5.1: Поняття «Імовірність»

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 5: Ймовірність
- 5.2: Основні поняття ймовірності

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте симетричні результати
Розрізняють частотний і суб'єктивний підходи
Визначте, чи краще підходить для даної ситуації частотний або суб'єктивний підхід

Інференційна статистика побудована на основі теорії ймовірностей і була надзвичайно успішною в керівництві думки про висновки, які слід зробити з даних. І все ж (як не парадоксально) сама ідея ймовірності переслідувала суперечки від початку предмета і до наших днів. У цьому розділі ми наведемо уявлення про дискусію про тлумачення поняття ймовірності.

Одна концепція ймовірності почерпнута з ідеї симетричних результатів. Наприклад, два можливі результати кидання справедливої монети, здається, не помітні жодним чином, що впливає на те, яка сторона приземлиться вгору або вниз. Тому ймовірність голів приймається за те $1/2$ , як і ймовірність хвостів. Загалом, якщо є $N$ симетричні результати, ймовірність будь-якого заданого одного з них відбувається приймається за $1/N$ . Таким чином, якщо згорнута шестигранна плашка, ймовірність того, що будь-яка з шести сторін підійде, є $1/6$ .

Ймовірності також можна думати з точки зору відносних частот. Якби ми кидали монету мільйони разів, ми очікували б, що частка кидків, які підійшли голови, буде досить близькою до $1/2$ . Зі збільшенням кількості кидків наближається питома вага голів $1/2$ . Тому можна сказати, що ймовірність напору є $1/2$ .

Якщо в Сіетлі в останні $100,000$ дні йшов дощ, то ймовірність дощу завтра може бути прийнята $0.62$ . $62\%$ Це природна ідея, але, тим не менш, нерозумно, якщо у нас є додаткова інформація, що стосується того, чи буде завтра дощ. Наприклад, якщо завтра 1 серпня, день року, коли в Сіетлі рідко йде дощ, ми повинні враховувати лише відсоток часу дощу 1 серпня. Але навіть цього недостатньо, так як ймовірність опадів на наступний 1 серпня залежить від вологості. (Шанси вище при наявності підвищеної вологості.) Отже, ми повинні проконсультуватися лише з попередніми явищами 1 серпня, які мали таку ж вологість, як і наступна настання 1 серпня. Звичайно, напрямок вітру також впливає на ймовірність... Ви можете бачити, що наш зразок попередніх випадків незабаром буде зменшений до порожнього набору. Так чи інакше, минула метеорологічна історія вводить в оману, якщо клімат змінюється.

Для деяких цілей ймовірність найкраще розглядати як суб'єктивну. Такі питання, як «Яка ймовірність того, що пані Гарсія переможе містера Сміта на майбутніх виборах в конгрес?» не зручно вписуються ні в симетрію, ні частотні підходи до ймовірності. Швидше, присвоєння ймовірності $0.7$ (скажімо) цій події, здається, відображає особисту думку спікера - можливо, його готовність робити ставки відповідно до певних коефіцієнтів. Такий підхід до ймовірності, однак, здається, втрачає об'єктивний зміст ідеї випадковості; ймовірність стає простою думкою.

Двоє людей можуть надавати різну ймовірність результату виборів, але не було б критерію для того, щоб назвати одного «правильним», а іншого «неправильним». Ми не можемо назвати одного з двох людей правильним просто тому, що вона призначила більшу ймовірність результату, який насправді відбувається. Зрештою, ви б мали рацію приписувати ймовірність $1/6$ кинути шістку з справедливою загибеллю, і ваш друг, який приписує $2/3$ цю подію, помилився б. І ви все ще маєте рацію (і ваш друг все ще помиляється), навіть якщо померти в кінцевому підсумку показує шість! Відсутність об'єктивних критеріїв для розгляду претензій про ймовірності в суб'єктивній перспективі є непривабливою її особливістю для багатьох науковців.

Як і більшість робіт у цій галузі, даний текст використовує частотний підхід до ймовірності в більшості випадків. Причому майже всі ймовірності, з якими ми зіткнемося, будуть недогматичними, тобто ні нульовими, ні одиницями. Подія з ймовірністю не $0$ має шансів на виникнення; подія $1$ ймовірності обов'язково відбудеться. Важко придумати якісь приклади, що цікавлять статистику, в якій ймовірність є або $0$ або $1$ . (Навіть ймовірність того, що Сонце зійде завтра менше $1$ .)

Наступний приклад ілюструє наше ставлення до ймовірностей. Припустимо, ви хочете знати, якою буде погода наступної суботи, тому що ви плануєте пікнік. Ви вмикаєте радіо, і погодний чоловік каже: «Шанс дощу 10%». Ви вирішили влаштувати пікнік на відкритому повітрі, і ось, йде дощ. Ви розлючені погодою людини. Але чи помилялася вона? Ні, вона не говорила, що дощ не буде, тільки що дощ малоймовірний. Вона б навідріз помилялася тільки в тому випадку, якщо б сказала, що ймовірність є $0$ і згодом пішов дощ. Однак, якщо ви відстежували її прогнози погоди протягом тривалого періоду часу і виявили, що йшов дощ у дні, коли погодна $50\%$ людина сказала, що ймовірність була $0.10$ , ви можете сказати, що її оцінки ймовірності є неправильними.

Так коли точно сказати, що ймовірність дощу є $0.10$ ? Згідно з нашою інтерпретацією частот, це означає, що з такою ймовірністю буде дощ $10\%$ днів, в які прогнозується дощ.