. Тому ймовірність Case$A$ або Case$B$ є$1/102 + 1/102 = 2/102 = 1/51$. Отже,$1/51$ є ймовірність того, що ви отримаєте Бубновий туз і чорну карту при витягуванні двох карт з колоди.

Проблема дня народження

Якщо в кімнаті є$25$ люди, то яка ймовірність того, що хоча б двоє з них поділяють однаковий день народження. Якщо ваша перша думка полягає в тому, що це так$25/365 = 0.068$, ви будете здивовані, дізнавшись, що це набагато вище, ніж це. Ця проблема вимагає застосування розділів по$P(A\; \text{and}\; B)$ і умовної ймовірності.

До цієї проблеми найкраще підійти, запитавши, яка ймовірність того, що немає двох людей однакового дня народження. Як тільки ми дізнаємося цю ймовірність, ми можемо просто відняти її,$1$ щоб знайти ймовірність того, що дві людини поділяють день народження.

Якщо ми виберемо двох людей навмання, яка ймовірність того, що вони не поділяють день народження? З$365$ днів, в які у другої людини міг бути день народження, з$364$ них відрізняються від дня народження першої особи. Тому ймовірність є$364/365$. Визначимо$P2$ як ймовірність того, що друга намальована людина не розділить день народження з намальованим раніше людиною. $P2$тому$364/365$. Тепер визначте$P3$ як ймовірність того, що третя особа, намальована, не поділяє день народження з кимось, намальованим раніше, враховуючи, що попередніх матчів на день народження немає. $P3$тому є умовною ймовірністю. Якщо попередніх матчів на день народження немає, то два$365$ дні були «вичерпані», залишивши$363$ невідповідні дні. Тому$P3 = 363/365$. У подібній манері$P4 = 362/365$$P5 = 361/365$,, і так далі до$P25 = 341/365$.

Для того, щоб не було збігів, друга людина не повинна відповідати жодній попередній людині, а третя особа не повинна відповідати жодній попередній людині, а четверта особа не повинна відповідати жодній попередній людині тощо Оскільки все$P(A\; \text{and}\; B) = P(A)P(B)$, що нам потрібно зробити, - це помножити$P2, P3, P4 ...P25$ разом. Результат є$0.431$. Тому ймовірність хоча б одного збігу є$0.569$.

Помилковість азартного гравця

Справедлива монета перевертається п'ять разів і кожен раз піднімається головами. Яка ймовірність того, що на шостому сальто придумають голови? Правильна відповідь - це, звичайно ж,$1/2$. Але багато хто вважає, що хвостик частіше виникає після закидання п'яти голів. Їх помилкові міркування можуть йти приблизно так: «У довгостроковій перспективі кількість голів і хвостів буде однаковою, тому хвости мають деякі наздоганяють». Недоліки цієї логіки розкриваються в моделюванні в цьому розділі.