5.5.4: Налаштування та налаштування хвиль балансу між берегами

Хвильові сили впливають на середній потік; вони індукують середні зміни рівня води (встановлення, налаштування) та середні течії (довга струм у випадку хвиль, косо наближаючись до берега).

Спочатку розглянемо силу хвилі в поперечно-береговому напрямку (задана Eq. 5.5.3.1). Для ілюстрації розглянуто спрощену ситуацію довгочубатий хвилі, яка нормально падає на прямі та паралельні глибинні контури (паралельно$y$ -осі,$\theta = \varphi = 0$). Це означає, що градієнтів у напрямку узберега немає: ситуація вздовж берега рівномірна (всі$y$ -похідні дорівнюють нулю), а сила хвилі зменшується до Eq. 5.5.3.2.

Баланс масиву між берегами (вздовж берегового рівномірного узбережжя)

У стаціонарному випадку поперечно-берегове протягом, усереднене по всій товщі води, має дорівнювати нулю (оскільки вода не накопичується вище і вище проти берега і не тече в бік глибшої води). У кожній точці поперечно-берегового профілю насущний спрямований масовий потік поблизу поверхні води, таким чином, компенсується офшорним спрямованим зворотним струмом на нижніх висотах, таким чином, що чистий усереднений по глибині потоку через кожен переріз дорівнює нулю (див. Рис. 5.25). Офшорну спрямовану глибину середньої швидкості під рівнем хвилевого корита можна знайти з Eq. 5.5.1.4.

Баланс імпульсу крос-берега (вздовж берегового рівномірного узбережжя)

Малюнок 5.32: У мілководній зоні$S_{xx}$ збільшується в сухопутному напрямку, що призводить до хвильової сили, що діє в морському напрямку, і зниження середнього рівня води до точки розриву. Хвиля розриву в прибою призводить$S_{xx}$ до зменшення в сухопутному напрямку, таким чином, що берегова хвиля сил піднімає рівень води до берега (налаштування).

Малюнок 5.33: Регулюючий гучність для простого балансу імпульсу між двома місцями 1 і 2. Радіаційне напруження знаходиться$S_{xx,1}$ в місці 1 і$S_{xx, 2}$ в місці 2. Трикутники і чотирикутник вказують на сили тиску. Якщо місця 1 і 2 знаходяться в зоні прибою, наземна спрямована хвильова сила (на суші, оскільки$S_{xx, 1} > S_{xx, 2}$) врівноважується чистою силою тиску на шельфі (через підвищення рівня води до узбережжя).

Сила хвилі визначається поперечно-береговим градієнтом$S_{xx}$. Величина радіаційного напруження$S_{xx} = (2n - 1/2) E$ в напрямку поширення хвилі залежить від висоти хвилі, глибини води та довжини хвилі. На основі енергозбереження сект. 5.2.2 показав, що енергія хвилі (висоти хвиль) має тенденцію до збільшення при наближенні хвиль до зони прибою (після невеликого початкового зменшення). Оскільки$n$ збільшується проміжні водні глибини,$S_{xx}$ збільшується в мілководному районі. Далі на шельфі в дійсно глибокій воді радіаційний стрес$S_{xx}$ постійний. Збільшення$S_{xx}$ в сухопутному напрямку означає, що при товщі води результуюча сила внаслідок радіаційних напружень діє в морському напрямку (див. Рис. 5.31 і 5.32). (Невелика) різниця в рівні води по обидва боки товщі води (нижче у напрямку до узбережжя) гарантує, що рівновага сил знову досягається. Це явище називається хвильовим уседанням, що означає, що поза зоною розриву в проміжних водних глибині рівень води на суші стороні водяного стовпа трохи нижче, ніж на морській стороні (див. Рис. 5.32 і 5.33, верхній малюнок). Усередині зони прибою величина швидко$S_{xx}$ зменшується через розрив хвиль при русі до ватерлінії. Зменшення$S_{xx}$ еквівалентно силі в сухому напрямку (див. Рис. 5.32). Для досягнення рівноваги знову рівень води на сухопутній стороні колони повинен бути вище, ніж на морській стороні (хвильова установка, див. Рис. 5.32), що створює спрямовану на море силу тиску (див. Рис. 5.33, верхня ділянка).

Нижня цифра рис. 5.33 ілюструє поперечно-береговий баланс імпульсу між двома (довільними) точками 1 і 2. Чиста сила тиску (на одиницю вздовж берегової відстані) становить$P_x \Delta x = -\rho g h d \bar{\eta}/dx \Delta x$. Він складається з:

• гідростатична сила$1/2 \rho g h^2$ в точці 1; мінус
• гідростатична сила$1/2 \rho g (h + dh/dx \Delta x)^2 \approx 1/2 \rho g h^2 + \rho g h dh/dx \Delta x$ в точці 2; мінус
• горизонтальна складова$\approx \rho g h (dh_0/dx \Delta x)$ гідростатичної сили по дну.

Малюнок 5.34: Баланс сил між силою хвилі та силою тиску читає$F_x + P_x = 0$. У зоні$F_x$ прибою позитивна (спрямована на сушу) і$P_x$ негативна (спрямована на море).

Рівновага між градієнтом радіаційного напруження і терміном тиску внаслідок ухилу рівня води (див. Рис. 5.34) дає наступне диференціальне рівняння першого порядку:

$$F_x = -\dfrac{dS_{xx}}{dx} = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx} = \rho g (h_0 + \bar{\eta}) \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.1}$$

де:

$x$	координатна вісь, що вказує від суші до моря	$m$
$h_0$	глибина нерухомої води в точці$x$ (при відсутності хвиль)	$m$
$\bar{\eta}$	встановлення рівня води, викликаної хвилею, в точці$x$	$m$

Еквалайзер. $\ref{eq5.5.4.1}$- інтегроване в глибину рівняння імпульсу крос-берега для стаціонарної рівномірної ситуації вздовж берега. Цей баланс в поперечно-береговому напрямку тримається як для похилих, так і нормально падаючих хвиль. Ми не включили нижнє тертя в це рівняння, оскільки воно, як правило, вважається на порядок меншим, ніж інші члени рівняння ⁶. Також термін Коріоліса вважається малим порівняно з хвильовим форсуванням. Рівняння дійсне всередині і поза зоною прибою за умов, перерахованих вище.

Зверніть увагу, що всередині (зовні) зони прибою термін$dS_{xx}/dx$ є негативним (позитивним), що дає позитивний (негативний) градієнт рівня води ($d\bar{\eta}/dx$), див. Рис. 5.32 і 5.34.Таким чином, поверхня негазованої води стає нижчою в області мілководства (setdown). Рухаючись всередині зони прибою до ватерлінії, нерухома водна поверхня стає вище (встановлена). Для того, щоб розрахувати налаштування хвилі (і налаштування), нам потрібно оцінити умови радіаційного напруження всередині та поза зоною прибою та інтегрувати еквалайзер. $\ref{eq5.5.4.1}$по відношенню до$x$.

З еквалайзера. 5.5.2.11 ми можемо написати Eq. $\ref{eq5.5.4.1}$як:

$$-\dfrac{d}{dx} \left [\left (n - \dfrac{1}{2} + n \cos^2 \theta \right ) E \right ] = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.2}$$

Зміна енергії просторової хвилі повинна бути вирішена з збереження енергії, Eq. 5.2.1.2, що зводиться до$d(Ec_g \cos \theta )/dx = -D_w$ під справжні припущення.

Проста модель для налаштування хвиль у випадку нормально падаючих хвиль

Для хвиль зазвичай падають на вздовж берега рівномірного узбережжя ($\theta = \varphi = 0$) і за припущенням мілководдя ($n = 1$) імпульс балансу Eq. $\ref{eq5.5.4.2}$можна записати як:

$$-\dfrac{d}{dx} \left (\dfrac{3}{2} E\right ) = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.3}$$

Розділ 5.2.2 дав нам наступний енергетичний баланс для нормально падаючої мілкової хвилі:

$$\dfrac{H_2}{H_1} = \sqrt{\dfrac{c_{g.1}}{c_{g,2}}}\label{eq5.5.4.4}$$

Серед інших Лонгет-Хіггінс і Стюарт (1962) вивели вираз для встановлення регулярних хвиль шляхом інтеграції Eq. $\ref{eq5.5.4.3}$використовуючи енергетичний баланс мілководних хвиль Eq. $\ref{eq5.5.4.4}$. Константа інтеграції$\bar{\eta} = 0$ визначається з глибокої води. Можна показати, що в наближенні мілководдя закладка тоді дорівнює:

$$\bar{\eta} = -\dfrac{1}{16} \dfrac{H^2}{h}$$

Для хвиль, що поширюються без розсіювання до берега, висота хвилі збільшується, а глибина води зменшується. Отже, установка поступово збільшується в величині до максимуму безпосередньо поза зоною вимикача в точці, де хвилі починають руйнуватися. У точці вимикача установка дорівнює:

$$\overline{\eta_b} = -\dfrac{1}{16} \dfrac{H_b^2}{h_b} = -\dfrac{1}{16} \gamma H_b$$

де:

$\overline{\eta_b}$	зміна рівня води в точці розриву хвилі	$m$
$\gamma$	індекс розриву хвилі ($H_b/h_b$)	-
$H_b$	висота хвилі в точці розриву	$m$
$h_b$	глибина негазованої води в точці розриву	$m$

Таким чином, при$\gamma$ ставці рівній 0,8 відкладення в точці розриву становить 4% від місцевої глибини води.

Аналітична модель налаштування у випадку нормально падаючих хвиль

Малюнок 5.35: Встановлення та налаштування та рівновага сил у всій зоні вимикача.

Усередині моделі зони серфінгу розсіювання через порушення хвиль потрібно включати в енергетичний баланс. Нижче аналітичний вираз для налаштування хвиль виводиться з використанням дуже простої моделі розсіювання і припускаючи, що зазвичай падають хвилі. Виведенням вважається рівновага сил для всього вимикача зони прибою (див. Рис. 5.35).

Проста модель розсіювання енергії внаслідок розриву хвиль передбачає, що висота хвилі всюди в зоні прибою пропорційна місцевій глибині води: всюди в зоні прибою$H = \gamma h$ (див. 5.2.5.4). Якщо ми далі використовуємо наближення мілководдя ($n = 1$), то з цього випливає, що$S_{xx} = 3/2 E$ зменшується від лінії вимикача до берегової лінії. Дотримуючись аналогічних міркувань з попереднім розділом, це спричиняє спрямовані на землю результуючі сили, що діють на товщу води. Це буде врівноважуватися підвищенням рівня води (в сушевому напрямку) над товщею води. Якщо ми підставимо$S_{xx} = 3/2 E = 3/16 \rho g H^2 = 3/16 \rho g \gamma^2 h^2$ в Eq. $\ref{eq5.5.4.3}$знаходимо наступний баланс:

$$-\dfrac{d}{dx} [3/16 \gamma^2 h^2] = h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}$$

і таким чином:

$$\dfrac{d\bar{\eta}}{dx} = -3/8 \gamma^2 \dfrac{dh}{dx} \label{eq5.5.4.8}$$

Заміна$h = h_0 + \bar{\eta}$ в Eq. $\ref{eq5.5.4.8}$дає:

$$\dfrac{d \bar{\eta}}{dx} = -\dfrac{3/8 \gamma^2}{(1 + 3/8 \gamma^2)} \dfrac{dh_0}{dx}\label{eq5.5.4.9}$$

Отже, оскільки глибина води зменшується в зоні прибою ($dh_0/dx < 0$), настройка збільшується ($d\bar{\eta}/dx >0$). При постійному ухилі дна і постійному показнику вимикача нахил рівня води всередині зони вимикача постійний.

Рівняння$\ref{eq5.5.4.8}$ — або еквівалентно Eq. $\ref{eq5.5.4.9}$, що дає трохи більше залученої математики - може бути інтегрований від точки вимикача до водної лінії, щоб отримати налаштування хвилі по всій зоні серфінгу (використовуючи$\bar{\eta} = \bar{\eta}_b$ для пошуку$h = h_b$ константи інтеграції$C$):

$$\bar{\eta} = -\dfrac{3}{8} \gamma^2 h + C = \bar{\eta}_b + 3/8 \gamma^2 (h_b - h)$$

На береговій лінії глибина води$h$ дорівнює нулю і знаходимо для установки на водопроводі:

$$\bar{\eta}_{\text{shore}} = \bar{\eta}_{b} + 3/8 \gamma^2 h_b = \bar{\eta}_b + 3/8 \gamma H_b$$

$\Delta \bar{\eta}$Різниця рівня води між лінією вимикача та точкою максимального підвищення рівня води (налаштування хвилі) дорівнює:

$$\Delta \bar{\eta} = \dfrac{3}{8} \gamma H_b$$

При$\gamma = 0.8$ цьому становить до$0.3 H_b$. Таким чином, налаштування хвиль може бути досить значним, як далі показано в прикладі 5.5.4.1. Оскільки максимальна установка на лінії вимикача дорівнює$1/16 \gamma H_b$, то максимальна настройка хвилі щодо рівня негазованої води становить$5/16 \gamma H_b$ (див. Рис. 5.35).

Вправа$\PageIndex{1}$

Вхідні параметри

Висота офшорної$H_0 = 5 m$
хвилі Період хвилі Напрямок$T = 12 s$
офшорної хвилі$\varphi_0 = 0^{\circ}$ (зазвичай падає) Індекс
вимикача$\gamma = 0.7$

Необхідна максимальна настройка хвилі щодо рівня негазованої води

Вихід Першим кроком є обчислення висоти хвилі на лінії вимикача. $H_b$залежить від мілководства і (хоча і не в даному випадку) заломлення. Комп'ютерні програми можуть бути використані або лінійна теорія хвиль, використовуючи наступні ітераційні кроки (для довільного кута хвилі):

1. Вгадайте глибину вимикача$h_b$ та обчислите$h_b/L_0$
2. Використання таблиці A.3 в додатку. А для визначення$K_{sh}$ коефіцієнта мілкоутворення і співвідношення швидкостей хвиль$c/c_0$
3. Визначаємо кут$\varphi$ за допомогою$\sin \varphi = c/c_0 \sin \varphi_0$
4. Обчислити висоту хвилі на глибині води$h_b$ від$H = H_0 K_{sh} (\cos \varphi_0 /\cos \varphi)$
5. Перевірте, чи є$H/h_b = \gamma = 0.7$. Якщо так: o.k.; якщо ні: повернутися до кроку 1 з кращим здогаданням$h_b$

У цьому випадку нормально падаючих хвиль крок 3 можна опустити. Звідси випливає, що$H_b = 5.5 m$. Потім максимальна настройка хвилі стає$5/16 \gamma H_b = 1.2 m$ вище рівня негазованої води.

Висновок. Якщо припустити середній схил пляжу 1:50, то майже 60 м ширини пляжу «втрачається» від ефекту налаштування хвиль.

Резюме

• У мілководної зоні$S_{xx}$ збільшується в позитивному$x$ -напрямку (поперечно-береговому напрямку); позитивний градієнт в$S_{xx} (\partial S_{xx}/\partial x > 0)$ еквівалентний силі,$F_x$ спрямованої в офшорному напрямку. Це компенсується наземною спрямованою силою тиску за рахунок зниження (зниження рівня води). Установку можна наблизити як$1/16 \gamma H_b$;
• У зоні прибою$S_{xx}$ зменшується в позитивному$x$ -напрямку; отриманий негативний градієнт в$S_{xx} (\partial S_{xx}/\partial x < 0)$ еквівалентний силі,$F_x$ спрямованої в береговому напрямку. Це врівноважується офшорною спрямованою силою тиску завдяки налаштуванню хвилі (підняття рівня води до водопроводу). Максимальна настройка хвилі щодо рівня негазованої води становить$5/16 \gamma H_b$.

Заключні зауваження

• Збільшення висоти хвилі в зоні мілководдя, а також занепад висоти хвилі в зоні прибою можна передбачити досить добре, використовуючи хвильову дію або енергетичний баланс. Припускаючи (як ми це робили), що всередині зони прибою існує пряма залежність між місцевою висотою хвилі та місцевою глибиною води, нарощування хвильового налаштування починається з (першої) точки розриву. В реальності спостерігається затримка передачі імпульсу від хвильового руху до середнього потоку. Це означає, що настройка (а також початок нарощування прибережної течії) зміщується в сухопутному напрямку. Затримка може бути викликана тимчасовим зберіганням енергії та імпульсу в поверхневих роликах розривних хвиль. Таким чином процес дисипації затримується, отже, зміщення області налаштування хвиль у напрямку берегової нагороди. Це тимчасове сховище можна змоделювати за допомогою роликової моделі і енергетичного балансу ролика;
• Хвилі нерегулярні. Для обчислення налаштування хвиль для нерегулярних хвиль зазвичай застосовується середня середня$H_{rms}$ квадратна висота хвилі;
• У нерегулярному хвильовому полі висоти хвиль змінюються за шкалою групи хвиль (Sect. 5.8.2). Це означає, що величина радіаційного напруження змінюється і за шкалою групи хвиль. Ця сила, що змінюється в часі, генерує коливання рівня води з часовою шкалою набагато довшою, ніж хвильовий період (довгі хвилі);
• Хвилі зазвичай наближаються до берегової лінії під (малим) кутом, який зменшується на менших глибині води. $S_{xx}$Тому поперечно-берегові градієнти$S_{xx}$ та налаштування менші, ніж для зазвичай падаючих хвиль.

---

6. Apotsos et al. (2007) показали, що це припущення може призвести до недопрогнозування налаштування. Однак для простоти нижній наголос часто нехтують, також у цих конспектах лекцій.