4.2: Суми Рімана

Мотивуючі питання

• Як ми можемо використовувати суму Рімана для оцінки площі між заданою кривою та горизонтальною віссю за певний інтервал?
• Які відмінності між лівою, правою, середньою та випадковою сумами Рімана?
• Як ми можемо писати суми Рімана в скороченому вигляді?

У розділі 4.1 ми дізналися, що якщо об'єкт рухається з позитивною швидкістю\(v\text{,}\), область між віссю\(y = v(t)\) і\(t\) -вісь протягом заданого інтервалу часу повідомляє нам відстань, пройдену об'єктом за цей період часу. Якщо\(v(t)\) іноді негативний, і ми розглядаємо область будь-якої області нижче\(t\) -осі як має пов'язаний негативний знак, то сума цих підписаних областей говорить нам про зміну положення рухомого об'єкта протягом заданого інтервалу часу.

Наприклад, для функції швидкості, наведеної на малюнку 4.2.1, якщо області затінених областей є\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) і\(A_3\) як позначені, то загальна відстань,\(D\) пройдена рухомим\([a,b]\) об'єктом

\[ D = A_1 + A_2 + A_3\text{,} \nonumber \]

в той час як загальна зміна положення об'єкта\([a,b]\) на

\[ s(b) - s(a) = A_1 - A_2 + A_3\text{.} \nonumber \]

Малюнок 4.2.1. Функція швидкості, яка іноді буває негативною.

Оскільки рух знаходиться в негативному напрямку на інтервалі, де\(v(t) \lt 0\text{,}\) ми віднімаємо,\(A_2\) щоб визначити загальну зміну положення об'єкта.

Звичайно, знаходження\(D\) і\(s(b)-s(a)\) для графіка на малюнку 4.2.1 припускає, що ми можемо насправді знайти області\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) і До\(A_3\text{.}\) сих пір, ми працювали з функціями швидкості, які були або постійними або лінійними, так що область обмежена функцією швидкості і горизонтальним вісь - це комбінація прямокутників і трикутників, і ми можемо точно знайти площу. Але коли крива обмежує область, яка не є звичною геометричною формою, ми не можемо точно знайти її площу. Дійсно, це одна з наших найбільших цілей у розділі 4: навчитися знаходити точну площу, обмежену між кривою та горизонтальною віссю для якомога більшої кількості різних типів функцій.

У Діяльності 4.1.2 ми наблизили площу під нелінійною функцією швидкості за допомогою прямокутників. У наступному перегляді ми розглядаємо три різні варіанти висоти прямокутників, які ми будемо використовувати.

Попередній перегляд активності 4.2.1

Людина, що йде по прямій доріжці, має свою швидкість в милі на годину в час,\(t\) заданий функцією\(v(t) = 0.25t^3-1.5t^2+3t+0.25\text{,}\) для часу в інтервалі\(0 \le t \le 2\text{.}\). Графік цієї функції також наведено на кожній з трьох діаграм на малюнку 4.2.2.

Малюнок 4.2.2. Три підходи до оцінки площі під\(y = v(t)\) інтервалом\([0,2]\text{.}\)

Зауважте, що\(y = v(t)\) на кожній діаграмі ми використовуємо чотири прямокутники для оцінки площі під інтервалом,\([0,2]\text{,}\) але метод, за допомогою якого визначаються відповідні висоти чотирьох прямокутників, змінюється між трьома окремими графіками.

1. Як вибираються висоти прямокутників на крайній лівій діаграмі? Поясніть, а значить і визначте значення
   \[ S = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 \nonumber \]

   оцінюючи функцію\(y = v(t)\) за відповідним чином вибраними значеннями та спостерігаючи ширину кожного прямокутника. Зверніть увагу, наприклад, що

   \[ A_3 = v(1) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\text{.} \nonumber \]
2. Поясніть, як вибираються висоти прямокутників на середній діаграмі і знайдіть значення
   \[ T = B_1 + B_2 + B_3 + B_4\text{.} \nonumber \]
3. Аналогічним чином визначте закономірність того, як вибираються висоти прямокутників на крайній правій схемі і визначте
   \[ U = C_1 + C_2 + C_3 + C_4\text{.} \nonumber \]
4. З оцінок\(S\text{,}\)\(T\text{,}\) і\(U\text{,}\) яка, на вашу думку, найкраще\(D\text{,}\) наближення загальної відстані, яку людина пройшла на\([0,2]\text{?}\) Чому?

4.2.1 Позначення сигми

Ми використовували суми площ прямокутників для наближення площі під кривою. Інтуїтивно ми очікуємо, що використання більшої кількості тонших прямокутників забезпечить кращу оцінку площі. Отже, ми передбачаємо справу з сумами великої кількості термінів. Для цього ми вводимо сигма-позначення, назване на честь грецької літери,\(\Sigma\text{,}\) яка є великою літерою\(S\) грецького алфавіту.

Наприклад, скажімо, нас цікавить сума

\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{,} \nonumber \]

сума перших 100 натуральних чисел. У сигма-позначеннях пишемо

\[ \sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + 100\text{.} \nonumber \]

Ми читаємо символ\(\sum_{k=1}^{100} k\) як «сума від\(k\) дорівнює 1 до 100 of\(k\text{.}\)». Змінна\(k\) називається індексом підсумовування, і для цієї змінної можна використовувати будь-яку букву. Візерунок в терміні суми позначається функцією індексу; наприклад,

\[ \sum_{k=1}^{10} (k^2 + 2k) = (1^2 + 2\cdot 1) + (2^2 + 2\cdot 2) + (3^2 + 2\cdot 3) + \cdots + (10^2 + 2\cdot 10)\text{,} \nonumber \]

і загалом,

\[ \sum_{k=1}^n f(k) = f(1) + f(2) + \cdots + f(n)\text{.} \nonumber \]

Позначення сигми дозволяє нам легко варіювати функцію, яка використовується для опису термінів у сумі, і коригувати кількість термінів у сумі, просто змінюючи значення\(n\text{.}\) Ми перевіряємо наше розуміння цього нового позначення в наступній діяльності.

Активність 4.2.2

Для кожної суми, записаної сигма-позначенням, напишіть суму long-hand і оцініть суму, щоб знайти її значення. Для кожної суми, написаної в розгорнутому вигляді, запишіть суму в сигма-позначенні.

1. \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5} (k^2 + 2)\)
2. \(\displaystyle \sum_{i=3}^{6} (2i-1)\)
3. \(\displaystyle 3 + 7 + 11 + 15 + \cdots + 27\)
4. \(\displaystyle 4 + 8 + 16 + 32 + \cdots + 256\)
5. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{6} \frac{1}{2^i}\)

4.2.2 Ріманові суми

Коли рухоме тіло має функцію позитивної швидкості\(y = v(t)\) на заданому\([a,b]\text{,}\) інтервалі, площа під кривою за інтервалом дає загальну відстань, по якій рухається тіло.\([a,b]\text{.}\) Ми також зацікавлені у знаходженні точної площі, обмеженої\(y = f(x)\) на інтервалі,\([a,b]\text{,}\) незалежно від значення або контекст функції\(f\text{.}\) Поки що ми продовжуємо зосереджуватися на пошуку точної оцінки цієї області за допомогою суми площ прямокутників. Якщо не вказано інше, ми припускаємо, що\(f\) це безперервне і ненегативне на\([a,b]\text{.}\)

Перший вибір, який ми робимо в такому наближенні - це кількість прямокутників.

Малюнок 4.2.3. Поділ інтервалу\([a,b]\) на\(n\) підінтервали рівної довжини\(\Delta x\text{.}\)

Якщо ми хочемо, щоб\(n\) прямокутники однакової ширини поділяли інтервал,\([a,b]\text{,}\) то кожен прямокутник повинен мати ширину\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Ми дозволяємо\(x_0 = a\text{,}\)\(x_n = b\text{,}\)\(x_1 = x_0 + \Delta x\text{,}\)\(x_2 = x_0 + 2 \Delta x\text{,}\) і\(x_{i} = a + i\Delta x\text{,}\) визначаємо так далі, як показано на малюнку 4.2.3.

Ми використовуємо кожен підінтервал\([x_i, x_{i+1}]\) як основу прямокутника, а далі вибираємо висоту прямокутника на цьому підінтервалі. Існує три стандартних варіанти: ми можемо використовувати ліву кінцеву точку кожного підінтервалу, праву кінцеву точку кожного підінтервалу або середину кожного. Це саме ті параметри, що зустрічаються в попередньому перегляді активності 4.2.1 і видно на малюнку 4.2.2. Далі ми досліджуємо, як ці варіанти можуть бути описані в сигма-нотації.

Розглянемо довільну позитивну функцію\(f\) на\([a,b]\) з інтервалом, поділеним, як показано на малюнку 4.2.3, і виберіть використання лівих кінцевих точок. Потім на кожному\([x_{i}, x_{i+1}]\text{,}\) проміжку площа утвореного прямокутника задається

\[ A_{i+1} = f(x_i) \cdot \Delta x\text{,} \nonumber \]

як видно на малюнку 4.2.4.

Малюнок 4.2.4. Ділимо інтервал\([a,b]\) на\(n\) підінтервали рівної довжини\(\Delta x\) і апроксимуємо площу під ним\(y = f(x)\) за\([a,b]\) допомогою лівих прямокутників.

Якщо ми\(L_n\) дозволимо позначити суму площ цих прямокутників, ми бачимо, що

\ begin {align*} L_n =\ математична структура & A_1 + A_2 +\ cdots + A_ {i+1} +\ cdots + a_n\\ [4pt] =\ математична структура & f (x_0)\ cdot\ дельта х (x_1)\ cdot\ дельта х +\ cdots + f (x_ {n-1})\ cdot\ дельта х\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

У більш компактних сигма-позначеннях ми маємо

\[ L_n = \sum_{i = 0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{.} \nonumber \]

Зверніть увагу, що оскільки індекс підсумовування починається\(0\) і\(n-1\text{,}\) закінчується на, в цій сумі дійсно є\(n\) терміни. \(L_n\)Викликаємо ліву суму Рімана для функції\(f\) на інтервалі\([a,b]\text{.}\)

Щоб побачити, як будуються суми Рімана для правих кінцевих і середніх точок, розглянемо малюнок 4.2.5.

Малюнок 4.2.5. Riemann суми, використовуючи правильні кінцеві та середні точки.

Для суми з правими кінцевими точками ми бачимо, що площа прямокутника на довільному інтервалі\([x_i, x_{i+1}]\) задана\(B_{i+1} = f(x_{i+1}) \cdot \Delta x\text{,}\) і що сума всіх таких площ прямокутників задається

\ begin {вирівнювати*} R_n =\ математична структура & B_1 + B_2 +\ cdots + B_ {i+1} +\ cdots + b_n\\ [4pt] =\ математична структура & f (x_1)\ cdot\ дельта х (x_ {i+1})\ cdot\ Дельта х +\ cdots + f (x_ {n})\ cdot\ Дельта х\\ [4pt] =\ математична структура &\ sum_ {i = 1} ^ {n} f (x_i)\ дельта х\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

\(R_n\)Викликаємо праву суму Рімана для функції\(f\) на інтервалі\([a,b]\text{.}\)

Для суми, яка використовує середні точки, вводимо позначення

\[ \overline{x}_{i+1} = \frac{x_{i} + x_{i+1}}{2} \nonumber \]

так\(\overline{x}_{i+1}\) що середина інтервалу Наприклад,\([x_i, x_{i+1}]\text{.}\) для прямокутника з площею\(C_1\) на малюнку 4.2.5, у нас тепер є

\[ C_1 = f(\overline{x}_1) \cdot \Delta x\text{.} \nonumber \]

Отже, сума всіх площ прямокутників, які використовують середні точки, дорівнює

\ begin {align*} m_n =\ математична структура & C_1 + C_2 +\ cdots + C_ {i+1} +\ cdots + C_n\ [4pt] =\ математична структура & f (\ overline {x_1})\ cdot\ дельта х + f (\ overline {x_2})\ cdot\ дельта х +\ cdots + f (\ оверлайн {x} _ {i+1})\ cdot\ Дельта х +\ cdots + f (\ overline {x} _ {n})\ cdot\ Дельта х\\ [4pt] =\ математична структура &\ сума_ {i = 1} ^ {n} f (\ накладання {x} _i)\ Дельта х\ текст {,}\ end {align*}

і ми говоримо, що\(M_n\) це середня сума Рімана для\(f\) на\([a,b]\text{.}\)

Таким чином, у нас є дві змінні для дослідження: кількість прямокутників і висота кожного прямокутника. Ми можемо динамічно досліджувати ці варіанти, і аплет ¹, знайдений за адресою http://gvsu.edu/s/a9, є особливо корисним. Там ми бачимо зображення, показане на малюнку 4.2.6, але з можливістю налаштувати смуги повзунків для висоти і кількості прямокутників.

Марк Рено, Аплети обчислення гегебри.

Малюнок 4.2.6. Знімок аплету знайдено за адресою http://gvsu.edu/s/a9.

Переміщаючи повзунки, ми можемо побачити, як змінюються висоти прямокутників, розглядаючи ліві кінцеві точки, середні та праві кінцеві точки, а також вплив більшої кількості вузьких прямокутників на наближення точної області, обмеженої функцією та горизонтальною віссю.

Коли\(f(x) \ge 0\) на\([a,b]\text{,}\) кожній з Ріманових сум\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) і\(M_n\) дається оцінка площі під кривою\(y = f(x)\) за інтервал,\([a,b]\text{.}\) нагадаємо також, що в контексті невід'ємної швидкісної функції\(y = v(t)\text{,}\) відповідні суми Рімана наближені. відстань, пройдена\([a,b]\) рухомим об'єктом з функцією швидкості\(v\text{.}\)

Існує більш загальний спосіб думати про суми Рімана, і це дозволити будь-який вибір місця, де обчислюється функція, щоб визначити висоту прямокутника. Замість того, щоб говорити, що ми завжди будемо вибирати ліві кінцеві точки, або завжди вибирати середні точки, ми просто говоримо, що точка\(x_{i+1}^*\) буде вибрана випадковим чином в інтервалі\([x_i, x_{i+1}]\) (так що\(x_i \le x_{i+1}^* \le x_{i+1}\)). Потім сума Рімана задається

\[ f(x_1^*) \cdot \Delta x + f(x_2^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{i+1}^*) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_n^*) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \nonumber \]

На http://gvsu.edu/s/a9 аплет, зазначений раніше і посилається на малюнку 4.2.6, знявши прапорець «відносний» у верхньому лівому куті, і замість цього перевіряючи «випадковий», ми можемо легко дослідити ефект використання випадкових точок у підінтервалах на суму Рімана. У обчислювальній практиці ми найчастіше використовуємо\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) або\(M_n\text{,}\) поки випадкова сума Рімана корисна в теоретичних обговореннях. У наступній діяльності ми досліджуємо кілька різних сум Рімана для певної швидкісної функції.

Активність 4.2.3

Припустимо, що об'єкт, що рухається вздовж прямої лінії, має свою швидкість у футах в секунду\(t\) в часі в секундах, заданих\(v(t) = \frac{2}{9}(t-3)^2 + 2\text{.}\)

1. Ретельно намалюйте регіон, точна площа якого підкаже вам значення відстані, пройденого об'єктом на проміжку часу.\(2 \le t \le 5\text{.}\)
2. Оцініть пройдену відстань\([2,5]\) шляхом обчислень\(L_4\text{,}\)\(R_4\text{,}\) і\(M_4\text{.}\)
3. Чи є усереднення\(L_4\) і\(R_4\) призводить до того ж значення, що і\(M_4\text{?}\) Якщо ні, як ви думаєте, середнє значення\(L_4\) та\(R_4\) заходи?
4. Для цього питання подумайте про довільну функцію,\(f\text{,}\) а не про конкретну функцію,\(v\) наведену вище. Якщо\(f\) позитивний і збільшується,\([a,b]\text{,}\) буде\(L_n\) перевищувати або занижувати точну площу під\(f\)\([a,b]\text{?}\) Волею\(R_n\) над- або недооцінювати точну площу під\(f\)\([a,b]\text{?}\) Пояснити.

4.2.3 Коли функція іноді негативна

Для суми Рімана, такої як

\[ L_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x\text{,} \nonumber \]

ми, звичайно, можемо обчислити суму, навіть коли\(f\) приймає негативні значення. Ми знаємо,\(f\) що коли\([a,b]\text{,}\) позитивний на суму Рімана оцінює площу, обмежену між\(f\) і горизонтальною віссю над інтервалом.

Малюнок 4.2.7. Ліворуч і по центру дві ліві суми Рімана для функції\(f\), яка іноді є від'ємною; праворуч області, обмежені\(f\) інтервалом\([a,d]\text{.}\)

Для функції, зображеної на першому графіку рисунка 4.2.7, показано ліву суму Рімана з 12\([a,d]\) підінтервалами. Функція від'ємна на інтервалі,\(b \le x \le c\text{,}\) тому на чотирьох лівих кінцевих точках, які потрапляють у\([b,c]\text{,}\) терміни,\(f(x_i) \Delta x\) є негативними. Це означає, що ці чотири члени в сумі Рімана дають оцінку протилежної площі, обмеженої\(y = f(x)\) і\(x\) -осі на\([b,c]\text{.}\)

На середньому графіку малюнка 4.2.7 ми бачимо, що при збільшенні кількості прямокутників наближення площі (або протилежної площі), обмеженої кривою, виявляється поліпшується.

Загалом, будь-яка сума Рімана неперервної функції\(f\) на інтервалі\([a,b]\) наближає різницю між площею, яка лежить над горизонтальною віссю на\([a,b]\) і під,\(f\) і площею, яка лежить нижче горизонтальної\([a,b]\) осі на і вище\(f\text{.}\) в позначенні Малюнок 4.2.7, можна сказати, що

\[ L_{24} \approx A_1 - A_2 + A_3\text{,} \nonumber \]

де\(L_{24}\) ліва сума Рімана з використанням 24 субінтервалів, показаних на середньому графіку. \(A_1\)і\(A_3\) є областями регіонів, де\(f\) позитивно, і\(A_2\) є областю, де\(f\) негативна. Ми будемо називати величину\(A_1 - A_2 + A_3\) чистою підписаною областю, обмеженою\(f\) через інтервал,\([a,d]\text{,}\) де фразою «підписана область» ми вказуємо, що ми прикріплюємо знак мінус до областей, які опускаються нижче горизонтальної осі.

Нарешті, ми нагадаємо, що якщо функція\(f\) представляє швидкість рухомого об'єкта, сума областей, обмежених кривою, повідомляє нам загальну відстань, пройдену за відповідний проміжок часу, тоді як чиста підписана площа, обмежена кривою, обчислює зміну положення об'єкта на інтервалі.

Активність 4.2.4

Припустимо, що об'єкт, що рухається вздовж прямої лінії, має свою швидкість\(v\) (у футах в секунду) у час\(t\) (у секундах), заданий

\[ v(t) = \frac{1}{2}t^2 - 3t + \frac{7}{2}\text{.} \nonumber \]

1. \(M_5\text{,}\)Обчислити середню суму Рімана, бо\(v\) на часовому інтервалі\([1,5]\text{.}\) Обов'язково чітко визначте значення, а\(\Delta t\) також місця розташування\(t_0\text{,}\)\(t_1\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(t_5\text{.}\) Крім того, надайте ретельний ескіз функції та відповідні прямокутники, які використовуються в сумі.
2. Спираючись на свою роботу в (а), оцініть загальну зміну положення об'єкта на інтервалі\([1,5]\text{.}\)
3. Спираючись на свою роботу в (а) і (б), оцініть загальну відстань, пройдену об'єктом на\([1,5]\text{.}\)
4. Використовуйте відповідну обчислювальну технологію ² для обчислення\(M_{10}\) та\(M_{20}\text{.}\) Яке точне значення, на вашу думку, середня сума в кінцевому підсумку наближається до\(n\) збільшення без обмежень? Що це число представляє у фізичному контексті загальної проблеми?

Наприклад, розгляньте аплет за адресою http://gvsu.edu/s/a9 і змініть функцію та відрегулюйте розташування синіх точок, які представляють кінцеві точки інтервалу\(a\) та\(b\text{.}\)

4.2.4 Резюме

• Сума Рімана - це просто сума добутків виду\(f(x_i^*) \Delta x\), яка оцінює площу між додатною функцією та горизонтальною віссю за заданий інтервал. Якщо функція іноді негативна на інтервалі, сума Рімана оцінює різницю між областями, які лежать над горизонтальною віссю, і тими, що лежать нижче осі.
• Три найпоширеніші типи сум Рімана - це ліва, права та середня суми, але ми також можемо працювати з більш загальною сумою Рімана. Єдиною відмінністю між цими сумами є розташування точки, в якій обчислюється функція для визначення висоти прямокутника, площа якого обчислюється. Для лівої суми Рімана ми оцінюємо функцію в лівій кінцевій точці кожного підінтервалу, тоді як для правої та середньої сум використовуємо праві кінцеві та середні точки відповідно.
• Ліва, права і середня суми Рімана позначаються\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) і\(M_n\text{,}\) формулами
  \ begin {align*} L_n = f (x_0)\ Дельта х + f (x_1)\ Дельта х +\ cdots + f (x_ {n-1})\ Дельта х &=\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} f (x_i)\ Дельта x,\\ [4pt] R_n = f (x_1)\ Дельта x + f (x_1) _2)\ Дельта х +\ cdots + f (x_ {n})\ Дельта х &=\ сума_ {i = 1} ^ {n} f (x_i)\ Дельта x,\\ [4pt] m_n = f (\ overline {x} _1)\ Дельта x + f (\ overline {x} _2)\ Дельта x +\ cdots + f (\ overline {x} _ {n})\ Дельта х &=\ sum_ {i = 1} ^ {n} f (\ overline {x} _i)\ дельта х\ текст {,}\ end {align*}

  де\(x_0 = a\text{,}\)\(x_i = a + i\Delta x\text{,}\) і\(x_n = b\text{,}\) використовуючи\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Для суми середньої точки,\(\overline{x}_{i} = (x_{i-1} + x_i)/2\text{.}\)