11.1: Справжня вартість

Last updated
Save as PDF

Page ID: 82238

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

МЕТА НАВЧАННЯ

Як оцінюється потік платежів або зобов'язань?

Обіцянка $1 в майбутньому сьогодні не коштує $1. Існує безліч причин, чому обіцянка майбутніх платежів сьогодні не варта номіналу, деякі з яких пов'язані з ризиком того, що гроші можуть не бути виплачені. Давайте відкладемо такий ризик на даний момент. Навіть коли майбутній платіж, як сприймається, відбувається з незначним ризиком, більшість людей віддають перевагу $1 сьогодні до 1 долара, що підлягає сплаті на рік. Один із способів висловити це за теперішньою вартістю: Вартість сьогодні майбутнього платежу долара менше долара. З точки зору поточної вартості майбутні платежі дисконтуються.

З індивідуальної точки зору, одна з причин того, що слід цінувати майбутній платіж менше, ніж поточний платіж, пов'язана з арбітражем. Арбітраж - це процес купівлі-продажу таким чином, щоб отримати прибуток. Наприклад, якщо пшениця продається по $3 за бушель в Нью-Йорку, але $2,50 за бушель в Чикаго, то можна купити в Чикаго і продати в Нью-Йорку, отримавши прибуток на $0,50 за бушель за вирахуванням будь-яких трансакційних і транспортних витрат. Такий арбітраж, як правило, змушує ціни відрізнятися не більше, ніж трансакційні витрати. Коли ці трансакційні витрати невеликі, як і на золото, ціни будуть приблизно однаковими у всьому світі. Припустимо, вам знадобиться $10,000 через рік, щоб покласти перший внесок на будинок. Один із способів виробництва $10,000 - купити державні облігації, які виплачують $10,000 на рік відтепер. Що вам коштуватиме ця облігація? При поточних процентних ставках захищені облігації-економісти, як правило, вважають цінні папери федерального уряду США безпечними, оскільки ймовірність такого дефолту дуже і дуже низька. коштуватиме близько $9,700. Це означає, що ніхто не повинен бути готовий платити 10 000 доларів за майбутній платіж у розмірі 10 000 доларів, тому що натомість можна отримати майбутні 10 000 доларів, купуючи облігацію, і залишиться 300 доларів, щоб витратити на капучіно або підручники з економіки. Іншими словами, якщо ви будете платити $10,000 за безпечну обіцянку погасити $10,000 на рік отже, то я можу зробити успішний бізнес, продаючи вам безпечну обіцянку за $10,000 і кишеню $300.

Цей арбітражний розгляд також пропонує, як оцінити майбутні платежі: дисконтувати їх за відповідною процентною ставкою.

Приклад (Автокредит): Ви купуєте автомобіль на $20 000, і вам пропонується вибір оплатити все це сьогодні готівкою, або заплатити $21 000 за один рік. Якщо ви платите готівкою (припускаючи, що у вас є стільки готівкою) або взяти кредит? Кредит під 5% річної процентної ставки, оскільки погашення на 5% перевищує суму кредиту. Це гарна угода для вас, якщо ваша альтернатива полягає в тому, щоб позичити гроші за більш високою процентною ставкою; наприклад, на (більшості) кредитних карток. Це також хороша угода, якщо у вас є заощадження, які платять більше 5% - якщо покупка автомобіля готівкою тягне за собою готівку в депозитному сертифікаті, який платить більше 5%, то ви втратите різницю. Якщо, з іншого боку, ви зараз економите гроші, які сплачують менше 5% відсотків, виплата автомобіля - це краща угода.

Формула для теперішньої вартості полягає в дисконті на суму відсотків. Позначимо процентну ставку на наступний рік як r ₁, ставку другого року як r ₂ і так далі. У цій позначенні інвестований $1 заплатить$\begin{equation}\$\left(1+r_{1}\right) \text { next year, or } \$\left(1+r_{1}\right) \times\left(1+r_{2}\right) \text { after } 2 \text { years, or } \$\left(1+r_{1}\right) \times\left(1+r_{2}\right) \times\left(1+r_{3}\right)\end{equation}$ через 3 роки. Тобто r _i - процентна ставка, яка визначає значення, на кінець року i, 1 долара, інвестованого на початку року i. Тоді, якщо ми отримуємо потік платежів A ₀ негайно, A ₁ в кінці року перший, A ₂ в кінці року два, і так далі, теперішнє значення цього потоку є

\ begin {рівняння}\ математика {PV} =\ математика {A} 0+\ математика {A} 11+\ математика {r} 1+\ математика {A} 2 (1+\ mathrm {r} 1) (1+\ математика {r} 2) +\ математика {A} 2 (1+\ mathrm {r} 1) 1+\ математика {r} 2) (1+\ mathrm {r} 3) +\ точки\ кінець {рівняння}

Приклад (Консолідовані ануїтети або консолі): Яка вартість $1 сплачується наприкінці кожного року назавжди, з фіксованою процентною ставкою r? Припустимо, значення дорівнює v. Тоді ця розробка використовує формулу, яка, для$\begin{equation}-1<a<1,11-a=1+a+a 2+\ldots\end{equation}$, яка легко перевіряється. Зверніть увагу, що ця формула передбачає нескінченний ряд.

\ почати {рівняння} v= 1 1+r + 1 (1+r) 2 + 1 (1+r) 3 +... = 1 1− 1 1+r −1= 1 р. \ end {рівняння}

При 5% процентній ставці 1 мільйон доларів на рік, виплачений назавжди, сьогодні коштує 20 мільйонів доларів. Облігації, які сплачують фіксовану суму щороку назавжди, відомі як консолі; жодних поточних державних випусків не консолі.

Приклад (іпотека): Знову ж таки, зафіксуйте процентну ставку r, але на цей раз нехай r буде щомісячною процентною ставкою. Іпотека передбачає фіксований платіж на місяць протягом великої кількості місяців (наприклад, 360 для 30-річної іпотеки). Яка поточна вартість цих платежів протягом n місяців? Простий спосіб обчислити це - використовувати значення консолі, тому що

\ почати {рівняння} M= 1 1+r + 1 (1+r) 2 + 1 (1+r) 3 +... + 1 (1+r) n = 1 r − 1 (1+r) n+1 − 1 (1+r) n+2 − 1 (1+r) n+3 −... = 1 r − 1 (1+r) n (1 (1+r) + 1 (1+r) 2 + 1 (1+р) 3 +...) = 1 р − 1 (1+р) п 1 р = 1 р (1− 1 (1+р) п). \ end {рівняння}

Таким чином, при щомісячній процентній ставці 0,5%, оплата 1 долара на місяць протягом 360 місяців дає поточну вартість M 1 0,005 (1− 1 (1,005) 360$) =166,79 $. Тому, щоб позичити 100 000 доларів, потрібно було б заплатити $100,000 $166,79 = $599,55 на місяць. Важливо пам'ятати, що інша сума кредиту просто змінює шкалу: запозичення 150 000 доларів вимагає виплати в розмірі 150,000 доларів США 166,79$ = 899,33 доларів на місяць, оскільки 1 долар на місяць генерує $166,79 в теперішній вартості.

Приклад (Простий і складний відсоток): За кілька днів до калькуляторів було проблемою фактично вирішити формули процентних ставок, тому були зроблені певні спрощення. Одним з них були прості відсотки, що означало, що денні або щомісячні ставки були переведені в річні ставки за неправильними формулами. Наприклад, при річній ставці 5% проста процентна денна ставка становить 5% 365 = 0,07692%. Те, що це невірно, видно з розрахунку (1+ .05 365) 365 = 1,051267%, що і є нарахуванням складних відсотків. Простий відсоток збільшує річну ставку, тому приносить користь кредиторам і шкодить позичальникам. (Отже, банки рекламують точну річну ставку на ощадних рахунках - коли споживачам подобається, щоб кількість була більшою, але не за іпотечними кредитами, хоча банки зобов'язані за законом розкривати, але не рекламувати широко, фактичні річні процентні ставки за іпотечними кредитами.)

Приклад (обов'язкова лотерея): Ви виграєте в лотерею, а папір повідомляє, що ви виграли 20 мільйонів доларів. Вам заплатять 20 мільйонів доларів, але чи варто це 20 мільйонів доларів? Фактично ви отримуєте 1 мільйон доларів на рік протягом 20 років. Однак, на відміну від нашої формули, ви отримуєте перший мільйон відразу з кажана, тому значення

\ begin {рівняння}\ математика {PV} =1+11+\ математика {r} +1 (1+\ математика {r}) 2+1 (1+\ математика {r}) 3+\ точки+1 (1+\ математика {r}) 19=1+1\ математика {r} (1-1 (1+\ матрм {r})\ end {рівняння}

Таблиця 11.1 «Нинішня вартість 20 мільйонів доларів» обчислює поточну вартість нашої лотереї на 20 мільйонів доларів, перераховуючи результати в тисячах доларів, за різними процентними ставками. При 10% відсотках вартість лотереї становить менше половини сплаченого «кількості доларів»; і навіть при 5% вартість потоку платежів становить 65% від номіналу.

Таблиця 11.1 Нинішня вартість 20 мільйонів доларів

р	3%	4%	5%	6%	7%	10%
ПВ (000с)	$15 324	$14 134	$13,085	$12,158	$11,336	$9,365

Приклад лотереї показує, що процентні ставки мають різкий вплив на вартість платежів, здійснених у віддаленому майбутньому. Аналіз теперішньої вартості - це інструмент номер один, який використовується в програмах MBA, де він відомий як чистий теперішній вартості, або NPV, аналіз. Точно сказати, що більшість корпоративних інвестиційних рішень керуються аналізом NPV.

Приклад (ціни на облігації): Стандартний казначейський вексель має фіксовану майбутню вартість. Наприклад, він може заплатити 10 000 доларів за один рік. Він продається зі знижкою від номіналу, так що однорічна облігація $10,000 може продати за $9,615.39, створюючи 4% процентної ставки. Для обчислення ефективної процентної ставки r використовується формула, що стосується майбутнього значення FV, кількість років n, а ціна дорівнює

\ begin {рівняння} (1+r) n = FV Ціна\ кінець {рівняння}

або

\ begin {рівняння} r= (FV Ціна) 1 n −1. \ end {рівняння}

З будь-якої формули ми бачимо, що ціни на казначейські векселі обертаються до процентних ставок - збільшення процентних ставок знижує ціни казначейства. Облігації трохи складніше. Облігації сплачують фіксовану процентну ставку, встановлену на момент випуску протягом терміну дії облігації, як правило, збираються півроку, а номінал виплачується в кінці терміну. Ці облігації часто продавалися на довгострокові терміни, цілих 30 років. Таким чином, трирічна облігація $10,000 під 5% з піврічними платежами буде платити $250 в кінці кожного півріччя протягом 3 років, і платити $10,000 в кінці 3 років. Чиста приведена вартість, з річною процентною ставкою r, становить

\ почати {рівняння}\ текст {NPV} =\ $250 (1+r) 12+\ $250 (1+r) 1+\ $250 (1+r) 32+\ $250 (1+r) 2+\ $250 (1+r) 52+\ $250 (1+r) 3+\ $10000 (1+r) 3\ кінець {рівняння}

Чиста приведена вартість буде ціною облігації. Спочатку ціна облігації повинна бути номіналом, так як процентна ставка встановлюється як ринкова ставка. Казначейство США припинило випускати такі облігації в 2001 році, замінивши їх облігаціями, в яких виплачується номінал, а потім відсотки виплачуються піврічно.

Ключові виноси

Капітальні товари змінюються повільно, частково тому, що вони довговічні.
Придбання товарів, які будуть використовуватися з часом, будь то фабрики, будинки чи телевізори, відоме як інвестиції.
Обіцянка $1 в майбутньому сьогодні не коштує $1. Різниця - знижка на майбутні платежі.
Арбітраж передбачає купівлю та продаж таких, що заробляється позитивний профіцит.
Арбітраж можливий, якщо майбутні платежі не дисконтуються відповідною процентною ставкою.
«Прості» відсотки означають, що щоденні, щомісячні або річні ставки переводяться на щоденні, щомісячні або річні ставки за неправильними формулами. Точні розрахунки відомі як складні відсотки.
Стандартний казначейський вексель має фіксовану майбутню вартість. Ціни на казначейські векселі рухаються назад до процентних ставок - збільшення процентних ставок знижує ціни казначейства.
Облігації сплачують фіксовану процентну ставку, встановлену на момент випуску протягом терміну дії облігації, як правило, збираються півроку, а номінал виплачується в кінці терміну.

ВПРАВИ

При процентній ставці 7% річної, яка поточна вартість 100 доларів, виплачена наприкінці одного року, а 200 доларів - наприкінці другого року?
Обчисліть NPV 3-річної облігації $10,000 з $250 піврічних платежів піврічних, за процентною ставкою 4%.
Ви можете профінансувати свій автомобіль у розмірі 20 000 доларів за допомогою прямого кредиту 5%, що виплачується щомісяця протягом 5 років, або позикою з безвідсотковим роком на один рік, а потім 4 роки 7% відсотків. (Підказка: В обох випадках з'ясуйте фіксовані щомісячні платежі, які виробляють NPV, рівний 20 000 доларів.)
Ви виграєте в лотерею. За якою процентною ставкою ви повинні приймати 7 мільйонів доларів сьогодні понад 20 щорічних платежів у розмірі 500 000 доларів?
Інвестор знижує майбутній прибуток на рівні 5% на рік. Припустимо, акція виплачує 1 долар дивідендів через рік, збільшуючи 1% щороку після цього. Скільки має коштувати запас сьогодні?
Ви купуєте автомобіль на $20 000. Якщо ви робите щомісячні платежі в розмірі 1000 доларів, скільки часу вам знадобиться для погашення боргу, якщо процентна ставка становить 1% на місяць? Як це змінюється, коли процентна ставка падає до 0,5%?