5.5.5: Баланс вздовж берега - довга берегова течія

У узбереговому напрямку передача імпульсу від хвильового руху до середнього потоку породжує довгу течію. Зверніть увагу, що крім цього хвильового індукованого (через розсіювання хвиль у зоні вимикача) струму, також приливні та вітрові сили можуть генерувати струм вздовж узбережжя. Вони обговорюються в секті. 5.6 і сект. 5.7.2.

Довгий струм (величина швидкості та крос-береговий розподіл) є вхідним параметром імпорту мурашок у розрахунках транспорту довгих відкладень.

Баланс імпульсу вздовж берега (прямі, паралельні контури глибини)

Розглядаємо знову 2D ситуацію (див. Рис. 5.4) довгочубатий хвилі, косо падаючої на узберегове рівномірне узбережжя (\(\theta = \varphi\)а всі\(y\) -похідні дорівнюють нулю). Крос-берегова швидкість зміни зсувної складової радіаційного напруження\(S_{yx}\) виступає рушійною силою (ур. 5.5.3.4). У поперечно-береговому напрямку сила балансування подавалася гідравлічним градієнтом тиску. Однак для нескінченно довгої безперебійної берегової лінії такий гідравлічний градієнт тиску не може розвинутися в узбічному напрямку. Тому протидія відновленню рівноваги повинна забезпечуватися напруженнями зсуву шару, які розвиваються при генерації довгого берегового струму. Нижня напруга зсуву стримує струм і є ненульовим тільки при наявності струму. Зверніть увагу, що в поперечно-береговому напрямку напруга зсуву шару, пов'язане із середнім струмом, приймалося невеликим порівняно з силою тиску.

Розглянемо тільки стаціонарну ситуацію. Алоншорну складову імпульсного балансу для стійкого стану та однорідності вздовж берега можна записати як:

\[F_y = -\dfrac{dS_{yx}}{dx} = \bar{\tau}_{b,y}\label{eq5.5.5.1}\]

Малюнок 5.36: Сили, що діють на товщу води (вид в плані). Довгий напрямок течії зліва направо на малюнку.

Баланс між рушійною силою і силою опору або уповільнює показаний на рис.5.36.

Сила хвилі в рівномірній ситуації вздовж берега

Давайте спочатку оцінимо\(F_y = -dS_{yx}/dx\) в більш глибокій воді, тобто поза зоною розриву. У секті. 5.5.2 ми знайшли\(S_{yx} = En \sin \varphi \cos \varphi \). Кут хвилі змінюється в залежності від\(x\), але не змінюється\(y\). Останнє призводить до закону Снелла для регулярних хвиль (ур. 5.2.3.1):\(\sin \varphi /c\) = постійна. Збереження енергії (ур. 5.2.1.2) вимагає\(d(Ec_g \cos \varphi)/dx = -D_w\) за справжніми припущеннями. Для лінійних хвиль тепер ми можемо записати хвильову силу Eq. 5.5.3.4 як:

\[F_y = -\dfrac{dS_{yx}}{dx} = -\dfrac{\sin \varphi}{c} \dfrac{d}{dx} Ec_g \cos \varphi = \dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 \label{eq5.5.5.2}\]

Мабуть рушійна сила вздовж берега є функцією розсіювання хвильової енергії. Поза зоною прибою розсіювання енергії хвилі можна знехтувати і, отже, потік енергії\(Ec_g = (Ec_g \cos \varphi, Ec_g \sin \varphi)\) постійний. У нас за відсутності розсіювання:\(S_{yx}\) і\(F_y = 0\). Отже, хоча поза зоною прибою умови хвилі змінюються з\(x\) (висота хвилі через мілководство; напрямок хвилі через заломлення), напруга зсуву випромінювання постійна. Тому, оскільки примус вздовж берега присутній лише при розриві хвиль, довга течія обмежується зоною прибою (див. Також Інтермеццо 5.6).

Intermezzo 5.6 Розсіювання енергії та середні струми

Висновок про те, що середній струм рухається лише у випадку розсіювання енергії, є універсально дійсним, також у менш спрощених ситуаціях. Сила хвилі складається з двох частин:

• Частина в напрямку поширення хвилі, яка пов'язана з розсіюванням енергії. Цей термін зосереджений поблизу водної поверхні, де фактично відбувається розсіювання. Ця\(D/c\) частина є обертальною і, отже, може викликати середні струми або циркуляційні струми у випадку замкнутої межі. Це результат завихреності, породженої розривом хвиль, і випливає з впливу як швидкості, так і зміни тиску на потік імпульсу;
• Ірротаційна частина, яка є глибинно-інваріантною. Це означає, що немає вертикального дисбалансу. Таким чином, цю деталь можна врівноважити налаштуванням і виставляти без рушійних струмів. Він впливає лише на індукований хвилею струм опосередковано, через його вплив на середню глибину. У зоні прибою останній вплив на середній струм невеликий порівняно з впливом розсіювання.

Аналітична модель сили прибережної хвилі в зоні прибою

Щоб знайти простий аналітичний вираз для довгоберегової течії, ми знову припускаємо просту модель розсіювання хвиль через розрив, яка пов'язує висоту хвилі з місцевою глибиною води:\(H =\gamma h\) для кожної глибини води в зоні прибою. Альтернативою буде рішення енергетичного балансу чисельно. Аналітичний вираз обчислюється з моделі дисипації та закону Снелла:

\[F_y = -\dfrac{\sin \varphi}{c} \dfrac{d}{dx} Ec_g \cos \varphi = -\dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{d}{dx} 1/8 \rho g \gamma^2 h^2 c_g \cos \varphi\]

На мілководді\(c_g = c = \sqrt{gh}\) і оскільки через заломлення\(\varphi\) невелике (як правило, близько 10° до 15°) ми припускаємо\(\cos \varphi \approx 1\). Тепер у нас є:

\[F_y \approx -\dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} 1/8 \rho g^{3/2} \gamma^2 \dfrac{d}{dx} h^{5/2} = -\dfrac{5}{16} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \rho (gh)^{3/2} \gamma^2 \dfrac{dh}{dx}\]

Малюнок 5.37: Радіаційне напруження зсуву\(S_{yx}\) для\(H_0 = 2m, T = 7s, \varphi_0 = 30^{\circ}\), постійний ухил дна 1:100 та індекс вимикача\(\gamma = 0.8\).

Як уже згадувалося вище, напруга радіаційного зсуву\(S_{yx}\) є постійною до моря від кордону зони вимикача (таким чином, хвильова сила дорівнює нулю). Він зменшується всередині зони переривника до нуля на ватерлінії (див. Рис 5.37).

Для багатьох повсякденних хвильових умов цей градієнт в\(S_{yx}\) викликає узберегові напруги (сили), які знаходяться в тому ж порядку, що і напруга зсуву дна в річках: в порядку\(1\ N/m^2\) до\(10\ N/m^2\). Тому поперечно-береговий градієнт у вздовж берега радіаційного напруження\(S_{yx}\) є важливою рушійною силою в прибережній зоні.

Квадратичний закон тертя для напруги зсуву ліжка

Наступним кроком є формулювання напруги зсуву ліжка. У секті. 5.4.3 ми вже обговорювали закон квадратичного тертя для хвильових і поточних ситуацій. Для течій турбулентність присутня у всій товщі води. Турбулентність, обумовлена хвилями, присутня лише в хвильовому прикордонному шарі і значно збільшує напругу зсуву шару. Це пов'язано не тільки зі значним збільшенням коефіцієнтів тертя, але і через те, що швидкість, як правило, вища в хвильовому русі. Для вертикального профілю довгої течії потрібен квадратичний закон опору комбінованого струму і хвильової дії. Такий закон нетривіальний, оскільки:

• Завдяки закону квадратичного тертя додавання ефектів хвиль і струму є нелінійним. Завдяки нелінійному додаванню комбіноване напруження зсуву, усереднене за хвильовий період, як правило, більше, ніж лінійне підсумовування лише струму та напруга зсуву лише шару хвилі;
• Хвилі і течії можуть мати не однаковий напрямок. Хвилі падають з певним кутом, тоді як довга течія паралельна узбережжю. В результаті напрямок і величина напруги зсуву ліжка під час хвильового циклу безперервно змінюється. Середнє за часом напруга зсуву шару залежить від кута між хвилями і струмом;
• Як обговорювалося раніше, для течій турбулентність присутня у всій товщі води, а для хвиль лише в хвильовому прикордонному шарі. Тому має сенс пов'язати напругу зсуву шару через струми із середньою швидкістю глибини та через хвилі зі швидкістю вільного потоку поза прикордонним шаром хвилі. Швидкість, з якою висотою слід вибирати для руху комбінованого хвильового струму?
• Зверніть увагу, що наведені вище описи стосуються усередненого за часом напруження нижнього зсуву; вони ігнорують миттєві (або внутрішньохвильові) напруги зсуву, які можуть виникнути протягом хвильового періоду. Це здається розумним при визначенні хвильово індукованих струмів. Однак внутрішньохвильові коливання швидкості можуть бути імпортними для чистого (усередненого хвилею) переносу осадів (див. Також Chs. 6 і 7).

З причин, згаданих вище, існує багато різних моделей для напруги зсуву ліжка під хвилями та струмами. Залежно від моделі, відносний внесок хвиль і струмів у напругу зсуву шару змінюється. Деякі моделі описують усереднене за часом напруження зсуву шару, інші - миттєве напруження зсуву шару. Опис транспортування осаду вимагає точного (внутрішньохвильового або усередненого за часом, залежно від моделі транспортування осадів) напруження зсуву шару. Тому в секті. 6.5 напруга зсуву ліжка розглядається більш детально.

Для визначення усередненого за часом напруження зсуву пласта в узбереговому напрямку, необхідного для обчислення довгої течії, візьмемо досить простий підхід:

• Хвильовий рух описується теорією мілководдя (постійна орбітальна амплітуда поза хвильовим прикордонним шаром);
• Кут падіння дуже малий, такий, що для хвильового руху\((u_x, u_y) = (\hat{u} \cos \omega t, 0)\);

Малюнок 5.38: Величина миттєвого вектора швидкості в зоні прибою з\(V\) прибережною швидкістю течії і орбітальної швидкістю (в поперечно-береговому напрямку).

• Вектор тертя шару пов'язаний з вектором швидкості, усередненої по глибині. Остання являє собою суму усередненої по глибині довгої швидкості течії і хвильового орбітального руху:\(\vec{u} = (\hat{u} \cos \omega t, V)\), див. Рис. 5.38;

• Тертя ліжка, що змінюється в часі, пишеться як:
  \[\vec{\tau}_b = \rho c_f |\vec{u}| \vec{u}\]

• Підвищення коефіцієнта тертя (порівняно з поточною ситуацією) через малу висоту хвильового прикордонного шару порівняно з поточним прикордонним шаром додатково не уточнено.

У поперечно-береговому напрямку усереднене за часом (не миттєве) напруга зсуву шару дорівнює нулю. З наведеними вище наближеннями усереднене за часом напруга зсуву шару в узбічному напрямку читає:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \overline{\rho c_f |\vec{u}| V} = \rho c_f \sqrt{V^2 + \hat{u}^2 \cos^2 \omega t} V\]

Якщо ми далі припустимо, що\(V \ll \hat{u}\) це можна спростити до:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \dfrac{2}{\pi} \rho c_f \hat{u} V\]

З\(\hat{u}\) на мілководді дано Eq. 5.4.1.2 і при постійному співвідношенні висоти хвилі над глибиною води по всій зоні прибою ми знаходимо:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh} \dfrac{H}{h} V \label{eq5.5.5.8}\]

Аналітична модель для прибережної течії (без бічної дисперсії)

Для стійких умов швидкість вздовж берега випливає з балансу між рушійною силою та силою тертя, що чинить опір (Eq. \(\ref{eq5.5.5.1}\)). Це дає з Eq. \(\ref{eq5.5.5.2}\)) і Eq. \(\ref{eq5.5.5.8}\)):

\[\dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh} \dfrac{H}{h} V \Leftrightarrow V(x) = \dfrac{\pi}{c_f \rho g \sqrt{g}} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{D_w (x)}{H(x)} \sqrt{h(x)}\]

Величина усередненої по глибині довгої швидкості течії змінюється в зоні прибою в залежності від дисипації, висоти хвилі і глибини води. Розсіювання і висоти хвиль можуть бути змодельовані за допомогою хвильової моделі (з роликової моделлю). У нашій простій моделі розсіювання\(\gamma = H/h\) = постійна, і ми можемо записати баланс сили Eq. \(\ref{eq5.5.5.1}\)як:

\[-\dfrac{5}{16} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \rho (gh)^{3/2} \gamma^2 \dfrac{dh}{dx} = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh\gamma V}\]

що призводить до:

\[V(x) = -\dfrac{5}{16} \pi \dfrac{\gamma}{c_f} g \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} h \dfrac{dh}{dx}\]

Для постійного пляжного схилу\(\tan \alpha = -d h_0/dx\) і для\(dh/dx \approx dh_0/dx\) швидкість струму пропорційна глибині з максимумом на лінії вимикача (де\(h = h_b\)):

\[V(x) = \dfrac{5}{16} \pi \dfrac{H_b}{c_f} g \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{h}{h_b} \tan \alpha \label{eq5.5.5.12}\]

Малюнок 5.39: Розподіл швидкості вздовж берега (регулярне хвильове поле\(H_0 = 2m, T = 7s, \varphi_0 = 30^{\circ}\), ухил дна 1:100\(\gamma = 0.8\), висота шорсткості\(r = 0.06 m\)). Відхилення від лінійного розподілу обумовлено перехресним зміною коефіцієнтів тертя. Швидкість струму дорівнює нулю за межами зони прибою.

Профіль течії довгого берега відповідно до Eq. \(\ref{eq5.5.5.12}\)показана на рис.5.39. Чим більша висота хвилі\(H_b\) при розриві, тим більша максимальна швидкість течії на березі і ширша прибережна зона; коефіцієнт 2 більша висота хвилі призведе до збільшення розряду на 8 в зоні прибою. Еквалайзер. \(\ref{eq5.5.5.12}\)також дозволяє отримати уявлення про ефект пляжного схилу\(\tan \alpha\). Більш крутий нахил, з одного боку, призводить до (лінійно) більш високих швидкостей. З іншого боку ширина зони прибою стає лінійно менше. Потім розряд через всю зону серфінгу є постійним до першого наближення (ми серед інших нехтували впливом схилу пляжу на параметр розриву, секта. 5.2.5). Якщо кут хвилі невеликий, то довга швидкість течії на певній глибині води в межах зони прибою, стає лінійною функцією\(\varphi_0\) (оскільки:\(\sin \varphi_0 = \varphi_0\) для малих\(\varphi_0\)).

Турбулентні сили, що перерозподіляють імпульс

Поки що ефект бічної дисперсії імпульсу за допомогою турбулентності ігнорувався. Включення турбулентності в рівняння імпульсу має тенденцію згладжувати градієнти швидкості (включаючи нереальний градієнт швидкості в точці вимикача).

Давайте спочатку розглянемо моделювання турбулентності та турбулентності трохи докладніше. У секті. 5.4.3, загальний вектор швидкості, як кажуть, складається із середнього, хвилі та турбулентної частини. Згодом турбулентне напруження зсуву було визначено як напруга, введена при усередненні над турбулентним рухом. За аналогією з моделюванням в'язких напружень у турбулентному потоці напруження зсуву, як правило, пов'язане з градієнтами швидкості через турбулентну або вихрову в'язкість\(v_T\). Молекулярна в'язкість,\(v\) здається, робить воду липкою і протистоїть течії і може розглядатися як міра тертя в'язкої рідини. Аналогічно\(v_T\) є мірою турбулентного тертя рідини (в прибережних водах\(v_T \gg v\)). Вихрова в'язкість\(v_T\) [\(m^2/s\)] залежить від характерного просторового масштабу і від характерної швидкості. У прибережній зоні обидва пов'язані з хвильовим рухом. Наприклад, хвильовий орбітальний рух можна розглядати як міру характерної швидкості. Для вертикального перемішування характерною (змішувальною) довжиною є глибина. Горизонтальне перемішування не обмежується глибиною води. З цієї причини при моделюванні біля берега горизонтальна\(v_T, H\) вихрова в'язкість часто приймається набагато більшою, ніж при\(v_T\) вертикальному перемішуванні. Типовими значеннями для вихрової в'язкості\(v_T\) є\(10^{-2} m^2/s\).

Ми бачили, що рушійною силою для прибережної течії є\(\partial S_{yx} \partial x\). Зсувна складова радіаційного напруження\(S_{yx}\) була визначена за допомогою Eq. 5.5.2.5, в якому складові швидкості обумовлені орбітальним рухом. За аналогією з Eq. 5.5.2.5 ми можемо записати для турбулентної сили:

\[S_{yx}' = \overline{\int_{-k_0}^{\eta} (\rho u_y' u_x') dz}\]

де овербар тепер представляє усереднення над турбулентним рухом (позначається простими числами). Це напруга зсуву або сила тертя на одиницю площі поверхні, діє на поверхню, паралельну узбережжю. Вона може бути змодельована як:

\[S_{yx}' \cong h \rho v_{T, H} \dfrac{dV}{dx}\]

Вихрова в'язкість\(v_T\) [\(m^2/s\)] також називається горизонтальною дифузійністю.

Рівняння імпульсу в напрямку вздовж берега тепер говорить:

\[\dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 + \dfrac{d}{dx} \left (h \rho v_{T, H} \dfrac{dV}{dx} \right ) = \bar{\tau}_{b, y}\]

Малюнок 5.40: Вплив турбулентності на профіль швидкостей.

Вплив турбулентних сил, що згладжують профіль довгоберегового течії, вказано на рис.5.40. Оскільки найбільший градієнт швидкості відбувається на лінії вимикача, тут буде відбуватися максимальна передача горизонтального імпульсу. Це призводить до зниження максимальної швидкості, зсуву положення максимальної швидкості і до ситуації, коли також за межами зони розриву виникають прибережні швидкості течії. Поперечно-береговий розподіл вихрової в'язкості тепер також визначає розподіл швидкостей.

Роликовий імпульс

У розділі 5.5.4 обговорювалося, що виміряний початок установки відбувається ближче до берега, ніж передбачалося. Це просторове відставання приписувалося імпульсу ролика, який не був врахований. Аналогічно профілі швидкостей довгих берегових течій показують зсув на суші максимальної швидкості течії вздовж берега. Це можна змоделювати, включивши внесок ролика в рівняння імпульсу вздовж берега.

Нерегулярні хвилі

Малюнок 5.41: Швидкість, керована хвилями, обчислюється за допомогою комп'ютерної моделі UniBest-CL+ (https://www.deltares.nl/en/software/unibest-cl) з використанням в якості вхідних даних моделі:\(H_{s, 0} = 2m\)\(\gamma = 0.7\);\(\varphi_0 = 30^{\circ}\);;\(T_p = 8s\)).

До сих пір ми розглядали лише регулярні хвилі. Насправді, звичайно, хвилі нерегулярні і немає різко визначеної лінії вимикача. Таким чином, ефект нерівномірності хвиль полягає в згладжуванні розподілу швидкості, дуже схожого на ефект турбулентності, даючи більш широкий і менш різко піковий розподіл швидкості. Це також проілюстровано на рис. 5.41, де показаний вихід обчислень з комп'ютерною моделлю UniBest-CL+.

Профіль з переривною планкою

Малюнок 5.42: Розраховані профілі довгих струмів для перетину Jarkus 7003850 (JARKUS, n.d.), що знаходиться поблизу Егмонда. Профіль вимірюється в 2012 році і показує ефект як автономного барного циклу (Sect. 7.3.4) і — на більш глибокій воді — підживлення берегового обличчя. Використовуються три різні умови глибокої водної хвилі:\(H_s = 3 m\) і\(T_p = 9 s\) (розрив відбувається на всіх брусах),\(H_s =2m\) і\(T_p = 7s\) (не відбувається істотного розриву на крайньому брусі),\(H_s = 1m\) і\(T_p = 5s\) (розрив відбувається в основному на самому внутрішньому барі і близько до берегової лінії). У всіх випадках\(\varphi = 30^{\circ}\) на глибокій воді.

Якщо у нас береговий профіль з переривною планкою, то визначення розподілу швидкостей ускладнюється. У спрощеному підході ми можемо розрізнити зону вимикача на морській стороні бару вимикача (якщо хвилі дійсно розриваються на відповідних глибині води) та зону вимикача поблизу берегової лінії, де решта хвильової енергії розсіюється. Це спрощення призведе до нульової довгої швидкості струму в більш глибокій ділянці між обома зонами вимикачів. Також в такій ситуації як бічна передача горизонтального імпульсу, так і нерівномірність хвиль згладить розподіл швидкостей. Приклад розподілу довгих течій наведено на рис.5.42. Хвиля розриву має тенденцію концентруватися на брусках, і в цих місцях приводиться довгий струм. Для найвищого хвильового стану розрив хвилі вже відбувається на крайньому барі, тоді як для найнижчого стану хвилі розрив хвилі відбувається лише на самому внутрішньому барі і близько до берегової лінії.