1.6: Похідні

вищого порядку $f'(x)$ Похідні вищого порядку Похідна диференційованої функції$f(x)$ можна розглядати як функцію самостійно, а якщо вона диференційовна, то її похідна - позначається$f''(x)$ —це друга похідна від$f(x)$ (перша похідна істота$f'(x)$). Так само похідне від$f''(x)$ було б третьою похідною від$f(x)$, написаної як$f'''(x)$. Продовжуючи подібне, дає четверту похідну, п'яту похідну і так далі. Загалом$\bm{n}$ -е похідне$f(x)$ виходить шляхом диференціювання$f(x)$ в цілому$n$ разів. Похідні за межами першого називаються похідними вищого порядку. Для$f(x) = 3x^4$ знахідки$f''(x)$ і$f'''(x)$. Рішення: З тих$f'(x) = 12x^3$ пір друга похідна$f''(x)$ є похідною від$12x^3$, а саме:

$$f''(x) ~=~ 36x^2$$ Третя похідна тоді$f'''(x)$ є похідною від$36x^2$, а саме:

$$f'''(x) ~=~ 72x$$ Оскільки прості позначення для похідних вищого порядку можуть бути громіздкими (наприклад, написання 50 простих знаків для п'ятдесятої похідної), були створені інші позначення: Зверніть увагу, що дужки навколо$n$ в позначенні$f^{(n)}(x)$ вказують на те, що$n$ це не експонент—це кількість похідних, які потрібно взяти. $n$Позначення Лейбніца$\frac{d^ny}{\dx^n}$ вказує на те ж саме, і в цілому полегшує роботу з похідними вищого порядку:

\[\begin{aligned} \frac{d^2y}{\dx^2} ~&=~ \ddx\,\left(\dydx\right)\

\ [4PT]\ розрив {d^3y} {\ dx^3} ~&=~\ ddx\,\ лівий (\ frac {d^2y} {\ dx^2}\ праворуч) ~=~\ frac {d^2} {\ dx^2}\,\ ліво (\ dydx\ праворуч)\\ &\ vdots\\\ frac {d^2}\,\ ліворуч (\ dydx\ праворуч)\\\ vds\\ frac {d^ny} {\ dx^n} ~&=~\ ddx\,\ лівий (\ frac {d^ {n-1} y} {\ dx^ {n-1}}\ праворуч) ~=~\ frac {d^ {n-1}} {\ dx^ {n-1}}\,\ лівий (\ dydx\ правий)\ кінець {вирівняний}\] Природне питання, яке слід задати: що робити вище похідні порядку представляють? Нагадаємо, що перша похідна$f'(x)$ являє собою миттєву швидкість зміни функції$f(x)$ при значенні$x$. Таким чином, друга похідна$f''(x)$ являє собою миттєву швидкість зміни функції$f'(x)$ при значенні$x$. Іншими словами, друга похідна - це швидкість зміни швидкості зміни. Найвідомішим прикладом цього є рух по прямій лінії:$s(t)$ нехай положення об'єкта в той час,$t$ як об'єкт рухається вздовж лінії. Рух може приймати два напрямки, наприклад вперед/назад або вгору/вниз. Візьміть один напрямок, щоб представляти позитивну позицію, а інший - для представлення негативного напрямку, як на малюнку праворуч. (миттєва) швидкість$v(t)$ об'єкта в часі$t$ є$s'(t)$, тобто першою похідною від$s(t)$. $a(t)$Прискорення об'єкта в часі$t$ визначається як$v'(t)$, миттєва швидкість зміни швидкості. Таким чином$a(t) = s''(t)$, тобто прискорення є другою похідною від позиції. Підсумовуємо:

Приклад$\PageIndex{1}$: accel

Додайте сюди текст.

Рішення

Ігноруючи опір вітру і повітря, положення$s$ кулі, кинутого прямо вгору з початковою швидкістю 34 м/с від початкової точки 2 м від землі, задається$s(t) = -4.9t^2 + 34t + 2$ часом$t$ (вимірюється в секундах) з$s$ вимірюваним в метрах. Знайти швидкість і прискорення м'яча в будь-який час$t \ge 0$. Рішення: М'яч рухається по прямій вертикальній лінії, спочатку прямо вгору, потім прямо вниз, поки не потрапить на землю. Його швидкість$v(t)$

$$\begin{aligned} v(t) ~&=~ \dsdt ~=~ -9.8t ~+~ 34 ~~\text{m/s} \intertext{while its acceleration $a(t)$ is} a(t) ~&=~ \frac{d^2s}{\dt^2} ~=~ \ddt\,\left(\dsdt\right) ~=~ \ddt\,(-9.8t ~+~ 34) ~=~ -9.8 ~~\text{m/s}^2\text{,} \end{aligned}$$ що є прискорення за рахунок сили тяжіння на Землі. Зверніть увагу, що час$t = 0$ - це час, в який був кинутий м'яч, так що$v(0)$ це початкова швидкість м'яча. Дійсно,$v(0) = -9.8(0) + 34 = 34$ м/с, як годиться. Повідомлення в прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: accel

Додайте сюди текст.

Рішення

що прискорення м'яча не тільки постійне, але і негативне. Щоб зрозуміти, чому це має сенс, спочатку розглянемо випадок, коли м'яч рухається вгору. Куля має початкову швидкість вгору 34 м/с, потім сповільнюється до 0 м/с в той момент, коли він досягає своєї максимальної висоти над землею. Отже, швидкість зменшується, тобто її швидкість зміни - прискорення - негативна. М'яч досягає максимальної висоти над землею, коли його швидкість дорівнює нулю, тобто коли$v(t) = -9.8t + 34 = 0$, тобто в$t = 34/9.8 = 3.47$ секунди часу після кидка (див. Малюнок вище). Потім куля починає рухатися вниз і його швидкість негативна (наприклад, в час$t = 4$ s швидкість$v(4) = -9.8(4) + 34 = -5.2$ м/с). Нагадаємо, що негативна швидкість вказує на рух вниз, тоді як позитивна швидкість означає рух вгору (подалі від центру Землі). Так у випадку, коли куля починає рухатися вниз, він йде від 0 м/с до негативної швидкості, при цьому куля рухається швидше до землі, яку він б'є зі швидкістю$-33.43$ м/с (чому?). Отже, знову швидкість зменшується, що знову ж таки означає, що прискорення негативне. Загальна термінологія, що стосується руху, може спричинити деяку плутанину з вищезазначеним об Наприклад, незважаючи на те, що прискорення м'яча є негативним, коли він падає на землю, прийнято говорити, що м'яч прискорюється в цій ситуації, а не сповільнюється (як це робить м'яч, рухаючись вгору). Взагалі під прискоренням розуміється, що величина (тобто абсолютне значення) швидкості збільшується. Ця величина називається швидкістю об'єкта. Уповільнення означає, що швидкість зменшується. Перша і друга похідні положення об'єкта по відношенню до часу представляють швидкість і прискорення об'єкта відповідно. Чи мають похідні третього, четвертого та інших похідних вищого порядку фізичні значення? Виявляється, вони роблять. Третя похідна положення називається ривком предмета. Він являє собою швидкість зміни прискорення і часто використовується в таких областях, як динаміка транспортного засобу (наприклад, мінімізація ривка для забезпечення більш плавного гальмування). Четверта, п'ята та шоста похідні позиції називаються snap, crackle та pop відповідно.28 Нульова похідна$f^{(0)}(x)$ функції$f(x)$ визначається як$f(x)$ сама функція:$f^{(0)}(x) = f(x)$. Існує спосіб визначення дробових похідних, наприклад, однієї половинної похідної$f^{(1/2)}(x)$, про яку йтиметься в главі 6. Безпосереднім наслідком визначення похідних вищого порядку є: Нагадаємо, що факторіал$n!$ цілого числа$n > 0$ є добутком цілих чисел від 1 до$n$:

$$n! ~=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \;\cdots\; \cdot n$$ Наприклад:

$$\begin{aligned} {3} 1! ~&=~ 1 \qquad\qquad& 3! ~&=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 ~=~ 6\\ 2! ~&=~ 1 \cdot 2 ~=~ 2 \qquad\qquad& 4! ~&=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 ~=~ 24\end{aligned}$$ За$0!$ умовністю визначається як 1. Наступне твердження можна довести за допомогою індукції: Таким чином,

$$\dfrac{d^{n+1}}{\dx^{n+1}}\,\left(x^n\right) ~=~ \ddx\,\left(\dfrac{d^n}{\dx^n}\,\left(x^n\right)\right) ~=~ \ddx\,(n!) ~=~ 0$$ для всіх цілих чисел$n \ge 0$, так як$n!$ є константою. Поліноми - це лінійні комбінації невід'ємних ступенів змінної (наприклад$x$), тому вищевказаний результат у поєднанні з правилом суми та правилом постійної кратності, які також тримають похідні вищого порядку - дає цей важливий факт: Це основа для часто використовуваного твердження про те, що «будь-який многочлен можна диференціювати до 0», взявши достатню кількість похідних. Наприклад, диференціювання многочлена$p(x) = 100x^{100} + 50x^{99}$ 101 раз дало б 0 (як і диференціювання більше 101 рази). [sec1dot6] Для вправ 1-6 знайдіть другу похідну заданої функції. 3 $f(x) ~=~ x^3 ~+~ x^2 ~+~ x ~+~ 1$ $f(x) ~=~ x^2\,\sin x$ $f(x) ~=~ \cos 3x$ 3 $f(x) ~=~ \dfrac{\sin x}{x}\vphantom{\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}}$ $f(x) ~=~ \dfrac{1}{x}\vphantom{\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}}$ $F(r) ~=~ \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}$ Знайдіть перші п'ять похідних$f(x) = \sin x$. Використовуйте ті, щоб знайти$f^{(100)}(x)$ і$f^{(2014)}(x)$. Знайдіть перші п'ять похідних від$f(x) = \cos x$. Використовуйте ті, щоб знайти$f^{(100)}(x)$ і$f^{(2014)}(x)$. Якщо об'єкт рухається вздовж прямої лінії таким чином, що його положення$s(t)$ в часі$t$ прямо пропорційно$t$ для всіх$t$ (записано як$s \propto t$), то покажіть, що прискорення об'єкта завжди дорівнює 0. [exer:dnxn] Використовуйте індукцію, щоб показати, що$\frac{d^n}{\dx^n}\,\left(x^n\right) ~=~ n!~$ для всіх цілих чисел$n \ge 1$. Показати, що для всіх цілих чисел$n \ge m \ge 1$,$\frac{d^{m}}{\dx^{m}}\,\left(x^n\right) ~=~ \frac{n!}{(n - m)!}\,x^{n - m} ~$. Знайти загальний вираз для$n$ -ї похідної$f(x) = \frac{1}{ax + b} ~$ для всіх констант$a$ і$b$ ($a \ne 0$). Показати, що функція$y = A \cos\,(\omega t + \phi) ~+~ B \sin\,(\omega t + \phi)$ задовольняє диференціальному рівнянню

$$\frac{d^2y}{\dt^2} ~+~ \omega^2 y ~=~ 0$$ для всіх констант$A$,$B$,$\omega$, і$\phi$. Якщо$s(t)$ представляє позицію під час$t$ руху об'єкта по прямій лінії, то покажіть, що:

$$\begin{aligned} {2} s' ~\text{and}~ s'' ~&\text{have the same sign} \quad&&\Rightarrow\quad \text{the object is accelerating}\\ s' ~\text{and}~ s'' ~&\text{have opposite signs} &&\Rightarrow\quad \text{the object is decelerating}\end{aligned}$$ Для всіх двічі диференційованих функцій$f$ і$g$, показати, що$\;(f \cdot g)'' = f'' \cdot g ~+~ 2 f' \cdot g' ~+~ f \cdot g''$. Нагадаємо, що прийняття похідної - це спосіб роботи над функцією. Тобто розглядати$\ddx$ як оператор диференціації на колекцію диференційовних функцій, приймаючи функцію$f(x)$ до своєї похідної функції$\dfdx$: Аналогічно,$\frac{d^2}{d\!x^2}$ є оператором на двічі диференційовних функціях, приймаючи функцію$f(x)$ до своєї другої похідної function$\frac{d^2 \negmedspace f}{d\!x^2}$: Загалом, власна функція оператора$A$ - це$\phi(x)$ така функція$A(\phi(x)) ~=~ \lambda \cdot \phi(x)$, яка, тобто для всіх$x$ в області$\phi$, для якоїсь константи$\lambda$ називається власне значення власної функції. Показати для всіх констант$k$, що$\phi(x) ~=~ \cos\,kx$ є власною функцією$\frac{d^2}{d\!x^2}$ оператора, і знайти його власне значення. Тобто показати, що$\frac{d^2}{d\!x^2}(\phi(x)) = \lambda \cdot \phi(x)$ для деякої константи$\lambda$ (власне значення). Хвильова функція$\psi$ для частинки маси, що$m$ рухається в одновимірній коробці довжини$L$, задана

$$\psi(x) ~=~ \sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\,\frac{\pi x}{L} \qquad\text{for $~0 \;\le x \;\le L$,}$$ є розв'язком (припускаючи нульову потенційну енергію) незалежного від часу рівняння Шредінгера

$$-\frac{h^2}{8\pi^2 m}\,\frac{d^2 \negmedspace\psi}{d\!x^2} ~=~ E\,\psi(x)$$ де$h$ - константа Планка і$E$ є константою, яка представляє загальну енергію хвильової функції. Знайдіть вираз для$E$ константи через інші константи. Зверніть увагу, що$\psi(x)$ це робить власну функцію$\frac{d^2}{d\!x^2}$ оператора.