1.12: Лінійні перетворення

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 1.11: Позначення підсумовування
- 1.13: Логарифми

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Дайте формулу для лінійного перетворення
Визначте, чи є перетворення лінійним
Опишіть, що є лінійним щодо лінійного перетворення

Часто доводиться перетворювати дані з однієї шкали вимірювань в іншу. Наприклад, ви можете перетворити висоту, виміряну в футах, на висоту, виміряну в дюймах. Таблиця $\PageIndex{1}$ показує висоти чотирьох людей, виміряних як в футах, так і в дюймах. Щоб перетворити ноги в дюйми, ви просто множите на $12$ . Аналогічно, щоб перетворити дюйми на ноги, ви ділите на $12$ .

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Перетворення між футами і дюймами
Ноги	Дюйми
5.00	60
6.25	75
5.50	66
5.75	69

Для деяких конверсій потрібно помножити на число, а потім додати друге число. Хорошим прикладом цього є перетворення між градусами Цельсія і градусами Фаренгейта. Таблиця $\PageIndex{2}$ показує температури п'яти міст США на початку дня $\text{November 16, 2002}$ .

Таблиця $\PageIndex{2}$ : Температури в 5 містах на $11/16/2002$
Місто	Градуси за Фаренгейтом	Градуси Цельсія
Х'юстон	54	12.22
Чикаго	37	2.78
Міннеаполіс	31	-0.56
Маямі	78	25.56
Фенікс	70	21.11

Формула перетворення Цельсія до Фаренгейта така:

$F = 1.8C + 32$

Формула перетворення з Фаренгейта в Цельсія дорівнює

$C = 0.5556F - 17.778$

Перетворення складається з множення на константу, а потім додавання другої константи. Для перетворення від Цельсія до Фаренгейта перша $1.8$ константа є, а друга - $32$ .

$\PageIndex{1}$ На малюнку показаний графік градусів Цельсія як функція градусів за Фаренгейтом. Зверніть увагу, що точки утворюють пряму лінію. Це завжди буде так, якщо перетворення з однієї шкали в іншу складається з множення на одну константу, а потім додавання другої константи. Такі перетворення тому називаються лінійними перетвореннями.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : *Градуси Цельсія як функція градусів за Фаренгейтом*

Багато перетворень не є лінійними. При нелінійних перетвореннях точки на графіку перетвореної змінної проти вихідної змінної не потрапляли б на пряму лінію. Прикладами нелінійних перетворень є: квадратний корінь, підйом до степеня, логарифм і будь-яка з тригонометричних функцій.

Девід Лейн