5.5: Неправильні інтеграли

Певні інтеграли досі визначені лише для неперервних функцій над скінченними замкнутими інтервалами. Бувають випадки, коли вам потрібно буде виконати інтеграцію, незважаючи на ці умови, які не виконуються. Наприклад, у квантовій механіці дельта-функція$\delta$ Дірака ⁴$\Reals$ визначається чотирма властивостями:

1. $\delta(x) ~=~ 0\;$для всіх$x \ne 0$
2. $\delta(0) ~=~ \infty$
3. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)~\dx ~=~ 1$
4. Для будь-якої безперервної функції$f$ увімкнено$\Reals$,

   $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\;\delta(x)~\dx ~=~ f(0)$.

Властивості (3) і (4) дають приклади одного типу неправильного інтеграла: інтеграла через нескінченний інтервал (в даному випадку весь дійсний рядок$\Reals = (-\infty,\infty)$). Визначте цей тип неправильного інтеграла наступним чином:

Межі в вищезазначених визначеннях завжди приймаються після оцінки інтеграла всередині межі. Так само, як і для «правильних» певних інтегралів, неправильні інтеграли можна інтерпретувати як представляють площу під кривою.

Приклад$\PageIndex{1}$: improper1

Оцініть$~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x}~$.

Рішення

Для всіх дійсних чисел$b > 1$,

$$\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(\ln\,x~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ (\ln\,b ~-~ \ln\,1) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ b ~=~ \infty\end{aligned}$$

і тому інтеграл розходиться. Це означає, що площа під кривою$y=1/x$ за інтервалом$\lival{1}{\infty}$ - як показано на графіку вище, нескінченна.

Приклад$\PageIndex{2}$: improper2

Оцініть$~\displaystyle\int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2}~$.

Рішення

Для всіх дійсних чисел$b > 1$,

$$\begin{aligned} \int_1^{\infty}\,\dfrac{\dx}{x^2} ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{1}^{b} \dfrac{\dx}{x^2} ~=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\frac{1}{x}~\Biggr|_1^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(-\frac{1}{b} ~-~ \left(-\frac{1}{1}\right)\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~ \left(1 ~-~ \frac{1}{b}\right) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}$$

Це означає, що площа під кривою$y=1/x^2$ за інтервалом$\lival{1}{\infty}$ - як показано на графіку вище, дорівнює 1. Таким чином, нескінченна область може мати кінцеву площу. Довжина і площа - різні і не обов'язково пов'язані поняття, як це ілюструє цей приклад. Зверніть увагу, що$y=1/x^2$ наближається до$x$ -осі асимптота набагато швидше, ніж$y=1/x$ робить - досить швидко, щоб зробити інтеграл збіжним.

Приклад$\PageIndex{3}$: improper3

Оцініть$~\displaystyle\int_{-\infty}^0\,e^x~\dx~$.

Рішення

Для всіх дійсних чисел$b < 0$,

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^0\,e^x~\dx ~&=~ \lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^0\,e^x~\dx ~=~ \lim_{b \to -\infty}~\left(e^x~\Biggr|_b^{0}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (1 ~-~ e^b) ~=~ 1 ~-~ 0 ~=~ 1 ~.\end{aligned}$$ Це означає, що площа під кривою$y=e^x$ за інтервалом$\rival{-\infty}{0}$ - як показано на графіку вище, дорівнює 1.

Приклад$\PageIndex{4}$: improper4

Оцініть$~\displaystyle\int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx~$.

Рішення

Так як

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\,\sin\,x~\dx ~&=~ \lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\sin\,x~\dx\\[6pt] &=~ \lim_{b \to \infty}~\left(-\cos\,x~\Biggr|_0^{b}\right) ~=~ \lim_{b \to \infty}~(-\cos\,b ~+~ 1)\end{aligned}$$

то інтеграл розходиться, так як$\lim_{b \to \infty}~\cos\,b$ не існує ($\cos b$коливається між 1 і -1). Це означає, що чиста площа понад$\lival{0}{\infty}$ —вважається позитивною над$x$ віссю -та негативною нижче - є невизначеною.

Приклад$\PageIndex{5}$: improper5

Додайте сюди текст.

Рішення

Оцініть$~\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}~$.

Рішення: Розділити інтеграл на$x=0$:

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~&=~ \int_{-\infty}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~+~ \int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\int_{b}^{0}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\int_{0}^{b}\,\frac{\dx}{1 + x^2}\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to -\infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_b^{0}\right) ~+~ \left(\lim_{b \to \infty}~\tan^{-1} x~\Biggr|_0^{b}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to -\infty}~ (\tan^{-1} 0 ~-~ \tan^{-1} b) ~+~ \lim_{b \to \infty}~ (\tan^{-1} b ~-~ \tan^{-1} 0)\\[4pt] &=~ (0 - (-\pi/2)) ~+~ (\pi/2 - 0) ~=~ \pi\end{aligned}$$

Це означає, що площа під кривою$y=\frac{1}{1+x^2}$ по всій дійсній лінії$(-\infty,\infty)$ - як показано на графіку вище, дорівнює$\pi$. Зверніть увагу, що якщо інтеграл були розділені на будь-яке число,$c$ то відповідь буде однаковою. Іншим способом оцінки інтеграла було б використання симетрії навколо$y$ -осі - як$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ це парна функція - так що

$$\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ 2\,\int_{0}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \cdots ~=~ 2 (\pi/2 - 0) ~=~ \pi ~.$$

Оскільки integrand є безперервним$\Reals$, поширеним способом оцінки інтегралу, особливо серед студентів, є просто використовувати$\pm\infty$ як фактичні межі інтеграції, таким чином уникаючи необхідності приймати обмеження:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\,\frac{\dx}{1 + x^2} ~=~ \tan^{-1} x~\Biggr|_{-\infty}^{\infty} ~=~ \tan^{-1} (\infty) ~-~ \tan^{-1} (-\infty) ~=~ \frac{\pi}{2} ~-~ \frac{-\pi}{2} ~=~ \pi$$

Цей тип ярлика є прекрасним до тих пір, поки ви знаєте про те, що підключення$x=\pm\infty$ до$\tan^{-1} x$ насправді означає, і що немає чисел, для яких integrand не визначено (що дасть неправильний інтеграл іншого типу, який буде обговорюватися найближчим часом).

Другий тип неправильного інтеграла - функція не безперервна або не обмежена за інтервалом інтеграції. Наприклад, інтеграл у властивості (3) дельта-функції Дірака має такий тип, оскільки$\delta$ є переривчастим at$x=0$. Визначте цей тип неправильного інтеграла наступним чином:

Приклад$\PageIndex{6}$: improper6

Оцініть$~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x}~$.

Рішення

Оскільки$x=0$ це вертикальна асимптота для$y = \frac{1}{x}$,

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{x} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(\ln\,x~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(\ln\,1 ~-~ \ln\,c) ~=~ 0 ~-~ (-\infty) ~=~ \infty\end{aligned}$$

і тому інтеграл розходиться. Це означає, що площа під кривою$y=1/x$ за інтервалом$\rival{0}{1}$ - як показано на графіку вище, нескінченна. Область нескінченна в$y$ напрямку.

Приклад$\PageIndex{7}$: improper7

Оцініть$~\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}}~$.

Рішення

Оскільки$x=0$ це вертикальна асимптота для$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$,

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~&=~ \lim_{c \to 0+}~\int_{c}^{1}\,\frac{\dx}{\sqrt{x}} ~=~ \lim_{c \to 0+}~\left(2\,\sqrt{x}~\Biggr|_c^{1}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{c \to 0+}~(2 ~-~ 2\,\sqrt{c}\,) ~=~ 2 ~-~ 0 ~=~ 2 ~.\end{aligned}$$ Це означає, що площа під кривою$y=1/\sqrt{x}$ за інтервалом$\rival{0}{1}$ - як показано на графіку вище, дорівнює 2. Область нескінченна в$y$ напрямку.

Приклад$\PageIndex{8}$: improper8

Оцініть$~\displaystyle\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx~$.

Рішення

Відгук з прикладу

$$\begin{aligned} \int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~&=~ \int_{1}^{2}\,\lfloor x \rfloor~\dx ~+~ \int_{2}^{3}\,\lfloor x \rfloor~\dx\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,\lfloor x \rfloor~\dx\right)\\[6pt] &=~ \left(\lim_{b \to 2-}~\int_{1}^{b}\,1~\dx\right) ~+~ \left(\lim_{c \to 3-}~\int_{2}^{c}\,2~\dx\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~\left(x~\Biggr|_1^{b}\right) ~+~ \lim_{c \to 3-}~\left(2x~\Biggr|_2^{c}\right)\\[6pt] &=~ \lim_{b \to 2-}~(b - 1) ~+~ \lim_{c \to 3-}~(2c - 4) ~=~ (2-1) ~+~ (6-4) ~=~ 3\end{aligned}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: floorceil

У розділі 3.3, що функція підлоги$y=\lfloor x \rfloor$ має розриви стрибка при кожному цілому значенні$x$, як показано на графіку праворуч. Таким чином, інтеграл$\int_{1}^{3}\,\lfloor x \rfloor\;\dx$ є неправильним інтегралом протягом інтервалу$\lival{1}{3}$, який потрібно розділити в точці розриву$x=2$ в межах цього інтервалу:

Подібно до деяких з наведених вище прикладів, наступний результат легко довести (див. Вправи):

Іноді корисний наступний тест на конвергенцію або розбіжність:

Ідея частини (а) полягає в тому, що якщо$-g(x) \le f(x) \le g(x)$ закінчено$\lival{a}{\infty}$, то - мислення про неправильні інтеграли як області - інтеграл з «$f$стискається» між двома скінченними інтегралами для$\pm g$. Є, однак, деякі тонкі питання, щоб довести про межу в інтегралі$f$ —скінченних меж не обов'язково може означати, що межа існує. ⁵

Приклад$\PageIndex{1}$: improper9

Додайте сюди текст.

Рішення

Покажіть, що$~\displaystyle\int_{1}^{\infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x^2}~\dx~$ є конвергентним.

Рішення: На прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: improper2

Додайте сюди текст.

Рішення

, Інтеграл$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\dx$ є конвергентним. Так як$\abs{\sin\,x} \le 1$ для всіх$x$, то

 

 

$$\ABS{\frac{\sin\,x}{x^2}} ~\le~ \frac{1}{x^2}$$ для всіх$x$ в$\lival{1}{\infty}$. Таким чином, за тестом порівняння,$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin\,x}{x^2}\,\dx$ є конвергентним. Графік праворуч показує, як крива$y=\tfrac{\sin\,x}{x^2}$ обмежена між кривими$y=\pm\tfrac{1}{x^2}$.

Правила та властивості з розділу 5.3, що стосуються певних інтегралів, все ще застосовуються до неправильних інтегралів, за умови, що неправильні інтеграли є збіжними. Наприклад, припустимо, що функція$f$ має розрив або вертикальну асимптоту при$x=c$. Якщо обидва неправильні інтеграли$\int_a^{c} f(x)\,\dx$ і$\int_c^{b} f(x)\,\dx$ збігаються, то неправильний інтеграл$\int_a^{b} f(x)\,\dx$ є збіжним і

 

 

$$\int_a^{b} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{b} f(x)~\dx ~.$$ Так само, якщо$\int_a^{c} f(x)\,\dx$ і$\int_c^{\infty} f(x)\,\dx$ сходяться, то так само$\int_a^{\infty} f(x)\,\dx$, з

 

 

$$\int_a^{\infty} f(x)~\dx ~=~ \int_a^{c} f(x)~\dx ~+~ \int_c^{\infty} f(x)~\dx ~.$$ [сек. 5 крапку 5]

Для вправ 1-15 оцініть даний неправильний інтеграл.

5

$\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x^3}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}$

$\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}$

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}$

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-2x} ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}$

$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\dx}{\sqrt[3]{x}}}$

5

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{0} 2^x ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \tan x ~\dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\ln\,x}{x}~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{\dx}{\sqrt{1 - x^2}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}}$

5

$\displaystyle\int_{0}^{3} \lceil x \rceil ~\dx\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\dx}{x^2 ~+~ 4}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}$

$\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}$

$\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x\, \ln x}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}$

$\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x\,\sqrt{x^2 - 1}}\vphantom{\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\dx}{(x - 1)^3}}$

У резервній системі з двох неоднакових компонентів нормальний робочий компонент А має частоту$\lambda_A > 0$ відмов за одиницю часу, тоді як компонент очікування B, який бере на себе, коли A виходить з ладу, має частоту відмов$\lambda_B > 0$ (з$\lambda_A \ne \lambda_B$).

1. Знайдіть надійність системи очікування$R(t)$ поза часом$t \ge 0$, де

    

    

   $$R(t) ~=~ \int_t^{\infty} \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} \left(e^{-\lambda_B x} ~-~ e^{-\lambda_A x}\right)~\dx ~.$$

    

2. Покажіть, що середній час відмови системи (MTTF)$m$, де$m = \int_0^{\infty} R(t)\,\dt~$, є$m = \frac{1}{\lambda_A} + \frac{1}{\lambda_B}$.

    

Покажіть, що для всіх$a > 0$,$~\displaystyle\int_{a}^{\infty}\,\frac{\dx}{x^p}~$ є конвергентним якщо$p > 1$, і розходиться якщо$0 < p \le 1$.

Покажіть, що для всіх$a > 0$,$~\displaystyle\int_{0}^{a}\,\frac{\dx}{x^p}~$ є конвергентним якщо$0 < p < 1$, і розходиться якщо$p \ge 1$.

2

Чи є$~\displaystyle\int_{1}^{\infty} \frac{\dx}{x + x^4}~$ конвергентним? Поясніть.

Чи є$~\displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{\dx}{x - \sqrt{x}}~$ конвергентним? Поясніть.

[1.] ]

Приклад

Приклад$\PageIndex{1}$: improper4

Додайте сюди текст.

Рішення

показав,$\int_0^{\infty}\sin x\,\dx$ що розходиться. Який недолік у аргументі, що інтеграл повинен бути 0, оскільки кожен «горб»$\sin x$ над$x$ віссю скасовується на одиницю нижче$x$ -осі?

Ця вправа стосується правила віднімання$\int_a^{\infty} (f(x) - g(x))\,\dx = \int_a^{\infty} f(x)\,\dx \;-\; \int_a^{\infty} g(x)\,\dx$.

1. Показувати це$\frac{1}{x (x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ для всіх$x$, крім 0 та -1

    

2. Покажіть, що$\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x (x+1)}$ є конвергентним.

    

3. Покажіть, що$\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x+1}$ обидва$\int_1^{\infty} \frac{\dx}{x}$ і розходяться.

    

4. Чи суперечить частина (c) частинам (a) - (b) і правилу віднімання? Поясніть.

    

Неправильний інтеграл$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,\dx = 1$ є одним з помітних «порушень» дельта-функції Дірака$\delta$. Один із способів думати про цей інтеграл - це наближення$\delta$ трикутними «імпульсними» функціями$D_n$ (для$n \ge 1$), як на малюнку праворуч.

1. Напишіть формулу для кожного$D_n(x)$ над усім$\Reals$.

    

2. Показати, що$\int_{-\infty}^{\infty} D_n(x)\,\dx = 1\,$ для всіх цілих чисел$n \ge 1$.

    

3. Покажіть, що$\lim_{n \to \infty} D_n(0) = \infty = \delta(0)$.

    

4. $D_n$Функції починають нагадувати$\delta$ як$n \to \infty$?