1.13: Логарифми

Цілі навчання

• Обчислення журналів за допомогою різних баз
• Виконуйте основні арифметичні операції за допомогою журналів
• Створіть взаємозв'язок між журналами та пропорційною зміною

Перетворення колоди зменшує позитивний перекос. Це може бути цінним як для того, щоб зробити дані більш інтерпретаційними, так і для надання допомоги у виконанні припущень щодо статистики висновків.

Основи логарифмів (журналів)

Журнали - це, в певному сенсі, протилежність експонентам. Розглянемо наступне просте вираз:

$$10^2 = 100$$

Тут можна сказати,$10$ що база піднята до другої влади. Ось приклад колоди:

$$\log_{10}(100) = 2$$

Це можна прочитати як: База журналу десять$100$ дорівнює$2$. Результатом є сила, до якої повинна бути$10$ піднята база для того, щоб дорівнювати значенню ($100$). Аналогічним чином

$$\log_{10}(1000) = 3$$

так як$10$ повинен бути піднятий до третьої влади, щоб рівнятися$1,000$.

Ці приклади використовуються всі бази$10$, але будь-яка база могла бути використана. Існує база, яка призводить до «природних логарифмів», і це називається$e$ і дорівнює приблизно$2.718$. Тут виходить за рамки, щоб пояснити, що «природно» в цьому. Природні логарифми можуть бути позначені як:$\ln (x)\; or\; \log_e(x)$.

Зміна бази журналу змінює результат на мультиплікативну константу. Щоб перетворити з$\log _{10}$ на природні колоди, ви множите на$2.303$. Аналогічно, щоб перетворити в іншому напрямку, ви ділите на$2.303$.

$$\ln X =2.303 \log_{10} X$$

$\text{antilog}$Прийняття числа скасовує операцію прийняття$\log$. Тому, з тих пір$\log_{10}(1000) = 3$,$antilog_{10}$ of$3$ is$10^3 = 1,000$. $\text{antilog}$Прийняття числа просто піднімає основу логарифма, про який йде мова, до цього числа.

Журнали та пропорційні зміни

Серія чисел, які збільшуються пропорційно, збільшиться в рівних кількостях при перетворенні в журнали. Наприклад, цифри в першому стовпці таблиці$\PageIndex{1}$
збільшуються в рази,$1.5$ щоб кожен рядок був у$1.5$ рази вище попереднього рядка. $\log_{10}$Перетворені числа збільшуються в рівних кроках$0.176$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Пропорційні необроблені зміни рівні в блоках журналу

Сирий	Журнал
4.0	0.602
6.0	0,778
9.0	0,954
13.5	1.130

Як інший приклад, якщо один студент збільшив свій бал від$100$ до,$200$ тоді як другий студент збільшив їх від$150$ до$300$, відсоток зміни ($100\%$) однаковий для обох студентів. Різниця колод також однакова, як показано нижче.

$$Log_{10}(100) = 2.000\\ \log_{10}(200) = 2.301\\ Difference: 0.301\\ \; \\ \log_{10}(150) = 2.176\\ \log_{10}(300) = 2.477\\ Difference: 0.301$$

Арифметичні операції

Правила для журналів виробів і коефіцієнтів наведені нижче.

$$\log(AB) = \log(A) + \log(B)$$

$$\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)$$

Наприклад,

$$\log_{10}(10 \times 100) = \log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3.$$

Аналогічним чином

$$\log_{10}\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1.$$

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribHeblLane
• David M. Lane