Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5: Правило ланцюга

Правило ланцюга

З того, що обговорювалося до цих пір, може бути спокусливо думати, що похідна функції, якsin2x простоcos2x, оскільки похідна відsinx єcosx. Виявляється, що не правильно:

\[\begin{aligned} \ddx\,(\sin\,2x) ~&=~ \ddx\,(2\;\sin\,x\;\cos\,x) \quad\text{(by the double-angle formula for sine)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ ddx\, (\ sin\, x\;\ cos\, x)\ quad\ text {(за правилом постійної множини)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot\ ddx\, (\ cos\, x) ~+~\ cos\, x\ cdot\ ddx\, (\ sin\, x)\ право)\ quad\ text {(за Правилом продукту)}\

\ [4pt] &=~ 2\;\ вліво (\ sin\, x\ cdot (-\ sin\, x) ~+~\ cos\, х\ cdot\ cos\, х\ праворуч)\

\ [4pt] &= ~ 2\;\ ліворуч (\ cos^2 х ~ ~\ sin^2 х\ праворуч)\

\ [4pt] &=~ 2\;\ cos\ 2x\ quad\ text {(за двокутовою формулою для косинуса)}\ end {вирівняний}\] Отже похіднаsin2x є2cos2x, ніcos2x.

Іншими словами, ви не можете просто замінитиx на2x в похідній формулі дляsinx. Замість цьогоsin2x розгляньте як склад двох функцій: синусоїдальну функцію і2x функцію. Тобто нехайf(u)=sinu, деu сама змінна являє собою функцію іншої змінноїx, а самеu(x)=2x. Так якf це функціяu, іu є функцієюx, тоf є функціяx, а саме:f(x)=sin2x. Оскількиf єu диференційованою функцією іu є диференційованою функцієюx, то\dfdu і\dudx обидва існують (з\dfdu=cosu і\dudx=2), і множення похідних показує, щоf це диференційовна функціяx:

\[\begin{aligned} \frac{\df}{\cancel{\du}} \cdot \frac{\cancel{\du}}{\dx} ~&=~ \dfdx \quad\text{since the infinitesimals $\du$ cancel, so}\

\ [4pt] (\ cos\, u)\ cdot 2 ~&=~\ dfdx\ quad\ Rightarrow\ quad\ dfdx ~=~ 2\;\ cos\;\ cos\ ,2x\ end {вирівняний}\] Вищевказаний аргумент тримається загалом і відомий як правило ланцюга: Зверніть увагу, наскільки простим є доказ - нескінченність\du скасувати. 24

Правило ланцюга повинно мати сенс інтуїтивно. Наприклад, якщо\dfdu=4 тодіf це означає, що збільшується в 4 рази так швидкоu, як і якщо\dudx=3 потімu збільшується в 3 рази швидшеx, так що в ціломуf повинно збільшуватися12=43 раз так швидкоx, як говорить Правило ланцюга.

Приклад1.5.1: sinx2pxp1deriv

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну відf(x)=sin(x2+x+1).

Рішення: Ідея полягає в тому, щоб зробити замінуu=x2+x+1 такf(x)=sinu. За правилом ланцюга,

\[\begin{aligned} \dfdx ~&=~ \dfdu \cdot \dudx\

\ [4pt] &=~\ ddu\, (\ sin\, u)\;\ cdot\;\ ddx\, (x^2+ x + 1)\

\ [4pt] &=~ (\ cos\, u)\ точка (2х+ 1)\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2 + x + 1)\ end {aligned}\] після заміни його визначенням як функціїu на останньому кроці; остаточна відповідь для похідної повинна бути в термініx, а неu.x

У Правилі ланцюга ви можете думати про функцію, про яку йде мова, як склад «зовнішньої» функціїf та «внутрішньої» функціїu; спочатку візьміть похідну від «зовнішньої» функції, а потім помножте на похідну від «внутрішньої» функції. Подумайте про «внутрішню» функцію як коробку, в яку ви можете помістити будь-яку функціюx, а «зовнішня» функція є функцією цієї порожньої коробки.

Наприклад, для функціїf(x)=sin(x2+x+1) в попередньому прикладі подумайте про «зовнішню» функцію якsin, де=x2+x+1 є «внутрішня» функція, так що

\[\begin{aligned} f(x) ~&=~ \sin\,(x^2 + x + 1)\\ &=~ \sin\,\Box\\ \dfdx ~&=~ \left(\cos\,\Box\right) \;\cdot\; \ddx\,\Box\

\ [4pt] &= ~\ ліворуч (\ cos\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x^2 + x + 1}\ праворуч)\;\ ddx\;\ ddx\,\ setlength {\ fboxsep} {2pt}\ в коробці {x ^ 2+ x + 1}\

\ [4pt] &=~ (2x + 1)\,\ cos\, (x^2+ x + 1)\ кінець {вирівняний}\]

Приклад1.5.1: chainrulepow

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну відf(x)=(2x43cosx)10.

Рішення: Тут «зовнішня» функція є,f()=10 а «внутрішня» функція=u=2x43cosx:

\dfdx = \dfdu\dudx = 109\ddx() = 10(2x43cosx)9(8x3+3sinx)

Нагадаємо, щоfg склад двох функційf іg визначається як(fg)(x)=f(g(x)). Використовуючи прості позначення, правило ланцюга можна записати як:

Використовуючи правило ланцюга, Power Rule може бути розширено, щоб включити експоненти, які є раціональними числами: 25 Щоб довести це, нехайr=m/n, деm іn є цілими числами зn0. Потімy=xr=xm/n=(xm)1/n, так щоyn=xm. Беручи похідну відносноx обох сторін цього рівняння, дає

\[\begin{aligned} \ddx\,\left(y^n\right) ~&=~ \ddx\,\left(x^m\right) \quad\text{, so evaluating the left side by the Chain Rule gives}\

\ [4pt] n y^ {n-1}\;\ cdot\;\ dydx ~&=~ м x^ {м-1}\

\ [4pt] n\ ліворуч (x^ {м/n}\ праворуч) ^ {n-1}\;\ ddot\;\ dydx ~&= ~ м x ^ {м-1}\

\ [4pt]\ dydx ~&=~\ розрив {м х ^ {м-1}} {n x^ {м - (м/п)}} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {м - 1 - (м/п))} ~=~\ розрив {м} {n}\, x^ {(м/п) - 1} ~=~ r\, x^ {r-1}\ quad\ галочка\ кінець {вирівняний}\]

Приклад1.5.1: derivsqrtx

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну відf(x)=x.

Рішення: З тихx=x1/2 пір Правилом влади:

\dfdx = \ddx(x1/2) = 12x1/21 = 12x1/2 = 12x

Приклад1.5.1: deriv1oversqrtx

Додайте сюди текст.

Рішення

Знайдіть похідну відf(x)=23x.

\dfdx = \ddx(23x1/2) = 2312x3/2 = 13x3/2

[сек. 1 крапку 5]

Для Вправ 1-18 знайдіть похідну заданої функції.

2

f(x) = (1  5x)4

f(x) = 5(x3 + x  1)4

2

\(f(x) ~=~ \sqrt{1 ~-~ 2x}\vphantom

ParseError: ")" expected (click for details)
Callstack:
    at (Математика/розрахунку/Книга:_Елементарне_обчислення_(Corral)/01:_Похідне/1.05:_Правило_ланцюга), /content/body/div/p[87]/span/span, line 1, column 5
\)

f(x) = (1  x2)32

2

f(x) = xx + 1

f(x) = x + 1x  1

2

f(t) = (1  t1 + t)4(x2 + 1x  1)6

f(x) = (x2 + 1x  1)6

2

f(x) = sin2x

f(x) = cos(x)

2

f(x) = 3tan(5x)

f(x) = Acos(ωx + ϕ)(A,ω,ϕ є константами)

2

f(x) = sec(x2)(11x)

f(x) = sin2(11x) + cos2(11x)

2

L(β) = 11  β2(1 + (xls)2)1

f(x) = 1πs(1 + (xls)2)1(s,l є константами)

2

f(x) = cos(cosx)

f(x) = 1 + x

[1.] ]

У певному типі електронної схеми 26 загальний коефіцієнт посиленняAv задається

Av = Ao1  Tде посилення петліT - це функція посилення розімкнутого контуруAo.

  1. Покажіть, що

    dAvdAo = 11  T  Ao(1  T)2d(1T)dAo .

  2. У випадку, колиT це прямо пропорційноAo, використовуйте частину (a), щоб показати, що

    dAvdAo = 1(1  T)2 .(Підказка: Спочатку покажіть цеAod(1T)dAo = T.)

Показати, що правило ланцюга може бути розширено до 3 функцій: якщоu є диференційовною функцієюx,v є диференційовною функцією іf є диференційовною функцієюv, тоu

\dfdx = \dfdv\dvdu\dudxтакf що диференційована функціяx. Зверніть увагу, що 3 похідні пов'язані між собою, як в ланцюжку (звідси і назва правила). Правило ланцюга може бути розширено на будь-яку кінцеву кількість функцій за допомогою вищевказаної техніки.

У двигуні внутрішнього згоряння, коли поршень рухається вниз, шатун обертає кривошип за годинниковою стрілкою, як показано на малюнку [рис:кривошип] нижче. 27

ТочкаA може рухатися лише вертикально, змушуючи точкуB рухатися навколо кола радіуса,a центрованого в точціO, яка знаходиться безпосередньо під точкоюA і не рухається. У міру обертання кривошипа він робить кутθ з лінією¯OA. Нехайl=AB іs=OA як на картинці. Припустимо, що всі довжини вимірюються в сантиметрах, іt нехай змінна часу вимірюється в хвилинах.

  1. Покажіть, щоs = acosθ + (l2  a2sin2θ)1/2  для0θπ.

  2. Середня частота обертання поршня -L=2a цеˉSp=2LN, де хід поршня, іN - швидкість обертання кривошипа, вимірюється в оборотах в хвилину (об/хв). Миттєва швидкість поршня дорівнюєSp=\dsdt. НехайR=l/a. Покажіть, що для0θπ,

    \ABSSpˉSp = π2sinθ[1 + cosθ(R2sin2θ)1/2]  .