Як визначаються ціни на товари, що зберігаються - яблука, картопля чи пшениця?
Як правило, пшениця, зібрана восени, повинна тривати до наступного врожаю. Як повинні розвиватися ціни протягом сезону? Якщо я знаю, що пшениця мені потрібна в січні, чи варто купувати її під час збору врожаю і зберігати самостійно, або чекати і купувати її в січні? Ми можемо використовувати теорію, аналогічну теорії колекціонування, розробленої в розділі 11.6 «Колекціонування», щоб визначити еволюцію цін на такі товари, як пшениця, кукурудза, апельсиновий сік та олія ріпаку.
На відміну від предметів колекціонування, покупцям не потрібно тримати товари для особистого користування, оскільки немає ніякої цінності милуватися пшеницею у вашому домі. Нехай p (t) буде ціною в момент t, і припустимо, що рік має довжину T. Як правило, існує значна невизначеність щодо розміру врожаю пшениці, і більшість країн підтримують надлишок запасів як запобіжний захід. Однак якби урожай не був невизначеним, не було б необхідності в запобіжному проведенні. Натомість ми споживали весь урожай протягом року, і тоді прийде новий урожай. Саме ця така модель досліджується в даному розділі.
Нехай δ представляють норму амортизації (яка, для пшениці, включає кількість з'їденого гризунами), а давайте - витрати на зберігання. Купівля під час t і перепродаж на t + Δ повинна бути пропозицією беззбитковості. Якщо хтось купує в час t, це коштує p (t), щоб купити товар. Перепродаж при t + Δ, вартість зберігання становить близько s Δ. (Це не точно відповідна вартість; а скоріше це поточна вартість вартості зберігання, а отже, обмеження малих значень Δ.) Товар знецінюється лише для продажу e −Δδ, а дисконтування зменшує значення цієї суми на коефіцієнт e −Rδ. Для цього буде пропозиція беззбитковості, для малого Δ,
\ begin {рівняння} 0=e-r\ Дельта е-\ дельта\ Дельта р (t+\ Дельта) -s\ дельта-p (t)\ end {рівняння}
або
\ begin {рівняння} p (t+\ Дельта) -p (t)\ дельта = 1-е- (r+\ дельта)\ Дельта\ Дельта p (t+\ Дельта) +s\ end {рівняння}
Ця умова арбітражу гарантує, що інвестувати в товар є беззбитковою пропозицією; прибуток від подорожчання цін точно збалансований амортизацією, відсотками та витратами на зберігання. Ми можемо вирішити диференціальне рівняння для отримання
\ begin {рівняння} p (t) =e (r+\ дельта) t (p (0) +1-е- (r+\ дельта) t r+\ дельта s) =e (r+\ дельта) t p (0) +e (r+\ дельта) t-1 r+\ дельта s\ кінець {рівняння}
Невідомим є p (0). Обмеження на p (0), однак, схоже на проблему видобутку ресурсів— p (0) визначається необхідністю використання врожаю протягом року.
Припустимо, попит має постійну еластичність ε. Тоді використана кількість надходить у форму\(\begin{equation}x(t)=\operatorname{ap}(t)-\varepsilon\end{equation}\). Нехай z (t) представляють запас під час t. Тоді рівняння еволюції запасу є\(\begin{equation}z^{\prime}(t)=-x(t)-\delta z(t)\end{equation}\). Це рівняння отримують, зазначивши, що витік з запасу складається з двох елементів: амортизації, Δz і споживання, x. Рівняння еволюції запасів вирішує для
\ begin {рівняння} z (t) = e −Δt (q (0) − 0 t e Δu x (u) ду). \ end {рівняння}
Таким чином, кількість пшениці витрачається саме в тому випадку, якщо
\ begin {рівняння}\ int 0\ текст {T e}\ дельта u x (u) d u=q (0)\ end {рівняння}
Але це рівняння визначає початкову ціну через
\ почати {рівняння} q (0) = 0 Т е Δu x (u) ду = 0 Т е Δu ap (u) −ε ду = 0 Т е Δu а (е (r+δ) u p (0) + е (r+δ) u −1 r+δ s) −ε ду. \ end {рівняння}
Це рівняння не призводить до замкнутої форми для p (0), але легко оцінюється, що забезпечує практичний засіб обчислення очікуваних цін на товари в тимчасово фіксованій пропозиції.
Рисунок 11.7 Ціни протягом циклу на сезонні товари
Малюнок 11.7 «Ціни за цикл на сезонні товари». Зростаюча частина насправді є експоненціальною, але настільки невеликою мірою, що вона виглядає лінійною. Коли надходить новий урожай, ціни різко падають, оскільки запаси різко зростають, і така ж картина повторюється.
Малюнок 11.8 Журнал цін на золото з плином часу
Малюнок 11.8 «Журнал ціни золота з плином часу» показує журнал майбутньої ціни на золото з плином часу. Відповідні дані надходять з ф'ючерсного ринку, який в один момент часу встановлює ціну золота для майбутньої доставки і, таким чином, представляє сьогоднішню оцінку майбутньої ціни на золото. Ці дані, таким чином, представляють очікувану майбутню ціну в конкретний момент часу (вдень 11 жовтня 2005 року), і, таким чином, відповідають цінам в теорії, оскільки сприйняті ризики фіксуються. (Зазвичай в реальному світі ризик відіграє важливу роль.) Ми можемо спостерігати, що ціни приблизно експоненціальні, оскільки журнал цін приблизно лінійний. Однак оцінка r + δ напрочуд низька, при річному рівні менше 0,03, або 3% як для дисконтування, так і для амортизації. Знецінення золота низька, але це все одно являє собою дуже низьку процентну ставку.
Ключові виноси
Існує сезонна закономірність до товарів, які виробляються періодично. Рівняння ціни видає «пилкоподібний» візерунок. Зростаюча частина - експоненціальна.
Ціни на золото показують свідчення прогнозованого теорією експоненціального зростання.
ВПРАВА
Розглянемо ринок товару, який можна зберігати з нульовою вартістю від зими до літа, але не може зберігатися з літа на зиму. Зимовий попит і пропозиція - Qwd = 50 - 2 Pw і Qws = 3 Pw, а літній попит і пропозиція - Qsd = 100 - 3 Ps і Qss = Ps. Обчислити Pw, Ps, Qw та Qs, а також кількість накопичення від зими до літа. (Встановіть дисконтування на нуль.)
