3.4.4: Короткочасний розподіл висоти хвиль

У попередньому розділі ми бачили, що в глибокій воді і до тих пір, поки хвилі не надто круті, піднесення поверхні можна розглядати як суму великої кількості компонентів з випадковими фазами. У цьому випадку спостереження та теоретичні міркування показали, що висоти хвиль можна описати розподілом Релея. Нижче ми побачимо, що за допомогою розподілу Релея параметри, визначені хвилевим аналізом та спектральним аналізом, можуть бути пов'язані один з одним.

Короткостроковий розподіл висот хвиль, відомий як розподіл Релея, є:

\[p(H) = \dfrac{H}{4\sigma^2} e^{-\tfrac{H^2}{8\sigma^2}}\label{eq3.4.4.1}\]

Хоча теоретично справедливі лише для вузького спектра, спостереження показали, що також для більш широких спектрів висоти хвиль більш-менш підкоряються розподілу Релея. На практиці мінливість хвильового періоду часто ігнорується.

Від функції щільності ймовірності (ур. \(\ref{eq3.4.4.1}\)) можна вивести ймовірність того, що індивідуальна висота хвилі\(H'\) перевищує задану висоту хвилі\(H\):

\[P(H' > H) = 1 - P(H' < H) = 1 - \int_{0}^{H} p(H) dH = e^{-\tfrac{H^2}{8\sigma^2}}\label{eq3.4.4.2}\]

де єдиним параметром\(\sigma\) є стандартне відхилення і, отже, вимірювання висоти хвилі. Як ми бачили, це можна оцінити або з часового ряду, або, оскільки\(\sigma = \sqrt{m_0}\), з спектру.

Висота хвилі з ймовірністю перевищення\(P\) випливає з Eq. \(\ref{eq3.4.4.2}\):

\[H_P = 2 \sigma \sqrt{2\ln (1/P)} \label{eq3.4.4.3}\]

Наприклад, висота,\(H_{2\%}\) яка перевищена на 2% хвиль, дорівнює\(2\sigma \sqrt{2\ln (1/P)}\) і\(H_{1\%} = 6.07 \sigma\).

У секті. 3.4.3\(H_{1/3}\) розраховувався з часового ряду. Ми також можемо використовувати розподіл Релея для обчислення\(H_{1/3}\). Це може бути показано, щоб дати:

\[H_{1/3} = 4\sigma \label{eq3.4.4.4}\]

Імовірність перевищення висот хвиль відповідно до розподілу Релея тепер може бути виражена через значну висоту хвилі також:

\[P(H' > H) = e^{-2(\tfrac{H}{H_s})^2}\]

Малюнок 3.8: На папері Релея (з вертикальною віссю в масштабі довгого розміру) розподіл Релея представлений прямою лінією через початок.

який часто графічно представлений, як на рис. 3.8.

Значення\(H_s\) можна прочитати з графіка при значенні перевищення 13.5% (\(e^{-2}\)). Також випливає, що 1 з 100 хвиль буде вище приблизно в 1,5 рази\(H_s\). Сила розглянутої шторму, мабуть, визначається лише одним значенням:\(H_s\). Сильніший шторм призведе до більш крутої кривої розподілу, яка знову визначається певним значенням значної висоти хвилі.

Коли нерегулярні хвилі потрапляють на мілководді, найвищі хвилі почнуть ламатися через обмежену глибину. Це означає, що розподіл Релея більше не застосовується для\(H_s > 0.3h\) або близько того. Тоді для хвоста дистрибутива Weibull розподіл погоджується краще.

На основі Eq. \(\ref{eq3.4.4.4}\)ми визначаємо\(H_{m_0} = 4\sqrt{m_0}\) як альтернативний вираз для обчислення значної висоти хвилі і використовуємо індекс,\(m_0\) щоб вказати, що висота хвилі обчислюється з нульового моменту хвильового спектра. До речі, зі спостережень на морі виявляється, що поправка на це теоретичне значення дає\(H_{1/3} = \sqrt{m_0}\).

Підводячи підсумок, можна констатувати, що короткочасний розподіл висот хвиль, тобто висот хвиль у стаціонарному морському стані, проявляє деякі дуже характерні відносини:

Максимальна індивідуальна висота хвилі в хвильовому записі залежить від довжини запису. Припустимо, у нас є запис шторму тривалістю шість годин. Припустимо, середній хвильовий період є\(\overline{T} = 10s\), тому в середньому у нас є\(6 \times 60 \times 60/10 \approx 2000\) хвилі в запису. Максимальна індивідуальна висота хвилі тепер може бути оцінена, встановивши\(P = 1/2000\) в Eq. \(\ref{eq3.4.4.3}\). Потім ми виявляємо, що в шторм максимальна індивідуальна висота хвилі\(H_{\max} \approx 2H_s\). Це зручний метод для швидкої оцінки\(H_s\) з хвильового запису з певною кількістю хвиль.

Таблиця 3.1: Характеристичні висоти хвиль (нерозривні хвилі)

Опис	Позначення	\(H/\sqrt{m_0}\)	\(H/H_s\)
Середньоквадратична висота	\(H_{rms}\)	\(2\sqrt{2}\)	0,707
Середня висота	\(\overline{H}\)	\(\sqrt{2\pi}\)	0,63
Значна висота	\(H_s = H_{1/3}\)	4.004	1
Середнє значення 1/10 найвищих хвиль	\(H_{1/10}\)	5.09	1.27
Середнє значення 1/100 найвищих хвиль	\(H_{1/100}\)	6.67	1.67

Для регулярної завивки енергійність\(E = 1/2 \rho g a^2 = 1/8 \rho g H^2\). Використовуючи таблицю 3.1, ми маємо для нерегулярного хвильового поля\(E = \rho g m_0 = 1/8 \rho g H_{rms}^2\). Мабуть, середня квадратна висота хвилі\(H_{rms}\) - це висота хвилі, що представляє загальний вміст енергії.

Аналогічним чином можна визначити хвильові періоди за спектральними моментами. Наприклад, нульовий період перетину:

\[T_2 = \sqrt{\dfrac{m_0}{m_2}}\]

Теоретично це дорівнює нульовому періоду перетину\(\overline{T_0}\), визначеному з часового ряду. Для вузьких спектрів як для набухання,\(T_{1/3}\) так\(T_2\) і приблизно рівні спектральному піковому періоду\(T_p\). Для більш широкого спектра з високочастотним хвостом (типовий морський спектр) приблизно\(T_{1/3}\) дорівнює 0,9-0,95\(T_p\) і приблизно\(T_2\) дорівнює 0,7\(T_p\). Однак значення\(T_2\) слід розглядати з обережністю; через чутливість вищих моментів для більш високих частот,\(T_2\) буде чутливий до деталей вимірювань і обробки даних.

Хвильовий клімат для Північного моря не дуже екстремальний. Значна висота хвиль раз у раз досягає значень 8 метрів у північній частині та 6 метрів у південній частині (біля узбережжя Нідерландів). Середній хвильовий період за цих умов становить близько 10 секунд. Найвища хвиля на півночі - приблизно 15 метрів з періодом від 15 до 20 секунд. Усереднений за рік\(H_s\) = від 1 м до 1,5 м і\(\overline{T}\) = від 4 до 5 секунд.

Поки ми не враховували спрямованість хвиль. Однак насправді різні гармонічні компоненти мають різні напрямки хвиль\(\theta\). Ось чому іноді ви також знайдете інформацію про середній напрямок хвилі\(\theta_m\) та величину поширення навколо середнього.