Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.13: Логарифми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98439

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Обчислення журналів за допомогою різних баз
    • Виконуйте основні арифметичні операції за допомогою журналів
    • Створіть взаємозв'язок між журналами та пропорційною зміною

    Перетворення колоди зменшує позитивний перекос. Це може бути цінним як для того, щоб зробити дані більш інтерпретаційними, так і для надання допомоги у виконанні припущень щодо статистики висновків.

    Основи логарифмів (журналів)

    Журнали - це, в певному сенсі, протилежність експонентам. Розглянемо наступне просте вираз:

    \[10^2 = 100\]

    Тут можна сказати,\(10\) що база піднята до другої влади. Ось приклад колоди:

    \[\log_{10}(100) = 2\]

    Це можна прочитати як: База журналу десять\(100\) дорівнює\(2\). Результатом є сила, до якої повинна бути\(10\) піднята база для того, щоб дорівнювати значенню (\(100\)). Аналогічним чином

    \[\log_{10}(1000) = 3\]

    так як\(10\) повинен бути піднятий до третьої влади, щоб рівнятися\(1,000\).

    Ці приклади використовуються всі бази\(10\), але будь-яка база могла бути використана. Існує база, яка призводить до «природних логарифмів», і це називається\(e\) і дорівнює приблизно\(2.718\). Тут виходить за рамки, щоб пояснити, що «природно» в цьому. Природні логарифми можуть бути позначені як:\(\ln (x)\; or\; \log_e(x)\).

    Зміна бази журналу змінює результат на мультиплікативну константу. Щоб перетворити з\(\log _{10}\) на природні колоди, ви множите на\(2.303\). Аналогічно, щоб перетворити в іншому напрямку, ви ділите на\(2.303\).

    \[ \ln X =2.303 \log_{10} X \]

    \(\text{antilog}\)Прийняття числа скасовує операцію прийняття\(\log\). Тому, з тих пір\(\log_{10}(1000) = 3\),\(antilog_{10}\) of\(3\) is\(10^3 = 1,000\). \(\text{antilog}\)Прийняття числа просто піднімає основу логарифма, про який йде мова, до цього числа.

    Журнали та пропорційні зміни

    Серія чисел, які збільшуються пропорційно, збільшиться в рівних кількостях при перетворенні в журнали. Наприклад, цифри в першому стовпці таблиці\(\PageIndex{1}\)
    збільшуються в рази,\(1.5\) щоб кожен рядок був у\(1.5\) рази вище попереднього рядка. \(\log_{10}\)Перетворені числа збільшуються в рівних кроках\(0.176\).

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Пропорційні необроблені зміни рівні в блоках журналу
    Сирий Журнал
    4.0 0.602
    6.0 0,778
    9.0 0,954
    13.5 1.130

    Як інший приклад, якщо один студент збільшив свій бал від\(100\) до,\(200\) тоді як другий студент збільшив їх від\(150\) до\(300\), відсоток зміни (\(100\%\)) однаковий для обох студентів. Різниця колод також однакова, як показано нижче.

    \[Log_{10}(100) = 2.000\\ \log_{10}(200) = 2.301\\ Difference: 0.301\\ \; \\ \log_{10}(150) = 2.176\\ \log_{10}(300) = 2.477\\ Difference: 0.301\]

    Арифметичні операції

    Правила для журналів виробів і коефіцієнтів наведені нижче.

    \[\log(AB) = \log(A) + \log(B)\]

    \[\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)\]

    Наприклад,

    \[\log_{10}(10 \times 100) = \log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3.\]

    Аналогічним чином

    \[\log_{10}\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1.\]

    Дописувачі та атрибуція