3.4.2: Аналіз часових рядів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 1515

Judith Bosboom & Marcel J.F. Stive
Delft University of Technology via TU Delft Open

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Середнє значення і стандартне відхилення є важливими статистичними властивостями, які можуть бути отримані з довільного часового ряду. Для стаціонарного сигналу середнє значення повинно бути постійним (нуль для чисто коливального сигналу), тоді як стандартне відхилення\(\sigma\) - це вертикальна міра, яка може бути пов'язана з висотою хвилі, як ми побачимо пізніше. Дисперсія поведеної поверхні\(\sigma^2\) є важливою величиною в статистичному описі хвиль, оскільки вона пов'язана із середньою енергією хвилі на одиницю площі,\(E\) яка є сумою потенціалу та кінетичної енергії (\(E = E_p + E_k\)). Потенційна енергія є\(E_p = \tfrac{1}{2} \rho g \sigma^2\). У лінійному наближенні (дійсні для хвиль малої амплітуди порівняно з довжиною хвилі та глибиною води) потенційна та кінетична енергія однакові (або\(E_p = E_k = \tfrac{1}{2} E\)), а отже:

\[E = \rho g \sigma^2\]

Різниця між дисперсією та енергією, отже, є лише фактором\(\rho g\).

Крім того, коли короткочасний часовий запис (близько 20 хвилин) розглядається як серія окремих хвиль з власною висотою хвилі та середніми параметрами періоду, можуть бути взяті серії висот хвиль і періодів для характеристики запису. Пам'ятайте, що корисні середні вимагають стаціонарного запису.

Перед початком хвилевого аналізу з запису слід відняти середній рівень води. Потім ми маємо чисто коливальний сигнал висоти поверхні про середнє значення. У випадку, наприклад, припливної варіації, можливо, запис не зовсім стаціонарний, але є незначна зміна середнього рівня води. Для короткої довжини запису ця тенденція буде приблизно лінійною і може бути визначена за допомогою регресійного аналізу, а потім віднімається від сигналу, щоб сигнал знову був нерухомим.

Коли сигнал поводиться, окремі хвилі можуть бути визначені як мають висоту хвилі, рівну різниці висот між гребенем і коритом. Довжина хвилі і хвильовий період - це відстань і період відповідно між двома наступними вниз або вгору нульовими перетинами. Перевагою використання низхідних переходів є те, що воно більше стосується візуальних спостережень висот хвиль. Причина полягає в тому, що спостерігачі, як правило, визначають хвилю як починаючи з корита, таким чином, що висота хвилі приймається висотою гребеня щодо попереднього жолоба.

Тепер можна вивести різні середні параметри, з яких найбільш очевидним, ймовірно, є середня висота хвилі. Тим не менш, середня висота хвилі використовується не так часто. Більш практичним є застосування значна висота хвилі\(H_s\) або\(H_{\tfrac{1}{3}}\). Значна висота хвилі визначається як середня висота найвищої третини хвиль:

\[H_{1/3} = \dfrac{1}{N/3} \sum_{j = 1}^{N/3} H_j\]

де\(H_j\)\(j\) -я хвиля (з\(j = 1\) найбільшою хвилею, друга\(j = 2\) за величиною і т.д.) і\(N\) загальна кількість хвиль.

Його називають значною висотою хвилі, оскільки вона приблизно відповідає візуальним оцінкам досвідчених спостерігачів в морі репрезентативної висоти хвилі. Очевидно, спостерігачі схильні зміщувати свої оцінки до вищих хвиль у записі. Його відповідність візуальним оцінкам і, отже, легка кількісна оцінка з суден і великих баз даних робить його корисним заходом для берегових інженерів.

Іншим часто\(H_{rms}\) використовуваним параметром є середньо-квадратична висота хвилі, яка отримується шляхом прийняття квадратного кореня від середнього висот хвилі в квадраті:

\[H_{rms} = \sqrt{\dfrac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} H_i^2}\]

Це можна розглядати як міру енергії хвилі, оскільки енергія хвилі пов'язана з висотою хвилі в квадраті (див. Також Розділ. 3.4.4).

Інші заходи, такі як\(H_{1/10}\) і також\(H_{1/100}\) використовуються, і вони визначаються аналогічно\(H_{1/3}\) як середнє значення найвищих 1/10 і 1/100 хвиль відповідно.

Середнє значення всіх хвильових періодів називається середнім періодом хвилі або періодом перетину хвилі з нулем:

\[\overline{T_0} = \dfrac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} T_i\]

\(H_{1/3}\)Подібний до значущого хвильового періоду визначається як середній хвильовий період найвищої третини хвиль. Значний хвильовий період не співвідноситься з візуальними оцінками і тому має менший фізичний сенс:

\[T_{1/3} = \dfrac{1}{N/3} \sum_{j = 1}^{N/3} T_j\]

Які значення зазвичай можна знайти, наприклад, у Північному морі? Для морських умов значні висоти хвиль коливаються від порядку 1 м у тихі періоди (із середніми періодами хвиль близько 5 с) до 10 м і більше під час штормів (із середніми періодами близько 10 с). Набухання Північного моря має висоту хвиль від 0,5 м до 1 м і періоди хвиль близько 10 с.