16: Теорія ігор

Взаємозалежність і рівновага Неша

Здається очевидним, коли ми говоримо, що фірми взаємозалежні, але що саме це означає? Розглянемо дві енергетичні компанії, які виробляють і продають електроенергію. Це хороший приклад однорідного продукту. Ми припускаємо, що споживачам абсолютно все одно, яка з двох фірм забезпечує електроенергією їх будинки.

Щоб це було просто, припустимо, що кожна енергетична компанія може вибрати або високий рівень випуску, або низький рівень випуску. Ринкова ціна є функцією вихідних рішень двох фірм. Прибуток кожної енергетичної компанії - це функції власного рішення щодо виробництва та ринкової ціни.

На малюнку 16.1 відображається матриця виплат, яка показує можливі варіанти вибору та результати. Ви читаєте записи в матриці виплати, як пари координат на графіку, перша частина - для фірми 1, а друга для фірми 2. Пара $300, $300 у верхньому лівому куті чотирьох записів говорить, що Фірма 1 вибрала високий вихід, а Фірма 2 вибрала високий вихід. Кожна фірма закінчується низьким прибутком.

Якби Фірма 2 обрала низький обсяг виробництва (вгорі праворуч), прибуток фірми 1 був би набагато вищим, $1,000, тому що вона зробила багато виробництва і ціна зросла, коли Фірма 2 вирішила скоротити.

Ця конкретна гра є одним пострілом, одночасний хід гра відома як дилема в'язня. Ви, напевно, бачили це раніше. Двоє злочинців заарештовані і допитуються окремо. Якщо обидва мовчать, вони отримують 1 рік у в'язниці. Якщо обидва зізнаються, вони отримують 3 роки. Але якщо один зізнається, а інший - ні, той, хто розмовляє, не отримує тюремного терміну, а мовчазний отримує 10 років.

Ви можете зіставити ці результати з матрицею виплати на малюнку 16.1. Результат, який найкраще підходить для обох фірм разом, становить $1600, з $800 для кожної компанії. Але, як і злочинці версії гри, це буде малоймовірний результат. Припустимо, що обидва заздалегідь погоджуються, що збираються вступити в змову, і обидва вибирають низький вихід. Якщо вони не можуть написати обов'язкову угоду, яка підлягає виконанню (так шахрай може бути покараний), є стимул для кожної фірми змінити своє рішення і вибрати високий вихід, якщо вона думає, що інша фірма буде дотримуватися низької продуктивності. В результаті обидві фірми в кінцевому підсумку отримують низький прибуток (і обидві злочинці зізнаються).

Якщо ви думаєте, що інша фірма збирається обдурити, ваш найкращий крок - це також обдурити. Якщо ви думаєте, що інша фірма збирається дотримуватися угоди, ваш найкращий крок, у сенсі максимізації прибутку, - це обдурити та виробляти високий вихід (припускаючи, що це одноразова гра, і вам більше ніколи не доведеться бачити свого опонента). Схоже, що обман, що виробляє високий вихід (або зізнаючись), є найкращим кроком незалежно від того, що робить інша фірма. Ми говоримо, що ця гра має домінуючу стратегіювиробляти високий вихід (зізнатися).

Цей результат ілюструє причину, чому картельні групи фірм, які збираються разом, щоб стягувати монопольну ціну та розділити монопольний прибуток, є нестабільними. Олігополістичним фірмам важко зібратися разом і діяти як монополія, оскільки існує стимул для окремих фірм обманювати угоду та виробляти більше, щоб скористатися високими цінами.

Через взаємозалежність прийняття рішень фірмами конкуренція між фірмами в олігополії може нагадувати військові операції, що включають тактику, стратегії, ходи та контрходи. Економісти моделюють ці складні процеси прийняття рішень, використовуючи теорію ігор, галузь математики та економіки, яка була розроблена Джоном фон Нейманом (вимовляється noy-man) та Оскаром Моргенштерном у 1930-х роках. Одним з найважливіших учасників теорії ігор є Джон Неш, математик, який розділив Нобелівську премію з економіки.

Теоретико-ігровий аналіз олігополії базується на припущенні, що кожна фірма передбачає, що її конкуренти є оптимізаційними агентами. Тобто менеджери діють так, ніби їхні опоненти чи суперники завжди приймуть найвигідніший контрхід будь-якому кроку, який вони роблять. Завдання менеджера - знайти оптимальну відповідь.

Найважливішим і тривалим внеском Неша є концепція, названа на його честь, рівновага Неша. Як тільки ми перебуваємо у світі, де фірми взаємозалежні, і прибуток однієї фірми залежить від того, що роблять інші фірми, ми виходимо зі світу екзогенно заданої ціни, яку ми використовували для досконалої конкуренції та поза ізольованим світом монополіста. Джон Неш винайшов концепцію рівноваги, яка описує стан спокою в цьому новому світі взаємозалежності.

Рівновага Неша існує, коли кожен гравець, спостерігаючи за тим, що обрали її суперники, не вирішив би змінити хід, який вона сама вибрала. Іншими словами, це рівновага без жалю: Спостерігаючи за результатом, гравець не бажає, щоб вона зробила щось інше замість цього.

Ми детально вивчимо конкретний приклад дуополії (ринку з двома фірмами) з єдиним рівновагою Неша. Пам'ятайте, однак, що це просто один приклад. Деякі ігри мають одну рівновагу по Нешу, у деяких багато, а деякі - ні. У теорії ігор існує багато-багато ігор і сценаріїв, і ми розглянемо лише один простий приклад.

Модель Курно

Огюстен Курно (вимовляється coor-no) був надзвичайно творчим французьким економістом ^19-го століття (див. Посилання в розділі 12.2). Курно спочатку створив модель дуополістів, які виробляють те саме добре і оптимізують, вибираючи власні рівні виходу на основі припущень про те, що буде робити суперник.

Ось налаштування:

• Дві фірми.

• Кожен виробляє точно такий же продукт.

• Постійна вартість одиниці.

• Фірми вибирають рівні випуску одночасно.

• Обидва знають ринковий попит на продукт.

Прибуток кожної фірми залежить від того, скільки вона виробляє і скільки виробляє її конкурент. Якщо суперник виробляє багато, ринкова ціна падає. Взаємозалежність полягає в тому, що рішення однієї фірми про те, скільки виробляти, впливає на ціну і, таким чином, на прибуток суперника.

Яку стратегію повинна використовувати кожна фірма, щоб вибрати свій рівень випуску продукції? Відповідь залежить від його переконань щодо поведінки суперника.

КРОК Відкрийте книгу Excel GameTheory.xls і прочитайте Введення аркуша, а потім перейдіть до аркуша параметрів.

Ринковий попит задається лінійною зворотною кривою попиту, і для простоти ми приймаємо лінійну функцію загальної вартості. Це означає, що\(MC = AC\) є горизонтальною лінією.

КРОК. Приступаємо до ідеального листу змагань.

З багатьма невеликими фірмами ПК галузь в цілому буде виробляти там, де попит перетинає пропозицію (що є сумою MC окремої фірми). Графік показує, що цілком конкурентний ринок буде виробляти 15 000 кВт-год за ціною 5/кВт-год.

Що станеться, якщо єдина фірма візьме на себе весь ринок?

КРОК. Переходимо до листа Монополії. Використовуйте повзунок Виберіть Q, щоб визначити кількість максимізації прибутку. Слідкуйте за коміркою B18, коли ви регулюєте вихід. Оптимальний вихід знайдено де\(MR = MC\).

Монополіст буде виробляти 7500 кВт-год і стягувати ціну 12,5/кВт-год. Це рішення отримує максимальний прибуток в 56 250 центів.

Не дивно, що порівняно з ідеально конкурентними результатами, монополія призводить до зниження виробництва та підвищення цін.

Курно першим задав питання: «Що станеться, якщо галузь поділяють дві фірми?»

Щоб зрозуміти відповідь, концепція залишкового попиту має вирішальне значення, оскільки дозволяє нам вирішити проблему оптимізації фірми. Залишковий попит - це крива попиту, що стоїть перед фірмою після віднімання продажів у іншої фірми. Звідти функція реакції для кожної фірми походить від порівняльного статичного аналізу. Потім дві функції реакції об'єднуються, щоб отримати рівновагу Неша, що є відповіддю на питання Курно. Це заплутано. Ми звертаємося до Excel, щоб побачити кожен крок і як це все працює.

Залишковий попит

Щоб з'ясувати поєднання кількості та ціни з двома конкуруючими фірмами, нам потрібно зрозуміти, як будуть вести себе фірми.

КРОК. Переходимо до листа залишкового попиту.

Цей аркуш показує, як Фірма 1 вирішує, що робити, враховуючи рішення про вихід фірми 2. Подумайте про діаграму як належність до фірми 1. Він буде використовувати цю діаграму, щоб вирішити, що робити, враховуючи різні сценарії.

Згаданий Q2, в комірці B14, є ключовою змінною. Гіпотеза - це освічена здогадка. Він заснований на неповній інформації. Фірма 1 не знає і не може контролювати, що буде робити Фірма 2. Фірма 1 повинна діяти, однак, тому вона розглядає рішення про вихід фірми 2 як здогаду і виходить на основі цієї прогнозованої вартості.

Згаданий Q2 є екзогенною змінною для фірми 1. Він не знає, що буде робити Фірма 2, і не може контролювати це. Припущений вихід Фірми 2 може відрізнятися від фактичного випуску Фірми 2. Фірма 1 може, однак, вивчити, як вона буде реагувати на різні можливі значення продукції Firm 2.

Лист залишкового попиту відкривається з Conjectured Q2 = 0. У цьому сценарії Фірма 2 нічого не виробляє, а Фірма 1 поводиться як монополіст, виробляючи 7500 кВт-год і стягуючи ціну 12,5/кВт-год.

КРОК Клацніть п'ять разів на смузі прокрутки в осередку C14. З кожним клацанням миші, Conjectured Q2 піднімається на 1000 одиниць, а червоні лінії на графіку зсуваються вліво.

Червоні лінії є критичним фактором для фірми 1. Вони являють собою залишковий попит і залишковий граничний дохід. Ідея залишкового попиту полягає в тому, що продукція фірми 2 буде продана першою, залишивши Фірму 1 з рештою ринку.

Залишок в назві стосується того факту, що Фірма 2 буде поставляти задану кількість ринку, а потім Фірма 1 вільна вирішувати, що робити з попитом, який залишився.

З кожним клацанням, Фірма 2 виробляла більше, і тому попит, що залишився на Фірму 1, падав. Ось чому залишкові зміни попиту залишилися, коли Фірма 2 виробляє більше.

Як показує аркуш параметрів, зворотна крива попиту для всього ринку задається функцією\(P = 20 - 0.001Q\). Якщо Conjectured Q2 = 5000, то залишкова зворотна крива попиту дорівнює\(P = 20 - 0.001Q - 0.001(5000)\). Іншими словами, віднімаємо суму, поставлену Фірмою 2. Таким чином, залишкова зворотна крива попиту є\(P = 15 - 0.001Q\).

На малюнку 16.2 показано, як залишковий попит зміщується вліво на 5000 кВт-год, коли Conjectured Q2 становить 5000. Ключова ідея полягає в тому, що випуск фірми 2 віднімається з кривої попиту, а те, що залишилося, залишкове, - це попит, з яким стикається Фірма 1.

Після того, як ми отримаємо залишковий попит на фірму 1, ми можемо знайти рішення для максимізації прибутку. Фірма 1 отримує залишковий MR зі своєї кривої залишкового попиту і використовує це для максимізації прибутку шляхом встановлення залишкового\(MR = MC\). На малюнку 16.2, Фірма 1 не максимізує прибуток, виробляючи 7500 одиниць і заряджаючи 7,5/кВт-год. Зверніть увагу, що ціна зчитується з кривої залишкового попиту, а не з повної кривої ринкового попиту.

КРОК Використовуйте смугу прокрутки (під діаграмою), щоб знайти оптимальне рішення фірми 1s, коли Conjectured Q2 становить 5,000.

Ви повинні були виявити, що\(Q\) оптимальним є 5000 кВт-год, оптимальний P = 10/кВт-год, а максимум\(\pi\) - 25 000 центів.

Реакційна функція

Тепер, коли ми знаємо, як дуополіст використовує залишковий попит, щоб вибрати кількість (і ціну), яка максимізує прибуток, ми можемо перейти до наступного кроку у відповіді на запитання Курно: «Що станеться, якщо галузь поділяють дві фірми?»

Ми відстежуємо оптимальний вихід кожного дуополіста як функція Conjectured Q2. Це дає реакційну (або найкращу реакцію) функцію. Реакційна функція являє собою порівняльний статичний аналіз, заснований на шокуючому Conjectured Q2.

КРОК Заповніть таблицю в листі залишкового попиту. Ви вибираєте точки з функції реакції фірми 1.

У вас вже є два ряди. На додаток до оптимального рішення при Conjectured Q2 = 5000, яке ми щойно знайшли, коли Conjectured Q2 = 0, оптимальна продуктивність становить 7500, а оптимальна ціна - 12,5/кВт-год. Заповніть решту таблиці.

КРОК. Перевірте свою роботу, натиснувши кнопку.

Заповнена таблиця дає нам функцію реакції фірми 1. Він схожий на висновок CSWizкрайній лівий стовпець - екзогенна змінна, а інші стовпці - ендогенні відповіді.

Виведення функції реакції фірми 1 є важливим кроком у з'ясуванні того, як дві фірми будуть взаємодіяти. Функція реакції дає нам оптимальну відповідь фірми 1 на рішення про вихід фірми 2. Однак ми не знаємо, що насправді буде робити Фірма 2. Він має функцію реакції так само, як і Фірма 1. Дві фірми повинні взаємодіяти, щоб визначити, що буде на ринку.

Пошук рівноваги Неша

Залишковий попит дозволив нам зрозуміти функцію реакції. Зараз ми готові до третього і останнього кроку, щоб відповісти на запитання Курно щодо результатів дуополії. Пам'ятайте, досконала конкуренція дає 15 000 кВт-год продукції, а монополія дає лише 7500 (причому за більш високою ціною). Імовірно, дуополія між ними, але де?

КРОК. Приступаємо до дуополии листу.

Дисплей новий, але простий для розуміння. Замість того, щоб працювати тільки з Firm 1, обидва показані. Вони мають однакові витрати.

На аркуші є кнопки, які дозволяють легко побачити, що буде робити кожна фірма. Аналітичне рішення використовується, тому вам не доведеться запускати Solver щоразу, коли Conjectured Q2 змінюється.

КРОК Зверніть увагу, що Припущений Q2 (в комірці B13) дорівнює нулю. Щоб знайти оптимальне рішення, натисніть кнопку.

Не дивно (враховуючи нашу попередню роботу з графіком залишкового попиту), оскільки Conjectured Q2 дорівнює нулю, фірма 1 вирішує виробляти 7500 кВт-год.

Але подивіться на комірку G13Firm 1 оптимізувала, але тепер нам потрібно запитати, що б зробила Фірма 2, якби фірма 1 зробила 7500 кВт-год? Фірма 2 хоче максимізувати прибуток так само, як Фірма 1.

КРОК Натисніть кнопку.

Рішення фірми 2 має сенс. Якщо Фірма 1 виробляє 7500 кВт-год, то Фірма 2 максимізує прибуток, приймаючи залишковий попит і виробляючи 3750 кВт-год. Їх комбіновані засоби виведення\(P=8.75\).

Однак це не є рівноважним рішенням, оскільки Фірма 1 не збирається виробляти 7500 кВт-год. Чому б і ні?

КРОК Подивіться на осередок В13. Натисніть на осередок B13.

Формула B13, =G20, дає зрозуміти, як рішення Фірми 1 пов'язане з її конкурентом. Якщо Фірма 2 каже, що хоче виготовити 3750, то Фірма 1 шкодує і змінить свій попередній вибір. Нам потрібно знайти оптимальний вихід для фірми 1, враховуючи новий рівень випуску продукції Фірми 2.

КРОК Натисніть кнопку.

Фірма 1 вирішує виробляти 5625 кВт-год (виходячи з продуктивності Фірми 2 3750 кВт-год), але тепер ми повертаємося до Фірми 2. Чи буде він виробляти 3750 кВт-год? Ні. Коли Фірма 1 змінила свій вихід, осередок G13 оновився. Як і B13, G13 з'єднує оптимальне рішення фірми 2 з вибором вихідної продукції фірми 1.

Настала черга Фірми 2 пошкодувати про своє попереднє рішення. Фірма 2 може отримувати більший прибуток, змінюючи свою продукцію, коли Фірма 1 складає 5625 кВт-год. Скільки буде Фірма 2 хоче виробляти? Давайте дізнаємося.

КРОК Натисніть кнопку.

Фірма 2 встановлена, але як щодо фірми 1? Чи шкодує, що зробило 5,625? Так, це відбувається тому, що може отримати більший прибуток, змінивши своє рішення.

Ми не будемо в рівновазі, поки обидві фірми не будуть задоволені своїм вибором продукції і не побажають його змінювати. Оскільки Фірма 2 змінила свій випуск, Фірма 1 захоче змінити свій вихід.

КРОК Натисніть кнопку.

Можливо, ви думаєте, що це ніколи не закінчиться. Це невірно. Це закінчиться. Ви можете побачити, як це закінчується.

КРОК. Повторно переміщайтеся вперед і назад, натискаючи кнопки і, одна за одною. Що відбувається?

Після багаторазового натискання ви дивитеся на конвергенцію. Зрозуміло, що два оптимальних вихідних рівня закриті на 5,000Це рівноважне рішення Неша цієї проблеми та відповідь на питання Курно. Дуополія вироблятиме загальну суму 10 000 кВт-год з ціною 10/кВт-год. Це має сенс, оскільки воно знаходиться між цілком конкурентоспроможними (15 000 кВт-год) та монопольними результатами (7500 кВт-год).

Ручна оптимізація для кожної фірми по черзі, назад і вперед, поки рішення рівноваги не прийдуть у фокус - це чудовий спосіб зрозуміти концепцію рівноваги Неша. Це позиція відпочинку, де жодна фірма не шкодує про своє попереднє рішення. Насправді рівновагу Неша часто називають точкою «без жалю». Існує, однак, більш швидкий спосіб знайти положення спокою.

КРОК натисніть кнопку.

Ця кнопка робить всю важку роботу за вас. Це по черзі вирішує проблему однієї фірми, враховуючи вихід іншої фірми багато разів. Він продовжує максимізувати прибуток фірми, поки не буде менше 0,001 різниці між оптимальним виходом фірми та її оптимальним виходом на основі передбачуваного виходу її конкурента.

КРОК Щоб переконатися в цьому, натисніть на осередки B20 і G20. Вони близькі до 5000, але не рівно 5000.

Кнопка також відображає функції реакції окремої фірми (при необхідності прокрутіть вниз). При цьому дві реакції функції ідентичні.

Нарешті, кнопка показує дві функції реакції на одній діаграмі, і перетин миттєво виявляє рівновагу Неша. На малюнку 16.3 показана діаграма рівноваги Неша з додатковими елементами, які допоможуть пояснити це.

Пункт 1 на малюнку 16.3 представляє перший раз, коли Фірма 1 максимізує прибуток, з Conjectured Q2 нульовим. Пункт 2 показує оптимізацію фірми 2 на основі фірми 1, що робить 7500 кВт-год. Ви можете побачити, слідуючи стрілкам, як це призведе до перетину як рівноваги Неша.

Ви можете задатися питанням, чому функції реакції не однакові на малюнку 16.3, оскільки вони ідентичні при графіках самі по собі (як показано нижче кнопок на аркуші дуополії). Відповідь полягає в осях, щоб побудувати їх обох на одному графіку, ми використовуємо функцію реакції для Firm 2 і функцію зворотної реакції для Firm 1. Прокрутіть вниз, щоб побачити функцію зворотної реакції, починаючи з рядка 63.

Пам'ятайте: рівновага Неша існує, коли кожен гравець, спостерігаючи за тим, що обрали її суперники, не вирішив би змінити хід, який вона сама вибрала. Рівновага Неша - це точка без жалю для всіх гравців.

На малюнку 16.3 видно, що рівновага Неша знаходиться на перетині двох реакційних функцій. Тільки там обидві фірми відхилять пропозицію змінити свої оптимальні рішення. Це положення спокою.

Оцінка рівноваги Неша Дуополії

Ми знаємо відповідь на питання Курно. Дуополія, при рівновазі Неша, залишає нас між досконалою конкуренцією та монополією. Але можна сказати більше про результат дуополії. Ми орієнтуємося на прибуток.

КРОК У комірці D16 в аркуші Duopoly введіть формулу, яка додає прибуток двох фірм при рівновазі Неша. Що таке прибуток галузі?

Ви можете згадати, що монополія мала максимальний прибуток 56,250 центів. Це краще, ніж 50 000 центів, які ви щойно обчислили за допомогою вашої формули в комірці D16 з = B16+ G16.

Чи можуть дуополісти збільшити свій прибуток до 56 250 як монополіст? Так, можуть, але вони не зможуть виконати взяті на себе зобов'язання.

КРОК Встановити величину для обох фірм (в осередках B20 і G20) до 3,750. Що відбувається з прибутком?

Дивно, але вони піднімаються вгору. Якщо два суперники зможуть погодитися просто розділити монопольний випуск 7500 кВт-год, кожен складе 28 125 центів і відповідати монопольному результату.

Але це не триватиме. Чому б і ні? Чому дві фірми не збираються разом і не виробляють 3750 одиниць кожна і не отримують більший спільний прибуток, ніж рішення про рівновагу Неша? Один клік відкриває відповідь.

КРОК Натисніть кнопку або кнопку.

Якщо суперник заробляє 3750 кВт-год, фірма максимізує прибуток на рівні 5625 кВт-год. Іншими словами, у них є стимул обманюватитак само, як і в грі Prisen's Dilemma.

Як тільки один скористається перевагою, інший відстрілюється, і вони повертаються до рівноваги Неша.

Ви можете запропонувати написати контракт, але це незаконно і не підлягає виконанню в Сполучених Штатах. Є й інші варіанти та стратегії, але вони заберуть нас занадто далеко від проміжної мікроекономіки. Однією з сильних привабливості, яку легко побачити, є злиття. Якщо дві фірми об'єднаються в єдиний суб'єкт, вони будуть монополією і користуватися монопольним прибутком. Імовірно, Міністерство юстиції заперечувало б.

Взаємозалежність

Теорія ігор є захоплюючою, зростаючою областю економіки. Його основна привабливість полягає в реалістичному моделюванні агентів як стратегічних осіб, що приймають рішення, які грають один проти одного, рухаються та протидіють. Це, очевидно, те, що робить реальна фірма.

Модель Cournot - це проста гра, що зіставляє дві фірми один проти одного. Це добре ілюструє поняття взаємозалежності і те, як одна фірма рухається, а потім інша реагує, і так далі. У той час як деякі ігри не мають рівноваги Неша, дуополісти Курно осідають на положення спокою.

Підсумковий лист має результати досконалої конкуренції, дуополії та монополії. Зрозуміло, що монополія максимізує прибуток фірми, але досконала конкуренція пропонує споживачеві найнижчу ціну і найбільшу кількість продукції. До цього порівняння ми повернемося в третій і заключній частині цієї книги.

Ми щойно подряпали поверхню теорії ігор. Є багато-багато більше ігор. Робоча книга RockPaperScissors.xls дозволяє грати в гру цієї дитини в Excel. Розділ 17.7 про картелі та втрату дедвейта має ще одне застосування теорії ігор.

Для розважальної версії дилеми в'язня в ігровому шоу, дивіться цей фінал епізоду Золоті кулі: tiny.cc/splitsteal. І для справді розумного повороту, дивіться цей: tiny.cc/ibrahim. Стратегія Ніка була заборонена з шоу. У блозі теорії ігор Корнелла є запис, що пояснює це: tiny.cc/splitstealanalysis.

Вправи

Ці вправи засновані на\(c_1=5\). Якщо ви виконали запитання та відповіді та змінили цей параметр, змініть його на початкове значення.

1. Якщо Conjectured Q2 становить 15 000, чому Фірма 1 вирішує нічого не виробляти? Використовуйте лист ResidualDemand, щоб підтримати ваше пояснення.

2. Припустимо, фірма 1 виробляє 4500 кВт-год, а Фірма 2 виробляє 6000 кВт-год. Чи шкодує Фірма 1? Чи шкодує Фірма 2? Введіть ці два значення в аркуші Duopoly і натисніть кнопки. Яка фірма передумала? Чому?

3. Натисніть на кнопку в аркуші Дуополія. Дослідіть ефект зміни функції витрат фірми 1 так, щоб\(c_2\) (осередок B10) становив 0,001 (з B11 = 5). Як це впливає на рівновагу Неша?