3.4.3: Спектральний аналіз
- Page ID
- 1516
Альтернативним способом приходу до статистичного подання стану моря використовується той факт, що піднесення поверхні в одному місці може бути розплутано в різні синусоїди з різними частотами яких амплітуди і фази можуть бути визначені за допомогою так званого Фур'є аналізу. Фур'є продемонстрував, що будь-який сигнал можна описати сумою гармонічних складових, так званим рядом Фур'є. За припущенням стаціонарного запису ці синусоїди мають постійну амплітуду і фазу на компонент у часі. Для запису часу з кінцевою тривалістю ряди Фур'є можуть бути записані через синусоїдальні (або косинусні) функції, які вписуються ціле число разів у тривалості запису\(T_r\).
Висота коливальної поверхні може бути записана як ряд Фур'є наступним чином:
\[\eta = \sum_{n = 1}^{N} a_n \cos (2\pi f_n t + \alpha_n)\label{eq3.4.3.1}\]
де
\[f_n = \dfrac{n}{T_r} \text{ for } n = 1, 2, ... \nonumber\]
Хоча в природі частоти будуть безперервними, частоти в еквалайзерах. \(\ref{eq3.4.3.1}\)є дискретними за необхідністю, оскільки на практиці довжина хвильового ряду обмежена, наприклад, 20 min (\(\Delta f = 1/T_r\)). Таким чином, довжина запису визначає найменшу частоту (найдовшу хвилю), яку можна визначити за записом:\(f_{\min} = 1/T_r\). Більш того, часовий ряд не є безперервним, оскільки вимірювання рівня води проводяться з певним інтервалом відбору проб. Інтервал вибірки визначає найвищу частоту, яку можна визначити за записом:\(f_{\max} = \tfrac{1}{2\Delta t}\).
З амплітуд різних компонентів можна обчислити спектр хвильової енергії в діапазоні хвильових періодів або частот. За допомогою трохи тригонометрії можна виявити, що для однієї гармонічної складової дисперсія дорівнює\(\tfrac{1}{2} a_n^2\). Тоді для суми гармонійних складових відповідна дисперсія задається:
\[\sum_{n = 1}^{N} \dfrac{1}{2} a_n^2\]
Спектр щільності дисперсії дає щільність дисперсії на одиницю частотного інтервалу для кожної частоти і є постійним для\(\Delta f \to 0\):
\[\lim_{\Delta f \to 0} \dfrac{1/2a_n^2}{\Delta f} = E(f_n) \label{eq3.4.3.3}\]
Приймаючи інтеграл спектра, загальна дисперсія знову відновлюється:
\[\int_{0}^{\infty} E(f) df = \overline{\eta^2} = \sigma^2 \label{eq3.4.3.4}\]
Можна зробити два висновки. По-перше, в спектрі щільність дисперсії - це внесок одного компонента в загальну дисперсію. По-друге, стандартне\(\sigma\) відхилення сигналу висоти поверхні можна оцінити від площі під спектром. Зауважте далі, що з спектра дисперсійної щільності спектр густини енергії легко отримується, оскільки дисперсія та енергія з'єднуються через Eq. 3.4.2.1.
Так обчислений спектр описує розглянутий часовий ряд, але є лише оцінкою спектра, що представляє випадковий процес, оскільки наступна реалізація за тієї ж умови дасть дещо іншу висоту поверхні. Щоб отримати кращу оцінку, усереднення має відбуватися спектрів на основі підрозділів часових рядів або еквівалентно над частотними бункерами.

На рис. 3.7 показані енергетичні спектри з відповідним часовим рядом. У середній і нижній панелі вся енергія зосереджена навколо середніх частот. Чим вужче спектр, тим більш регулярні хвилі. Для більших, довших хвиль спектр буде зміщений у бік нижчих частот і містити більше енергії. Для менших, коротших хвиль спектр буде зміщений у бік вищих частот і буде нижчим. Іноді можна розрізнити дві суміжні або часто частково перекриваються частини спектра. Це означає, що присутні два різних хвильових поля: набухання і море (верхня панель). Якщо середні частоти двох хвильових полів близькі, то буде так багато перекриття, що спектр широкий, але в іншому випадку виглядає як спектр з лише одним хвильовим полем.
Як щодо фаз різних компонентів? Розподіл фаз по частотах називається фазовим спектром. Часто фазовий спектр не показаний, оскільки в не надто крутих хвиль і в глибокій воді фази здаються незалежними один від одного і рівномірно розподіленими між\(-\pi\) і\(\pi\). Це означає, що різні компоненти не пов'язані між собою через фази і можуть розглядатися як окремі хвилі, що рухаються незалежно через сигнал, ніби вони були поодинці. Це стосується лінійних хвиль малої амплітуди. Отже, тоді залишається лише амплітуда або дисперсія/енергетичний спектр, щоб охарактеризувати хвильовий запис.
Які параметри можна отримати з дисперсійного спектра? По-перше, спектр виявляє домінуючі частоти в хвильовому записі; більшість енергії відбувається на спектральному піку, а відповідний хвильовий період називається піковим спектральним періодом\(T_p\). Інші характерні середні параметри можуть бути виражені через спектральні моменти:
\[m_n = \int_{0}^{\infty} f^n E(f) df \ \ \text{ for }\ n = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\]
\(m_0\)це область під спектром. Оскільки\(m_0\) загальна дисперсія інтегрована по всіх частотах, стандартне відхилення задається\(\sigma = \sqrt{m_0}\) (див. \(\ref{eq3.4.3.3}\)і\(\ref{eq3.4.3.4}\)). У секті. 3.4.4 ми побачимо, як нульовий момент\(m_0\) і другий момент можуть бути використані для визначення періоду перетину нуля зі спектра.