Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.12: Лінійні перетворення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98411

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання

    • Дайте формулу для лінійного перетворення
    • Визначте, чи є перетворення лінійним
    • Опишіть, що є лінійним щодо лінійного перетворення

    Часто доводиться перетворювати дані з однієї шкали вимірювань в іншу. Наприклад, ви можете перетворити висоту, виміряну в футах, на висоту, виміряну в дюймах. Таблиця\(\PageIndex{1}\) показує висоти чотирьох людей, виміряних як в футах, так і в дюймах. Щоб перетворити ноги в дюйми, ви просто множите на\(12\). Аналогічно, щоб перетворити дюйми на ноги, ви ділите на\(12\).

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Перетворення між футами і дюймами
    Ноги Дюйми
    5.00 60
    6.25 75
    5.50 66
    5.75 69

    Для деяких конверсій потрібно помножити на число, а потім додати друге число. Хорошим прикладом цього є перетворення між градусами Цельсія і градусами Фаренгейта. Таблиця\(\PageIndex{2}\) показує температури п'яти міст США на початку дня\(\text{November 16, 2002}\).

    Таблиця\(\PageIndex{2}\): Температури в 5 містах на\(11/16/2002\)
    Місто Градуси за Фаренгейтом Градуси Цельсія
    Х'юстон 54 12.22
    Чикаго 37 2.78
    Міннеаполіс 31 -0.56
    Маямі 78 25.56
    Фенікс 70 21.11

    Формула перетворення Цельсія до Фаренгейта така:

    \[F = 1.8C + 32\]

    Формула перетворення з Фаренгейта в Цельсія дорівнює

    \[C = 0.5556F - 17.778\]

    Перетворення складається з множення на константу, а потім додавання другої константи. Для перетворення від Цельсія до Фаренгейта перша\(1.8\) константа є, а друга -\(32\).

    \(\PageIndex{1}\)На малюнку показаний графік градусів Цельсія як функція градусів за Фаренгейтом. Зверніть увагу, що точки утворюють пряму лінію. Це завжди буде так, якщо перетворення з однієї шкали в іншу складається з множення на одну константу, а потім додавання другої константи. Такі перетворення тому називаються лінійними перетвореннями.

    linear_transformation.gif
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Градуси Цельсія як функція градусів за Фаренгейтом

    Багато перетворень не є лінійними. При нелінійних перетвореннях точки на графіку перетвореної змінної проти вихідної змінної не потрапляли б на пряму лінію. Прикладами нелінійних перетворень є: квадратний корінь, підйом до степеня, логарифм і будь-яка з тригонометричних функцій.

    • Девід Лейн