3.4.3: Спектральний аналіз

Альтернативним способом приходу до статистичного подання стану моря використовується той факт, що піднесення поверхні в одному місці може бути розплутано в різні синусоїди з різними частотами яких амплітуди і фази можуть бути визначені за допомогою так званого Фур'є аналізу. Фур'є продемонстрував, що будь-який сигнал можна описати сумою гармонічних складових, так званим рядом Фур'є. За припущенням стаціонарного запису ці синусоїди мають постійну амплітуду і фазу на компонент у часі. Для запису часу з кінцевою тривалістю ряди Фур'є можуть бути записані через синусоїдальні (або косинусні) функції, які вписуються ціле число разів у тривалості запису\(T_r\).

Висота коливальної поверхні може бути записана як ряд Фур'є наступним чином:

\[\eta = \sum_{n = 1}^{N} a_n \cos (2\pi f_n t + \alpha_n)\label{eq3.4.3.1}\]

де

\[f_n = \dfrac{n}{T_r} \text{ for } n = 1, 2, ... \nonumber\]

Хоча в природі частоти будуть безперервними, частоти в еквалайзерах. \(\ref{eq3.4.3.1}\)є дискретними за необхідністю, оскільки на практиці довжина хвильового ряду обмежена, наприклад, 20 min (\(\Delta f = 1/T_r\)). Таким чином, довжина запису визначає найменшу частоту (найдовшу хвилю), яку можна визначити за записом:\(f_{\min} = 1/T_r\). Більш того, часовий ряд не є безперервним, оскільки вимірювання рівня води проводяться з певним інтервалом відбору проб. Інтервал вибірки визначає найвищу частоту, яку можна визначити за записом:\(f_{\max} = \tfrac{1}{2\Delta t}\).

З амплітуд різних компонентів можна обчислити спектр хвильової енергії в діапазоні хвильових періодів або частот. За допомогою трохи тригонометрії можна виявити, що для однієї гармонічної складової дисперсія дорівнює\(\tfrac{1}{2} a_n^2\). Тоді для суми гармонійних складових відповідна дисперсія задається:

\[\sum_{n = 1}^{N} \dfrac{1}{2} a_n^2\]

Спектр щільності дисперсії дає щільність дисперсії на одиницю частотного інтервалу для кожної частоти і є постійним для\(\Delta f \to 0\):

\[\lim_{\Delta f \to 0} \dfrac{1/2a_n^2}{\Delta f} = E(f_n) \label{eq3.4.3.3}\]

Приймаючи інтеграл спектра, загальна дисперсія знову відновлюється:

\[\int_{0}^{\infty} E(f) df = \overline{\eta^2} = \sigma^2 \label{eq3.4.3.4}\]

Можна зробити два висновки. По-перше, в спектрі щільність дисперсії - це внесок одного компонента в загальну дисперсію. По-друге, стандартне\(\sigma\) відхилення сигналу висоти поверхні можна оцінити від площі під спектром. Зауважте далі, що з спектра дисперсійної щільності спектр густини енергії легко отримується, оскільки дисперсія та енергія з'єднуються через Eq. 3.4.2.1.

Так обчислений спектр описує розглянутий часовий ряд, але є лише оцінкою спектра, що представляє випадковий процес, оскільки наступна реалізація за тієї ж умови дасть дещо іншу висоту поверхні. Щоб отримати кращу оцінку, усереднення має відбуватися спектрів на основі підрозділів часових рядів або еквівалентно над частотними бункерами.

Малюнок 3.7: Часовий ряд поверхневих висот та відповідні спектри для моря та набухання комбіновані (верхня панель), море (середня панель) та набухання (нижня панель). Для генерації морської складової так званого спектра JONSWAP (типовий спектр для моря див. Розділ. 3.5.1) використовується з\(H_S= 1.8 m\),\(T_p = 5.5s\) і піковий коефіцієнт посилення\(\gamma = 1\). Для набухання компонента\(H_S = 0.5m\)\(T_p = 12s\) і\(\gamma = 5\) використовуються. Як для моря, так і для набухання параметр ширини піку -\(\sigma = 0.07\) for\(f \le f_p\) і\(\sigma = 0.09\) for\(f > f_p\). Спектри моря і набухання об'єднані в бімодальному спектрі набухання і моря. Часові ряди генеруються зі спектрів з частотою дискретизації 25 Гц, припускаючи випадкові фази. Зверніть увагу, що часові ряди в правій панелі відповідають рис. 3.6.

На рис. 3.7 показані енергетичні спектри з відповідним часовим рядом. У середній і нижній панелі вся енергія зосереджена навколо середніх частот. Чим вужче спектр, тим більш регулярні хвилі. Для більших, довших хвиль спектр буде зміщений у бік нижчих частот і містити більше енергії. Для менших, коротших хвиль спектр буде зміщений у бік вищих частот і буде нижчим. Іноді можна розрізнити дві суміжні або часто частково перекриваються частини спектра. Це означає, що присутні два різних хвильових поля: набухання і море (верхня панель). Якщо середні частоти двох хвильових полів близькі, то буде так багато перекриття, що спектр широкий, але в іншому випадку виглядає як спектр з лише одним хвильовим полем.

Як щодо фаз різних компонентів? Розподіл фаз по частотах називається фазовим спектром. Часто фазовий спектр не показаний, оскільки в не надто крутих хвиль і в глибокій воді фази здаються незалежними один від одного і рівномірно розподіленими між\(-\pi\) і\(\pi\). Це означає, що різні компоненти не пов'язані між собою через фази і можуть розглядатися як окремі хвилі, що рухаються незалежно через сигнал, ніби вони були поодинці. Це стосується лінійних хвиль малої амплітуди. Отже, тоді залишається лише амплітуда або дисперсія/енергетичний спектр, щоб охарактеризувати хвильовий запис.

Які параметри можна отримати з дисперсійного спектра? По-перше, спектр виявляє домінуючі частоти в хвильовому записі; більшість енергії відбувається на спектральному піку, а відповідний хвильовий період називається піковим спектральним періодом\(T_p\). Інші характерні середні параметри можуть бути виражені через спектральні моменти:

\[m_n = \int_{0}^{\infty} f^n E(f) df \ \ \text{ for }\ n = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\]

\(m_0\)це область під спектром. Оскільки\(m_0\) загальна дисперсія інтегрована по всіх частотах, стандартне відхилення задається\(\sigma = \sqrt{m_0}\) (див. \(\ref{eq3.4.3.3}\)і\(\ref{eq3.4.3.4}\)). У секті. 3.4.4 ми побачимо, як нульовий момент\(m_0\) і другий момент можуть бути використані для визначення періоду перетину нуля зі спектра.