1.2: Похідно-лімітний підхід

Похідна: граничний підхід

Наступне визначення узагальнює приклад з попереднього розділу (щодо миттєвої швидкості) до загальної функції$f(x)$:

Для загальної функції$f(x)$ похідна$f'(x)$ являє собою миттєву швидкість зміни$f$ at$x$, тобто швидкість, з якою$f$ змінюється в «мить»$x$. Для граничної частини визначення наразі потрібно лише інтуїтивне уявлення про те, як взяти ліміт, як і в попередньому розділі. Зверніть увагу, що наведене вище визначення робить$f'$ саму похідну функцією змінної$x$. Функція$f'$ може бути оцінена за конкретними значеннями$x$, а можна написати її загальну формулу$f'(x)$.

(миттєва) швидкість об'єкта як похідної від положення об'єкта як функції часу є лише одним фізичним додатком похідних. Є багато інших прикладів:

Визначення межі може бути використано для знаходження похідних простих функцій.

Приклад$\PageIndex{1}$: derivconst

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну функції$f(x) = 1$.

Рішення: За визначенням,$f(x) = 1$ для всіх$x$, так:

\[\begin{aligned} f'(x) ~&=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)} {\Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ розрив {1 ~-~ 1} {\ Дельта х}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ гідророзриву {0} {\ Дельта х}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~0\

\ [4pt] f' (x) ~&=~ 0\ кінець {вирівняний}\]

Зверніть увагу в наведеному вище прикладі, що$\Delta x$ заміна на$0$ була непотрібною при прийнятті ліміту, оскільки співвідношення$\frac{f(x + \Delta x) ~-~ f(x)}{\Delta x}$ спрощено до 0, перш ніж приймати ліміт, а межа 0 дорівнює 0 незалежно від того, які$\Delta x$ підходи. Насправді відповідь, а саме$f'(x) = 0$ для всіх$x$ - повинна була бути очевидною без будь-яких розрахунків: функція$f(x) = 1$ є постійною функцією, тому її значення (1) ніколи не змінюється, і, таким чином, її швидкість зміни завжди дорівнює 0. Значить, його похідна всюди дорівнює 0. Заміна константи 1 на будь-яку постійну дає наступний важливий результат:

Вищенаведене обговорення показує, що розрахунок в прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: derivconst

Додайте сюди текст.

Рішення

був непотрібним. Розглянемо ще один приклад, де для пошуку похідної не потрібно обчислення: функцію$f(x) = x$. Графік цієї функції - це всього лише лінія$y = x$ в$xy$ -площині, а швидкість зміни прямої - константа, звана її нахилом. Лінія$y = x$ має нахил 1, тому похідна від$f(x) = x$ є$f'(x) = 1$ для всіх$x$. Формальний розрахунок похідної, хоч і непотрібної, підтверджує це:

$$f'(x) ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{(x + \Delta x) ~-~ x}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{\Delta x}{\Delta x} ~=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~1 ~=~ 1$$

Нагадаємо, що функція, граф якої є лінією, називається лінійною функцією. Для загальної лінійної функції$f(x) = mx + b$, де$m$ нахил прямої та$b$ її$y$ -перехоплення, той самий аргумент, що і вище для$f(x) = x$ дає наступний результат:

Функція$f(x) = 1$ з Приклад

Приклад$\PageIndex{1}$: derivconst

Додайте сюди текст.

Рішення

це особливий випадок, де$m = 0$ і$b = 1$; його графік є горизонтальною лінією, тому його нахил (а отже, і його похідна) дорівнює 0 для всіх$x$. Так само функція$f(x) = 2x - 1$ являє собою лінію нахилу$m = 2$, тому її похідна дорівнює 2 для всіх$x$. На малюнку [рис:derivlines] показані ці та інші лінійні функції$y=f(x)$.

Лінійні функції мають постійну похідну - постійна - це нахил лінії. Зворотне виявляється істинним: функція з постійною похідною повинна бути лінійною функцією. ¹¹ Які типи функцій не мають постійних похідних? У попередньому розділі розглядалася така функція: парабола$s(t) = -16t^2 + 100$, похідна якої явно не$s'(t) = -32t$ є постійною функцією. Загалом, функції, що представляють криві (тобто не прямі лінії), не змінюються з постійною швидкістю - саме це робить їх кривими. Так що такі функції не мають постійної похідної.

Знайдіть похідну функції$f(x) = \dfrac{1}{x}$. Також знайдіть миттєву швидкість зміни$f$ at$x=2$.

Рішення: Для всіх$x \ne 0$ похідною$f'(x)$ є:

\[\begin{aligned} f'(x) ~&=~ \lim_{\Delta x \to 0} ~\frac{f(x+\Delta x) ~-~ f(x)} {\Delta x}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ гідророзриву {~\ dfrac {1} {x +\ Дельта х} ~-~\ dfrac {1} {x} ~\ Delta x} ~\ frac {0} {0}\ quad\ text {, тому спростіть співвідношення перед підключенням $\ Delta x = 0$,}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ гідророзриву {~\ dfrac {x ~-~ (x +\ Delta x)} {(x +\ Delta x) x} ~} {\ Delta x}\ quad\ text {(після отримання спільного знаменника)}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ гідророзриву {-\ скасувати {\ Дельта х}} {\ скасувати {\ Дельта х} (x +\ Дельта х) х}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {\ Дельта х\ до 0} ~\ розрив {-1} {(x +\ Дельта х) х} ~=~\ гідророзриву {-1} {(x+0) x}\

\ [6pt] f' (x) ~&=~ -\ frac {1} {x^2}\ end {aligned}\] Миттєва швидкість зміни$f$ at$x=2$ є лише похідною$x=2$, що$f'(x)$ оцінюється на, тобто$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$.

Зверніть увагу, що миттєва швидкість зміни$f'(2) = -\frac{1}{4}$ в наведеному вище прикладі є негативним числом. Це має мати сенс, так як функція$f(x) = \frac{1}{x}$ змінюється в негативному напрямку на$x=2$; тобто$f(x)$ зменшується в значенні на$x=2$. Це зрозуміло з графіка,$f(x) = \frac{1}{x}$ показаного праворуч. Насправді, для всіх функція$x \ne 0$$f(x) = \frac{1}{x}$ зменшується у$x$ міру зростання. ¹² Це відображається в тому,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ що похідна є негативною для всіх$x \ne 0$. Взагалі, негативна похідна означає, що функція зменшується, тоді як позитивна похідна означає, що вона збільшується. Проблема використання визначення межі для пошуку похідної криволінійної функції полягає в тому, що розрахунки вимагають більшої роботи, як показує вищевказаний приклад. Оскільки функції ускладнюються, ці обчислення можуть стати важкими або навіть неможливими. І хоча межі ще не визначені формально, поки що інтуїтивно очевидного уявлення про межі вистачає, а саме:

Нижче наведено кілька простих правил лімітів, які будуть доведені пізніше:

Наведені вище правила говорять про те, що межа сум, різниць, постійних кратних, добутків і коефіцієнтів - це сума, різниця, постійна кратна, добуток і частка відповідно меж. Це здається інтуїтивно очевидним.

Ці правила можуть бути використані для пошуку інших виразів для похідної. Кількість$\Delta x$ являє собою невелике число - позитивне або негативне - яке наближається до 0, але в текстах математики зазвичай використовується$h$ замість цього буква: ¹³

$$\label{eqn:hderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h}}$$

Інша формулювання полягає$h=w-x$ у формулі ([eqn:hderivative]), яка дає

$$f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h} ~=~ \lim_{w-x \to 0} ~\frac{f(x + (w-x)) ~-~ f(x)}{w ~-~ x} ~,$$ так що

$$\label{eqn:wxderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{w \to x} ~\frac{f(w) ~-~ f(x)}{w ~-~ x}}$$ оскільки$w-x$ наближається 0 тоді і тільки тоді, коли$w$ підходи$x$. Інша рецептура$h$ замінює$-h$:

$$f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)}{h} ~=~ \lim_{-h \to 0} ~\frac{f(x + -h) ~-~ f(x)}{-h} ~=~ \lim_{-h \to 0} ~\frac{-\left(f(x) ~-~ f(x - h)\right)}{-h}~,$$ і таким чином

$$\label{eqn:neghderivative} \setlength{\fboxsep}{4pt}\boxed{f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x) ~-~ f(x-h)}{h}}$$ оскільки$-h$ наближається 0 тоді і тільки тоді, коли$h$ підходи$0$. Наведені вище склади не використовували Правила обмеження, але наступний результат робить:

Оскільки$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + h) ~-~ f(x)} {h} ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x) ~-~ f(x-h)}{h}$ за формулами ([eqn:hderivative]) і ([eqn:neghderivative]), то граничне правило (c) показує, що

$$\frac{1}{2}f'(x) ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x + h) ~-~ f(x)} {2h} ~=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x) ~-~ f(x-h)}{2h} ~.$$ Тепер скористаємося ідеєю, що$a - b = (a - c) + (c - b)$ для всіх$a$$b$, і$c$ написати:

\[\begin{aligned} \lim_{h \to 0} ~\frac{f(x+h) ~-~ f(x-h)}{2h} ~&=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{\left(f(x+h) ~-~ f(x)\right) ~+~ \left(f(x) ~-~ f(x-h)\right)}{2h}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {f (x+h) ~-~ f (x)} {2h} ~+~\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {f (x) ~-~ f (x-h)} {2h}\ quad\ text {(за граничним правилом (a))}\

\ [6pt] &=~\ розрив {1} {2}\ cdot f' (x) ~+~\ розрив {1} {2}\ cdot f' (x)\

\ [6pt] &=~ f '(x)\ кінець {вирівняний}\]

Як приклад використання цих різних формулювань, нагадаємо,$f$ що функція $f(-x) = f(x)$парна якщо для всіх$x$ в області$f$, і$f$ непарна, якщо$f(-x) = -f(x)$ для всіх$x$ у своїй області. Наприклад,,$x^2$$x^4$, і$\cos\,x$ є парними функціями;$x$,$x^3$, і$\sin\,x$ є непарними функціями. Часто корисний наступний результат:

Щоб довести перше твердження - друге є вправою - припустимо, що$f$ це парна функція і яка$f'(x)$ існує для всіх$x$ у своїй області. Тоді

\[\begin{aligned} {3} f'(-x) ~&=~ \lim_{h \to 0} ~\frac{f(-x + h) ~-~ f(-x)}{h} \qquad&&\text{by formula (\ref{eqn:hderivative}) with $x$ replaced by $-x$}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {f (- (x - h)) ~-~ f (-x)} {h} && {}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {f (x - h) ~-~ f (x)} {h} &&\ text {оскільки $f$ парний}\

\ [6pt] &=~\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {-\ ліворуч (f (x) ~-~ f (х)\ вправо)} {h} && {}\

\ [6pt] &=~ -\ lim_ {h\ to 0} ~\ frac {f (x) ~-~ f (x-h)} {h} &&\ text {за граничним правилом (c), так}\

\ [6pt] f' (-x) ~&=~ -f' (x) &&\ text {за формулою (\ ref {eqn:neghderivative}),}\ end {вирівняний}\] який показує, що$f'$ це непарна функція.

Похідні не завжди існують, як показує наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{1}$: absnondiff

Додайте сюди текст.

Рішення

Нехай$f(x) = \abs{x}$. Показати, що$f'(0)$ не існує.

Рішення: Нагадаємо, що функція абсолютного значення$f(x) = \abs{x}$ визначається як

$$f(x) ~=~ \abs{x} ~=~ \begin{cases} \phantom{~-}x & \text{if } x \ge 0\\ ~-x & \text{if } x < 0 \end{cases}$$ Графік складається з двох рядків, що зустрічаються біля початку. Для$x \ge 0$ графіка служить лінія$y = x$, яка має нахил 1. Для$x \le 0$ графіка - лінія$y = -x$, яка має нахил -1. Ці лінії згодні у значенні ($y=0$) at$x=0$, але їх нахили не узгоджуються за значенням при$x=0$. Тому похідна від$f$ не існує при$x=0$, оскільки похідна кривої - це лише її нахил. Більш «формальний» доказ (який дорівнює тому ж аргументу) викладено у вправах.

Якщо похідна$f'(x)$ існує,$f$ то диференційовна при$x$. Диференційована функція - це та, яка диференційована в кожній точці своєї області. Наприклад,$f(x) = x$ є диференційованою функцією, але$f(x) = \abs{x}$ не диференційована при$x=0$. Акт обчислення похідної називається диференціацією. Наприклад, диференціація функції$f(x) = x$ дає$f'(x) = 1$.

[сек. 1 дот2]

Примітка: Для всіх вправ ви можете використовувати все, що обговорювалося до цих пір (включаючи попередні вправи).

Для Вправ 1-11 знайдіть похідну заданої функції$f(x)$ для всіх$x$ (якщо не вказано інше).

4

$f(x) = 0$

$f(x) = 1 - 3x$

$f(x) = (x+1)^2$

$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$

3

$f(x) = \frac{1}{x+1}$, для всіх$x \ne -1$

$f(x) = \frac{-1}{x+1}$, для всіх$x \ne -1$

$f(x) = \frac{1}{x^2}$, для всіх$x \ne 0$

[exer:sqrtderiv]$f(x) = \sqrt{x}$, для всіх$x > 0~$ (Підказка: Раціоналізувати чисельник у визначенні похідної.)

3

$f(x) = \sqrt{x+1}$, для всіх$x > -1$

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

$f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 4}$

У Вправі [exer:sqrtderiv] точка$x=0$ була виключена при обчисленні$f'(x)$, хоча і$x=0$ знаходиться в області$f(x) = \sqrt{x}$. Чи можете ви пояснити, чому$x=0$ виключили? [1.] ]

Показати, що для всіх функцій,$f$ таких, що$f'(x)$ існує,$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{f(x) ~-~ f(w)}{x ~-~ w} ~$.

True або false: Якщо$f$ і$g$ є диференційованими функціями на інтервалі$(a,b)$ і$f(x) < g(x)$ для всіх$x$ в$(a,b)$, то$f'(x) < g'(x)$ для всіх$x$ в$(a,b)$. Якщо true, доведіть це; якщо помилково, наведіть контрприклад. Чи змінилася б ваша відповідь, якби обмеження$x$ to$(a,b)$ було знято, а замість цього$x$ використано все реальне?

Показати, що похідна непарної функції є парною функцією.

Для вправ [exer:altderivfirst] - [exer:altderivlast], припускаючи, що$f'(x)$ існує, довести задану формулу. [1.] ]

2

[exer: спочатку похідний]$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 2h) ~-~ f(x - 2h)}{4h} ~$

$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 3h) ~-~ f(x - 3h)}{6h} ~$

2

$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + 2h) ~-~ f(x - 3h)}{5h} ~$

$f'(x) ~=~ \displaystyle\lim_{h \to 0} ~\dfrac{f(x + ah) ~-~ f(x - bh)}{(a+b)h} ~\quad$($a,b>0$)

2

$\displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{w\,f(x) ~-~ x\,f(w)}{w ~-~ x} ~=~ f(x) ~-~ x\,f'(x)$

[exer: альт-похідний останній]$\displaystyle\lim_{w \to x} ~\dfrac{w^2\,f(x) ~-~ x^2\,f(w)}{w ~-~ x} ~=~ 2x\,f(x) ~-~ x^2\,f'(x)$

Показати,$f(x) = \abs{x}$ що не диференційовно на$x=0$, використовуючи формулу ([eqn:hderivative]) для похідної. Тут вам доведеться використовувати частину визначення, яка ще не використовувалася: як$h$ наближається до 0,$h$ може бути як позитивним, так і негативним. Розглянемо ці два випадки, показуючи, що межа не визначена на$x=0$.

Припустимо, що$f(a+b) = f(a)f(b)$ для всіх$a$ і$b$, і$f'(0)$ існує. Показати, що$f'(x)$ існує для всіх$x$.