1.11: Позначення підсумовування

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 1.10: Дистрибутиви
- 1.12: Лінійні перетворення

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Використовуйте підсумовувальні позначення для вираження суми всіх чисел
Використовуйте позначення підсумовування для вираження суми підмножини чисел
Використовуйте підсумовувальні позначення для вираження суми квадратів

Багато статистичні формули передбачають підсумовування чисел. На щастя, є зручні позначення для вираження підсумовування. У цьому розділі розглядаються основи цього позначення підсумовування.

Припустимо, у нас є змінна $X$ , яка представляє ваги (у грамах) $4$ винограду. Дані наведені в табл $\PageIndex{1}$ .

Таблиця $\PageIndex{1}$ : *Вага $4$ винограду*.
Виноград	Х
1	4.6
2	5.1
3	4.9
4	4.4

Ми $1's$ маркуємо Виноградну $2's$ масу $X_2$ , Виноградну вагу тощо Наступна формула означає підсумувати ваги чотирьох виноградів: $X_1$

$\sum_{i=1}^4 X_i$

Грецька буква велика сигма ( $\sum$ ) позначає підсумовування. Значок $i = 1$ "" внизу вказує на те, що підсумовування починається з, $X_1$ а вгорі вказує $4$ на те, що підсумовування закінчиться $X_4$ . Значення " $X_i$ " вказує, що $X$ це змінна, яку потрібно підсумувати, як $i$ переходить від $1$ до $4$ . Тому,

$\sum_{i=1}^4 X_i = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 4.6 + 5.1 + 4.9 + 4.4 = 19.0$

Символ

$\sum_{i=1}^3 X_i$

вказує на те, що підсумовуються лише перші $3$ бали. Змінна index $i$ йде від $1$ до $3$ .

Коли всі бали змінної (наприклад $X$ ) підсумовуються, часто зручно використовувати такі скорочені позначення:

$\sum X$

Таким чином, коли значення i не показані, це означає підсумувати всі значення $X$ .

Багато формул передбачають квадратичне число перед їх підсумовуванням. Це вказується як

$\sum X^2 = 4.62 + 5.12 + 4.92 + 4.42 = 21.16 + 26.01 + 24.01 + 19.36 = 90.54$

Зверніть увагу, що:

$\left(\sum X \right)^2 \neq \sum X^2$

тому що вираз зліва означає підсумувати всі значення, $X$ а потім квадрат sum ( $19^2 = 361$ ), тоді як вираз праворуч означає квадрат чисел $90.54$ , а потім підсумувати квадрати (як показано).

Деякі формули передбачають суму перехресних добутків. У таблиці $\PageIndex{2}$ наведені дані для змінних $X$ і $Y$ . Поперечні вироби ( $XY$ ) наведені в третій колонці. Сума перехресних виробів становить $3+4+21 = 28$ .

Таблиця $\PageIndex{2}$ : *Перехресні вироби.*
Х	У	XY
1	3	3
2	2	4
3	7	21

У підсумовувальних позначеннях це пишеться так:

$\sum XY = 28.$

Девід Лейн