1.5: Правило ланцюга

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60328

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Правило ланцюга

З того, що обговорювалося до цих пір, може бути спокусливо думати, що похідна функції, як$\sin\,2x$ просто$\cos\,2x$, оскільки похідна від$\sin\,x$ є$\cos\,x$. Виявляється, що не правильно:

\[\begin{aligned} \ddx\,(\sin\,2x) ~&=~ \ddx\,(2\;\sin\,x\;\cos\,x) \quad\text{(by the double-angle formula for sine)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ ddx\, (\ sin\, x\;\ cos\, x)\ quad\ text {(за правилом постійної множини)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot\ ddx\, (\ cos\, x) ~+~\ cos\, x\ cdot\ ddx\, (\ sin\, x)\ право)\ quad\ text {(за Правилом продукту)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot (-\ sin\, x) ~+~\ cos\, х\ cdot\ cos\, х\ праворуч)\

\ [4pt] &= ~ 2\;\ ліворуч (\ cos^2 х ~ ~\ sin^2 х\ праворуч)\

\ [4pt] &=~ 2\;\ cos\ 2x\ quad\ text {(за двокутовою формулою для косинуса)}\ end {вирівняний}\] Отже похідна$\sin\,2x$ є$2\,\cos\,2x$, ні$\cos\,2x$.

Іншими словами, ви не можете просто замінити$x$ на$2x$ в похідній формулі для$\sin\,x$. Замість цього$\sin\,2x$ розгляньте як склад двох функцій: синусоїдальну функцію і$2x$ функцію. Тобто нехай$f(u) = \sin\,u$, де$u$ сама змінна являє собою функцію іншої змінної$x$, а саме$u(x) = 2x$. Так як$f$ це функція$u$, і$u$ є функцією$x$, то$f$ є функція$x$, а саме:$f(x) = \sin\,2x$. Оскільки$f$ є$u$ диференційованою функцією і$u$ є диференційованою функцією$x$, то$\dfdu$ і$\dudx$ обидва існують (з$\dfdu = \cos\,u$ і$\dudx = 2$), і множення похідних показує, що$f$ це диференційовна функція$x$:

\[\begin{aligned} \frac{\df}{\cancel{\du}} \cdot \frac{\cancel{\du}}{\dx} ~&=~ \dfdx \quad\text{since the infinitesimals $\du$ cancel, so}\

\ [4pt] (\ cos\, u)\ cdot 2 ~&=~\ dfdx\ quad\ Rightarrow\ quad\ dfdx ~=~ 2\;\ cos\;\ cos\ ,2x\ end {вирівняний}\] Вищевказаний аргумент тримається загалом і відомий як правило ланцюга: Зверніть увагу, наскільки простим є доказ - нескінченність$\du$ скасувати. ²⁴

Правило ланцюга повинно мати сенс інтуїтивно. Наприклад, якщо$\dfdu = 4$ тоді$f$ це означає, що збільшується в 4 рази так швидко$u$, як і якщо$\dudx = 3$ потім$u$ збільшується в 3 рази швидше$x$, так що в цілому$f$ повинно збільшуватися$12 = 4 \cdot 3$ раз так швидко$x$, як говорить Правило ланцюга.

Приклад$\PageIndex{1}$: sinx2pxp1deriv

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну від$f(x) = \sin\,(x^2 + x + 1)$.

Рішення: Ідея полягає в тому, щоб зробити заміну$u = x^2 + x + 1$ так$f(x) = \sin\,u$. За правилом ланцюга,

\[\begin{aligned} \dfdx ~&=~ \dfdu \cdot \dudx\

\ [4pt] &=~\ ddu\, (\ sin\, u)\;\ cdot\;\ ddx\, (x^2+ x + 1)\

\ [4pt] &=~ (\ cos\, u)\ точка (2х+ 1)\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2 + x + 1)\ end {aligned}\] після заміни його визначенням як функції$u$ на останньому кроці; остаточна відповідь для похідної повинна бути в терміні$x$, а не$u$.$x$

У Правилі ланцюга ви можете думати про функцію, про яку йде мова, як склад «зовнішньої» функції$f$ та «внутрішньої» функції$u$; спочатку візьміть похідну від «зовнішньої» функції, а потім помножте на похідну від «внутрішньої» функції. Подумайте про «внутрішню» функцію як коробку, в яку ви можете помістити будь-яку функцію$x$, а «зовнішня» функція є функцією цієї порожньої коробки.

Наприклад, для функції$f(x) = \sin\,(x^2 + x + 1)$ в попередньому прикладі подумайте про «зовнішню» функцію як$\sin\,\Box$, де$\Box = x^2 + x + 1$ є «внутрішня» функція, так що

\[\begin{aligned} f(x) ~&=~ \sin\,(x^2 + x + 1)\\ &=~ \sin\,\Box\\ \dfdx ~&=~ \left(\cos\,\Box\right) \;\cdot\; \ddx\,\Box\

\ [4pt] &= ~\ ліворуч (\ cos\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x^2 + x + 1}\ праворуч)\;\ ddx\;\ ddx\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x ^ 2+ x + 1}\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2+ x + 1)\ кінець {вирівняний}\]

Приклад$\PageIndex{1}$: chainrulepow

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну від$f(x) = (2x^4 - 3\cos\,x)^{10}$.

Рішення: Тут «зовнішня» функція є,$f(\Box) = \Box^{10}$ а «внутрішня» функція$\Box = u = 2x^4 - 3\cos\,x$:

\[\dfdx ~=~ \dfdu \cdot \dudx ~=~ 10\,\Box^9 \;\cdot\; \ddx\,(\Box) ~=~ 10\,(2x^4 - 3\cos\,x)^9 \;(8x^3 + 3\sin\,x)\]

Нагадаємо, що$f \circ g$ склад двох функцій$f$ і$g$ визначається як$(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Використовуючи прості позначення, правило ланцюга можна записати як:

Використовуючи правило ланцюга, Power Rule може бути розширено, щоб включити експоненти, які є раціональними числами: ²⁵ Щоб довести це, нехай$r = m/n$, де$m$ і$n$ є цілими числами з$n \ne 0$. Потім$y = x^r = x^{m/n} = \left(x^m\right)^{1/n}$, так що$y^n = x^m$. Беручи похідну відносно$x$ обох сторін цього рівняння, дає

\[\begin{aligned} \ddx\,\left(y^n\right) ~&=~ \ddx\,\left(x^m\right) \quad\text{, so evaluating the left side by the Chain Rule gives}\

\ [4pt] n y^ {n-1}\;\ cdot\;\ dydx ~&=~ м x^ {м-1}\

\ [4pt] n\ ліворуч (x^ {м/n}\ праворуч) ^ {n-1}\;\ ddot\;\ dydx ~&= ~ м x ^ {м-1}\

\ [4pt]\ dydx ~&=~\ розрив {м х ^ {м-1}} {n x^ {м - (м/п)}} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {м - 1 - (м/п))} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {(м/п) - 1} ~=~ r\, x^ {r-1}\ quad\ галочка\ кінець {вирівняний}\]

Приклад$\PageIndex{1}$: derivsqrtx

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну від$f(x) = \sqrt{x}$.

Рішення: З тих$\sqrt{x} = x^{1/2}$ пір Правилом влади:

\[\dfdx ~=~ \ddx\,\left(x^{1/2}\right) ~=~ \frac{1}{2}\,x^{1/2 - 1} ~=~ \frac{1}{2}\,x^{-1/2} ~=~ \frac{1}{2\,\sqrt{x}}\]

Приклад$\PageIndex{1}$: deriv1oversqrtx

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну від$f(x) = \frac{2}{3\sqrt{x}}$.

\[\dfdx ~=~ \ddx\,\left(\frac{2}{3}\,x^{-1/2}\right) ~=~ \frac{2}{3} \cdot \frac{-1}{2}\,x^{-3/2} ~=~ -\frac{1}{3\,x^{3/2}}\]

[сек. 1 крапку 5]

Для Вправ 1-18 знайдіть похідну заданої функції.

$f(x) ~=~ (1 ~-~ 5x)^4$

$f(x) ~=~ 5\,(x^3 ~+~ x ~-~ 1)^4$

\(f(x) ~=~ \sqrt{1 ~-~ 2x}\vphantom

ParseError: ")" expected (click for details)

Callstack:
    at (Математика/розрахунку/Книга:_Елементарне_обчислення_(Corral)/01:_Похідне/1.05:_Правило_ланцюга), /content/body/div/p[87]/span/span, line 1, column 5

$f(x) ~=~ (1 ~-~ x^2 )^{\tfrac{3}{2}}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sqrt{x}}{x ~+~ 1}$

$f(x) ~=~ \dfrac{\sqrt{x} ~+~ 1}{\sqrt{x} ~-~ 1}$

$f(t) ~=~ \left(\dfrac{1 ~-~ t}{1 ~+~ t}\right)^4\vphantom{\left(\dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1}\right)^6}$

$f(x) ~=~ \left(\dfrac{x^2 ~+~ 1}{x ~-~ 1}\right)^6$

$f(x) ~=~ \sin^2 x$

$f(x) ~=~ \cos\,\left(\sqrt{x}\right)$

$f(x) ~=~ 3 \tan\,(5x)$

$f(x) ~=~ A\,\cos\,(\omega x ~+~ \phi)$($A$,$\omega$,$\phi$ є константами)

$f(x) ~=~ \sec\,(x^2)\vphantom{\left(\dfrac{1}{1 - x}\right)}$

$f(x) ~=~ \sin^2 \left(\dfrac{1}{1 - x}\right) ~+~ \cos^2 \left(\dfrac{1}{1 - x}\right)$

$L(\beta) ~=~ \dfrac{1}{\sqrt{1 ~-~ \beta^2}}\vphantom{\left(1 ~+~ \left(\dfrac{x - l}{s}\right)^2\right)^{-1}}$

$f(x) ~=~ \dfrac{1}{\pi s}\left(1 ~+~ \left(\dfrac{x - l}{s}\right)^2\right)^{-1}$($s$,$l$ є константами)

$f(x) ~=~ \cos\,(\cos\,x)$

$f(x) ~=~ \sqrt{1 ~+~ \sqrt{x}}$

[1.] ]

У певному типі електронної схеми ²⁶ загальний коефіцієнт посилення$A_v$ задається

\[A_v ~=~ \frac{A_o}{1 ~-~ T}\]де посилення петлі$T$ - це функція посилення розімкнутого контуру$A_o$.

Покажіть, що
\[\frac{d \negmedspace A_v}{d\!A_o} ~=~ \frac{1}{1 ~-~ T} ~-~ \frac{A_o}{(1 ~-~ T)^2} \frac{d \negmedspace (1 - T)}{d\!A_o} ~.\]
У випадку, коли$T$ це прямо пропорційно$A_o$, використовуйте частину (a), щоб показати, що
\[\frac{d \negmedspace A_v}{d\!A_o} ~=~ \frac{1}{(1 ~-~ T)^2} ~.\](Підказка: Спочатку покажіть це$\;A_o \cdot \frac{d \negmedspace (1 - T)}{d\!A_o} ~=~ -T$.)

Показати, що правило ланцюга може бути розширено до 3 функцій: якщо$u$ є диференційовною функцією$x$,$v$ є диференційовною функцією і$f$ є диференційовною функцією$v$, то$u$

\[\dfdx ~=~ \dfdv \;\cdot\; \dvdu \;\cdot\; \dudx\]так$f$ що диференційована функція$x$. Зверніть увагу, що 3 похідні пов'язані між собою, як в ланцюжку (звідси і назва правила). Правило ланцюга може бути розширено на будь-яку кінцеву кількість функцій за допомогою вищевказаної техніки.

У двигуні внутрішнього згоряння, коли поршень рухається вниз, шатун обертає кривошип за годинниковою стрілкою, як показано на малюнку [рис:кривошип] нижче. ²⁷

Точка$A$ може рухатися лише вертикально, змушуючи точку$B$ рухатися навколо кола радіуса,$a$ центрованого в точці$O$, яка знаходиться безпосередньо під точкою$A$ і не рухається. У міру обертання кривошипа він робить кут$\theta$ з лінією$\overline{OA}$. Нехай$l = AB$ і$s = OA$ як на картинці. Припустимо, що всі довжини вимірюються в сантиметрах, і$t$ нехай змінна часу вимірюється в хвилинах.

Покажіть, що$s ~=~ a \cos\,\theta ~+~ \left(l^2 ~-~ a^2 \sin^2\theta\right)^{1/2}~$ для$0 \le \theta \le \pi$.
Середня частота обертання поршня -$L = 2a$ це$\bar{S}_p = 2LN$, де хід поршня, і$N$ - швидкість обертання кривошипа, вимірюється в оборотах в хвилину (об/хв). Миттєва швидкість поршня дорівнює$S_p = \dsdt$. Нехай$R = l/a$. Покажіть, що для$0 \le \theta \le \pi$,
\[\ABS{\frac{S_p}{\bar{S}_p}} ~=~ \frac{\pi}{2}\,\sin\,\theta \left[1 ~+~ \frac{\cos\,\theta}{\left(R^2 - \sin^2\theta\right)^{1/2}}\right] ~~.\]