1.5: Правило ланцюга
Правило ланцюга
З того, що обговорювалося до цих пір, може бути спокусливо думати, що похідна функції, якsin2x простоcos2x, оскільки похідна відsinx єcosx. Виявляється, що не правильно:
\[\begin{aligned} \ddx\,(\sin\,2x) ~&=~ \ddx\,(2\;\sin\,x\;\cos\,x) \quad\text{(by the double-angle formula for sine)}\
\ [4pt] &=~ 2\;\ ddx\, (\ sin\, x\;\ cos\, x)\ quad\ text {(за правилом постійної множини)}\
\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot\ ddx\, (\ cos\, x) ~+~\ cos\, x\ cdot\ ddx\, (\ sin\, x)\ право)\ quad\ text {(за Правилом продукту)}\
\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot (-\ sin\, x) ~+~\ cos\, х\ cdot\ cos\, х\ праворуч)\
\ [4pt] &= ~ 2\;\ ліворуч (\ cos^2 х ~ ~\ sin^2 х\ праворуч)\
\ [4pt] &=~ 2\;\ cos\ 2x\ quad\ text {(за двокутовою формулою для косинуса)}\ end {вирівняний}\] Отже похіднаsin2x є2cos2x, ніcos2x.
Іншими словами, ви не можете просто замінитиx на2x в похідній формулі дляsinx. Замість цьогоsin2x розгляньте як склад двох функцій: синусоїдальну функцію і2x функцію. Тобто нехайf(u)=sinu, деu сама змінна являє собою функцію іншої змінноїx, а самеu(x)=2x. Так якf це функціяu, іu є функцієюx, тоf є функціяx, а саме:f(x)=sin2x. Оскількиf єu диференційованою функцією іu є диференційованою функцієюx, то\dfdu і\dudx обидва існують (з\dfdu=cosu і\dudx=2), і множення похідних показує, щоf це диференційовна функціяx:
\[\begin{aligned} \frac{\df}{\cancel{\du}} \cdot \frac{\cancel{\du}}{\dx} ~&=~ \dfdx \quad\text{since the infinitesimals $\du$ cancel, so}\
\ [4pt] (\ cos\, u)\ cdot 2 ~&=~\ dfdx\ quad\ Rightarrow\ quad\ dfdx ~=~ 2\;\ cos\;\ cos\ ,2x\ end {вирівняний}\] Вищевказаний аргумент тримається загалом і відомий як правило ланцюга: Зверніть увагу, наскільки простим є доказ - нескінченність\du скасувати. 24
Правило ланцюга повинно мати сенс інтуїтивно. Наприклад, якщо\dfdu=4 тодіf це означає, що збільшується в 4 рази так швидкоu, як і якщо\dudx=3 потімu збільшується в 3 рази швидшеx, так що в ціломуf повинно збільшуватися12=4⋅3 раз так швидкоx, як говорить Правило ланцюга.
Приклад1.5.1: sinx2pxp1deriv
Додайте сюди текст.
Рішення
Рішення: Ідея полягає в тому, щоб зробити замінуu=x2+x+1 такf(x)=sinu. За правилом ланцюга,
\[\begin{aligned} \dfdx ~&=~ \dfdu \cdot \dudx\
\ [4pt] &=~\ ddu\, (\ sin\, u)\;\ cdot\;\ ddx\, (x^2+ x + 1)\
\ [4pt] &=~ (\ cos\, u)\ точка (2х+ 1)\
\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2 + x + 1)\ end {aligned}\] після заміни його визначенням як функціїu на останньому кроці; остаточна відповідь для похідної повинна бути в термініx, а неu.x
У Правилі ланцюга ви можете думати про функцію, про яку йде мова, як склад «зовнішньої» функціїf та «внутрішньої» функціїu; спочатку візьміть похідну від «зовнішньої» функції, а потім помножте на похідну від «внутрішньої» функції. Подумайте про «внутрішню» функцію як коробку, в яку ви можете помістити будь-яку функціюx, а «зовнішня» функція є функцією цієї порожньої коробки.
Наприклад, для функціїf(x)=sin(x2+x+1) в попередньому прикладі подумайте про «зовнішню» функцію якsin◻, де◻=x2+x+1 є «внутрішня» функція, так що
\[\begin{aligned} f(x) ~&=~ \sin\,(x^2 + x + 1)\\ &=~ \sin\,\Box\\ \dfdx ~&=~ \left(\cos\,\Box\right) \;\cdot\; \ddx\,\Box\
\ [4pt] &= ~\ ліворуч (\ cos\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x^2 + x + 1}\ праворуч)\;\ ddx\;\ ddx\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x ^ 2+ x + 1}\
\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2+ x + 1)\ кінець {вирівняний}\]
Приклад1.5.1: chainrulepow
Додайте сюди текст.
Рішення
Рішення: Тут «зовнішня» функція є,f(◻)=◻10 а «внутрішня» функція◻=u=2x4−3cosx:
\dfdx = \dfdu⋅\dudx = 10◻9⋅\ddx(◻) = 10(2x4−3cosx)9(8x3+3sinx)
Нагадаємо, щоf∘g склад двох функційf іg визначається як(f∘g)(x)=f(g(x)). Використовуючи прості позначення, правило ланцюга можна записати як:
Використовуючи правило ланцюга, Power Rule може бути розширено, щоб включити експоненти, які є раціональними числами: 25 Щоб довести це, нехайr=m/n, деm іn є цілими числами зn≠0. Потімy=xr=xm/n=(xm)1/n, так щоyn=xm. Беручи похідну відносноx обох сторін цього рівняння, дає
\[\begin{aligned} \ddx\,\left(y^n\right) ~&=~ \ddx\,\left(x^m\right) \quad\text{, so evaluating the left side by the Chain Rule gives}\
\ [4pt] n y^ {n-1}\;\ cdot\;\ dydx ~&=~ м x^ {м-1}\
\ [4pt] n\ ліворуч (x^ {м/n}\ праворуч) ^ {n-1}\;\ ddot\;\ dydx ~&= ~ м x ^ {м-1}\
\ [4pt]\ dydx ~&=~\ розрив {м х ^ {м-1}} {n x^ {м - (м/п)}} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {м - 1 - (м/п))} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {(м/п) - 1} ~=~ r\, x^ {r-1}\ quad\ галочка\ кінець {вирівняний}\]
Приклад1.5.1: derivsqrtx
Додайте сюди текст.
Рішення
Рішення: З тих√x=x1/2 пір Правилом влади:
\dfdx = \ddx(x1/2) = 12x1/2−1 = 12x−1/2 = 12√x
Приклад1.5.1: deriv1oversqrtx
Додайте сюди текст.
Рішення
\dfdx = \ddx(23x−1/2) = 23⋅−12x−3/2 = −13x3/2
[сек. 1 крапку 5]
Для Вправ 1-18 знайдіть похідну заданої функції.
2
f(x) = (1 − 5x)4
f(x) = 5(x3 + x − 1)4
2
\(f(x) ~=~ \sqrt{1 ~-~ 2x}\vphantom
Callstack:
at (Математика/розрахунку/Книга:_Елементарне_обчислення_(Corral)/01:_Похідне/1.05:_Правило_ланцюга), /content/body/div/p[87]/span/span, line 1, column 5
f(x) = (1 − x2)32
2
f(x) = √xx + 1
f(x) = √x + 1√x − 1
2
f(t) = (1 − t1 + t)4(x2 + 1x − 1)6
f(x) = (x2 + 1x − 1)6
2
f(x) = sin2x
f(x) = cos(√x)
2
f(x) = 3tan(5x)
f(x) = Acos(ωx + ϕ)(A,ω,ϕ є константами)
2
f(x) = sec(x2)(11−x)
f(x) = sin2(11−x) + cos2(11−x)
2
L(β) = 1√1 − β2(1 + (x−ls)2)−1
f(x) = 1πs(1 + (x−ls)2)−1(s,l є константами)
2
f(x) = cos(cosx)
f(x) = √1 + √x
[1.] ]
У певному типі електронної схеми 26 загальний коефіцієнт посиленняAv задається
Av = Ao1 − Tде посилення петліT - це функція посилення розімкнутого контуруAo.
- Покажіть, що
dAvdAo = 11 − T − Ao(1 − T)2d(1−T)dAo .
- У випадку, колиT це прямо пропорційноAo, використовуйте частину (a), щоб показати, що
dAvdAo = 1(1 − T)2 .(Підказка: Спочатку покажіть цеAo⋅d(1−T)dAo = −T.)
Показати, що правило ланцюга може бути розширено до 3 функцій: якщоu є диференційовною функцієюx,v є диференційовною функцією іf є диференційовною функцієюv, тоu
\dfdx = \dfdv⋅\dvdu⋅\dudxтакf що диференційована функціяx. Зверніть увагу, що 3 похідні пов'язані між собою, як в ланцюжку (звідси і назва правила). Правило ланцюга може бути розширено на будь-яку кінцеву кількість функцій за допомогою вищевказаної техніки.
У двигуні внутрішнього згоряння, коли поршень рухається вниз, шатун обертає кривошип за годинниковою стрілкою, як показано на малюнку [рис:кривошип] нижче. 27
ТочкаA може рухатися лише вертикально, змушуючи точкуB рухатися навколо кола радіуса,a центрованого в точціO, яка знаходиться безпосередньо під точкоюA і не рухається. У міру обертання кривошипа він робить кутθ з лінією¯OA. Нехайl=AB іs=OA як на картинці. Припустимо, що всі довжини вимірюються в сантиметрах, іt нехай змінна часу вимірюється в хвилинах.
- Покажіть, щоs = acosθ + (l2 − a2sin2θ)1/2 для0≤θ≤π.
- Середня частота обертання поршня -L=2a цеˉSp=2LN, де хід поршня, іN - швидкість обертання кривошипа, вимірюється в оборотах в хвилину (об/хв). Миттєва швидкість поршня дорівнюєSp=\dsdt. НехайR=l/a. Покажіть, що для0≤θ≤π,
\ABSSpˉSp = π2sinθ[1 + cosθ(R2−sin2θ)1/2] .