5.5: Неправильні інтеграли

Певні інтеграли досі визначені лише для неперервних функцій над скінченними замкнутими інтервалами. Бувають випадки, коли вам потрібно буде виконати інтеграцію, незважаючи на ці умови, які не виконуються. Наприклад, у квантовій механіці дельта-функція\(\delta\) Дірака ⁴\(\Reals\) визначається чотирма властивостями:

1. \(\delta(x) ~=~ 0\;\)для всіх\(x \ne 0\)
2. \(\delta(0) ~=~ \infty\)
3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)~\dx ~=~ 1\)
4. Для будь-якої безперервної функції\(f\) увімкнено\(\Reals\),

   \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\;\delta(x)~\dx ~=~ f(0)\).

Властивості (3) і (4) дають приклади одного типу неправильного інтеграла: інтеграла через нескінченний інтервал (в даному випадку весь дійсний рядок\(\Reals = (-\infty,\infty)\)). Визначте цей тип неправильного інтеграла наступним чином:

Межі в вищезазначених визначеннях завжди приймаються після оцінки інтеграла всередині межі. Так само, як і для «правильних» певних інтегралів, неправильні інтеграли можна інтерпретувати як представляють площу під кривою.

Приклад\(\PageIndex{1}\): improper1

Оцініть\(~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x}~\).

Рішення

Для всіх дійсних чисел\(b > 1\),

\[\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(\ln\,x~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ (\ln\,b ~-~ \ln\,1) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ b ~=~ \infty\end{aligned}\]

і тому інтеграл розходиться. Це означає, що площа під кривою\(y=1/x\) за інтервалом\(\lival{1}{\infty}\) - як показано на графіку вище, нескінченна.

Приклад\(\PageIndex{2}\): improper2

Оцініть\(~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2}~\).

Рішення

Для всіх дійсних чисел\(b > 1\),

\[\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x^2} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\frac{1}{x}~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(-\frac{1}{b} ~-~ \left(-\frac{1}{1}\right)\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(1 ~-~ \frac{1}{b}\right) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}\]

Це означає, що площа під кривою\(y=1/x^2\) за інтервалом\(\lival{1}{\infty}\) - як показано на графіку вище, дорівнює 1. Таким чином, нескінченна область може мати кінцеву площу. Довжина і площа - різні і не обов'язково пов'язані поняття, як це ілюструє цей приклад. Зверніть увагу, що\(y=1/x^2\) наближається до\(x\) -осі асимптота набагато швидше, ніж\(y=1/x\) робить - досить швидко, щоб зробити інтеграл збіжним.

Приклад\(\PageIndex{3}\): improper3

Оцініть\(~\displaystyle\int_{-\infty}^0\,e^x~\dx~\).

Рішення

Для всіх дійсних чисел\(b < 0\),

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^0\,e^x~\dx ~&=~ \lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^0\,e^x~\dx ~=~ \lim_{b \to -\infty}~\left(e^x~\Biggr|_b^{0}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (1 ~-~ e^b) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}\]Це означає, що площа під кривою\(y=e^x\) за інтервалом\(\rival{-\infty}{0}\) - як показано на графіку вище, дорівнює 1.

Приклад\(\PageIndex{4}\): improper4

Оцініть\(~\displaystyle\int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx~\).

Рішення

Так як

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\sin\,x~\dx\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\cos\,x~\Biggr|_0^{b}\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~(-\cos\,b ~+~ 1)\end{aligned}\]

то інтеграл розходиться, так як\(\lim_{b \to \infty}~\cos\,b\) не існує (\(\cos b\)коливається між 1 і -1). Це означає, що чиста площа понад\(\lival{0}{\infty}\) —вважається позитивною над\(x\) віссю -та негативною нижче - є невизначеною.

Приклад\(\PageIndex{5}\): improper5

Додайте сюди текст.

Рішення

Оцініть\(~\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}~\).

Рішення: Розділити інтеграл на\(x=0\):

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~&=~ \int_{-\infty}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~+~ \int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_b^{0}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_0^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (\tan^{-1} 0 ~-~ \tan^{-1} b) ~+~ \lim_{b \to \infty}~ (\tan^{-1} b ~-~ \tan^{-1} 0)\\[4pt] &=~ (0 - (-\pi/2)) ~+~ (\pi/2 - 0) ~=~ \pi\end{aligned}\]

Це означає, що площа під кривою\(y=\frac{1}{1+x^2}\) по всій дійсній лінії\((-\infty,\infty)\) - як показано на графіку вище, дорівнює\(\pi\). Зверніть увагу, що якщо інтеграл були розділені на будь-яке число,\(c\) то відповідь буде однаковою. Іншим способом оцінки інтеграла було б використання симетрії навколо\(y\) -осі - як\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) це парна функція - так що

\[\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ 2\,\int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \cdots ~=~ 2 (\pi/2 - 0) ~=~ \pi ~.\]

Оскільки integrand є безперервним\(\Reals\), поширеним способом оцінки інтегралу, особливо серед студентів, є просто використовувати\(\pm\infty\) як фактичні межі інтеграції, таким чином уникаючи необхідності приймати обмеження:

\[\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \tan^{-1} x~\Biggr|_{-\infty}^{\infty} ~=~ \tan^{-1} (\infty) ~-~ \tan^{-1} (-\infty) ~=~ \frac{\pi}{2} ~-~ \frac{-\pi}{2} ~=~ \pi\]

Цей тип ярлика є прекрасним до тих пір, поки ви знаєте про те, що підключення\(x=\pm\infty\) до\(\tan^{-1} x\) насправді означає, і що немає чисел, для яких integrand не визначено (що дасть неправильний інтеграл іншого типу, який буде обговорюватися найближчим часом).

Другий тип неправильного інтеграла - функція не безперервна або не обмежена за інтервалом інтеграції. Наприклад, інтеграл у властивості (3) дельта-функції Дірака має такий тип, оскільки\(\delta\) є переривчастим at\(x=0\). Визначте цей тип неправильного інтеграла наступним чином:

Приклад\(\PageIndex{6}\): improper6

Оцініть\(~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x}~\).

Рішення

Оскільки\(x=0\) це вертикальна асимптота для\(y = \frac{1}{x}\),

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(\ln\,x~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(\ln\,1 ~-~ \ln\,c) ~=~ 0 ~-~ (-\infty) ~=~ \infty\end{aligned}\]

і тому інтеграл розходиться. Це означає, що площа під кривою\(y=1/x\) за інтервалом\(\rival{0}{1}\) - як показано на графіку вище, нескінченна. Область нескінченна в\(y\) напрямку.

Приклад\(\PageIndex{7}\): improper7

Оцініть\(~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}}~\).

Рішення

Оскільки\(x=0\) це вертикальна асимптота для\(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\),

\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(2\,\sqrt{x}~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(2 ~-~ 2\,\sqrt{c}\,) ~=~ 2 ~-~ 0 ~=~ 2 ~.\end{aligned}\]Це означає, що площа під кривою\(y=1/\sqrt{x}\) за інтервалом\(\rival{0}{1}\) - як показано на графіку вище, дорівнює 2. Область нескінченна в\(y\) напрямку.

Приклад\(\PageIndex{8}\): improper8

Оцініть\(~\displaystyle\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx~\).

Рішення

Відгук з прикладу

\[\begin{aligned} \int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~&=~ \int_{1}^{2}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~+~ \int_{2}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,1~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,2~\dx\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~\left(x~\Biggr|_1^{b}\right) ~+~ \lim_{c \to 3-}~\left(2x~\Biggr|_2^{c}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~(b - 1) ~+~ \lim_{c \to 3-}~(2c - 4) ~=~ (2-1) ~+~ (6-4) ~=~ 3\end{aligned}\]

Приклад\(\PageIndex{1}\): floorceil

У розділі 3.3, що функція підлоги\(y=\lfloor x \rfloor\) має розриви стрибка при кожному цілому значенні\(x\), як показано на графіку праворуч. Таким чином, інтеграл\(\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor\;\dx\) є неправильним інтегралом протягом інтервалу\(\lival{1}{3}\), який потрібно розділити в точці розриву\(x=2\) в межах цього інтервалу:

Подібно до деяких з наведених вище прикладів, наступний результат легко довести (див. Вправи):

Іноді корисний наступний тест на конвергенцію або розбіжність:

Ідея частини (а) полягає в тому, що якщо\(-g(x) \le f(x) \le g(x)\) закінчено\(\lival{a}{\infty}\), то - мислення про неправильні інтеграли як області - інтеграл з «\(f\)стискається» між двома скінченними інтегралами для\(\pm g\). Є, однак, деякі тонкі питання, щоб довести про межу в інтегралі\(f\) —скінченних меж не обов'язково може означати, що межа існує. ⁵

Приклад\(\PageIndex{1}\): improper9

Додайте сюди текст.

Рішення

Покажіть, що\(~\displaystyle\int_{1}^{\infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x^2}~\dx~\) є конвергентним.

Рішення: На прикладі

Приклад\(\PageIndex{1}\): improper2

Додайте сюди текст.

Рішення

, Інтеграл\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\dx\) є конвергентним. Так як\(\abs{\sin\,x} \le 1\) для всіх\(x\), то

 

 

\[\ABS{\frac{\sin\,x}{x^2}} ~\le~ \frac{1}{x^2}\]для всіх\(x\) в\(\lival{1}{\infty}\). Таким чином, за тестом порівняння,\(\int_{1}^{\infty} \frac{\sin\,x}{x^2}\,\dx\) є конвергентним. Графік праворуч показує, як крива\(y=\tfrac{\sin\,x}{x^2}\) обмежена між кривими\(y=\pm\tfrac{1}{x^2}\).

Правила та властивості з розділу 5.3, що стосуються певних інтегралів, все ще застосовуються до неправильних інтегралів, за умови, що неправильні інтеграли є збіжними. Наприклад, припустимо, що функція\(f\) має розрив або вертикальну асимптоту при\(x=c\). Якщо обидва неправильні інтеграли\(\int_a^{c} f(x)\,\dx\) і\(\int_c^{b} f(x)\,\dx\) збігаються, то неправильний інтеграл\(\int_a^{b} f(x)\,\dx\) є збіжним і

 

 

\[\int_a^{b} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{b} f(x)~\dx ~.\]Так само, якщо\(\int_a^{c} f(x)\,\dx\) і\(\int_c^{\infty} f(x)\,\dx\) сходяться, то так само\(\int_a^{\infty} f(x)\,\dx\), з

 

 

\[\int_a^{\infty} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{\infty} f(x)~\dx ~.\][сек. 5 крапку 5]

Для вправ 1-15 оцініть даний неправильний інтеграл.

5

\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x^3}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-2x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}\)

5

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} 2^x ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \tan x ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln\,x}{x}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{\sqrt{1 - x^2}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}\)

5

\(\displaystyle\int_{0}^{3} \lceil x \rceil ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dx}{x^2 ~+~ 4}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}\)

\(\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x\, \ln x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}\)

У резервній системі з двох неоднакових компонентів нормальний робочий компонент А має частоту\(\lambda_A > 0\) відмов за одиницю часу, тоді як компонент очікування B, який бере на себе, коли A виходить з ладу, має частоту відмов\(\lambda_B > 0\) (з\(\lambda_A \ne \lambda_B\)).

1. Знайдіть надійність системи очікування\(R(t)\) поза часом\(t \ge 0\), де

    

    

   \[R(t) ~=~ \int_t^{\infty} \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} \left(e^{-\lambda_B x} ~-~ e^{-\lambda_A x}\right)~\dx ~.\]

    

2. Покажіть, що середній час відмови системи (MTTF)\(m\), де\(m = \int_0^{\infty} R(t)\,\dt~\), є\(m = \frac{1}{\lambda_A} + \frac{1}{\lambda_B}\).

    

Покажіть, що для всіх\(a > 0\),\(~\displaystyle\int_{a}^{\infty}\,\frac{\dx}{x^p}~\) є конвергентним якщо\(p > 1\), і розходиться якщо\(0 < p \le 1\).

Покажіть, що для всіх\(a > 0\),\(~\displaystyle\int_{0}^{a}\,\frac{\dx}{x^p}~\) є конвергентним якщо\(0 < p < 1\), і розходиться якщо\(p \ge 1\).

2

Чи є\(~\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x + x^4}~\) конвергентним? Поясніть.

Чи є\(~\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x - \sqrt{x}}~\) конвергентним? Поясніть.

[1.] ]

Приклад

Приклад\(\PageIndex{1}\): improper4

Додайте сюди текст.

Рішення

показав,\(\int_0^{\infty}\sin x\,\dx\) що розходиться. Який недолік у аргументі, що інтеграл повинен бути 0, оскільки кожен «горб»\(\sin x\) над\(x\) віссю скасовується на одиницю нижче\(x\) -осі?

Ця вправа стосується правила віднімання\(\int_a^{\infty} (f(x) - g(x))\,\dx = \int_a^{\infty} f(x)\,\dx \;-\; \int_a^{\infty} g(x)\,\dx\).

1. Показувати це\(\frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\) для всіх\(x\), крім 0 та -1

    

2. Покажіть, що\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x (x+1)}\) є конвергентним.

    

3. Покажіть, що\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x+1}\) обидва\(\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x}\) і розходяться.

    

4. Чи суперечить частина (c) частинам (a) - (b) і правилу віднімання? Поясніть.

    

Неправильний інтеграл\(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,\dx = 1\) є одним з помітних «порушень» дельта-функції Дірака\(\delta\). Один із способів думати про цей інтеграл - це наближення\(\delta\) трикутними «імпульсними» функціями\(D_n\) (для\(n \ge 1\)), як на малюнку праворуч.

1. Напишіть формулу для кожного\(D_n(x)\) над усім\(\Reals\).

    

2. Показати, що\(\int_{-\infty}^{\infty} D_n(x)\,\dx = 1\,\) для всіх цілих чисел\(n \ge 1\).

    

3. Покажіть, що\(\lim_{n \to \infty} D_n(0) = \infty = \delta(0)\).

    

4. \(D_n\)Функції починають нагадувати\(\delta\) як\(n \to \infty\)?