4.3: Певний інтеграл
- Як збільшення кількості субінтервалів впливає на точність наближення, породженого сумою Рімана?
- Що таке визначення певного інтеграла функціїf через інтервал[a,b]?
- Що точно визначає певний інтеграл, і які деякі ключові властивості визначеного інтеграла?
На малюнку 4.3.1 ми бачимо докази того, що збільшення кількості прямокутників у сумі Рімана підвищує точність наближення чистої знакової площі, обмеженої заданою функцією.
Тому ми досліджуємо природну ідею дозволити збільшувати кількість прямокутників без обмежень. Прагнучи обчислити точну чисту підписану площу, ми також розглядаємо відмінності між лівою, правою та середньою сумами Рімана та різні результати, які вони генерують, як значенняn збільшення. Почнемо з функцій, які є виключно позитивними на розглянутому інтервалі.
Розглянемо аплет, знайдений за адресою http://gvsu.edu/s/a9 1. Там ви спочатку побачите ситуацію, показану на малюнку 4.3.2.
Зауважте, що значення вибраної суми Рімана відображається поруч зі словом «відносний», і ви можете змінити тип обчислюваної суми Рімана, перетягнувши точку на смузі повзунка під фразою «розташування точки зразка».
Дослідіть, щоб побачити, як можна змінити вікно, в якому розглядається функція, а також саму функцію. Ви можете встановити мінімальне та максимальне значення,x натиснувши та перетягуючи сині точки, які встановлюють кінцеві точки; ви можете змінити функцію, ввівши нову формулу у вікні «f (x)» внизу; і ви можете налаштувати загальне вікно за допомогою «панорамування та масштабування» за допомогою клавіші Shift та клавіші функція прокрутки миші. Більш детальну інформацію про те, як панорамувати та масштабувати, можна знайти на http://gvsu.edu/s/Fl.
Працюйте відповідно, щоб налаштувати аплет так, щоб він використовував ліву суму Рімана зn=5 підінтервалами для функції єf(x)=2x+1. Ви повинні побачити оновлений малюнок, показаний на малюнку 4.3.3. Потім дайте відповідь на наступні питання.
- Оновіть аплет (і вікно перегляду, якщо потрібно), щоб розглянута функція була включена,[1,4], якf(x)=2x+1 зазначено вище. Для цієї функції на цьому інтервалі обчислитиLn,Mn,Rn дляn=5,n=25, іn=100. Що здається точною областю обмеженоюf(x)=2x+1 іx -віссю на[1,4]?
- Використовуйте базову геометрію, щоб визначити точну площу,f(x)=2x+1 обмежену таx вісь -на[1,4].
- Виходячи з вашої роботи в (a) та (b), що ви спостерігаєте, відбувається, коли ми збільшуємо кількість підінтервалів, використовуваних у сумі Рімана?
- Оновіть аплет, щоб розглянути функціюf(x)=x2+1 на інтервалі[1,4] (зверніть увагу, що для формули функції потрібно ввести «
x ^ 2 + 1
»). Використовуйте аплетLn,Mn,Rn для обчисленняn=5,n=25, іn=100. Що ви здогадаєте, це точна область, обмеженаf(x)=x2+1 іx -вісь на[1,4]? - Чому ми не можемо обчислити точне значення площі, обмеженоїf(x)=x2+1 іx -вісь за[1,4] допомогою формули, як ми зробили в (b)?
4.3.1 Визначення певного інтеграла
У Preview Activity 4.3.1 ми побачили, що коли кількість прямокутників стає все більшою і більшою, значенняLn,Mn, іRn всі зростали все ближче і ближче до одного і того ж значення. Виявляється, це відбувається для будь-якої безперервної функції на інтервалі,[a,b], а також для суми Рімана, використовуючи будь-яку точкуx∗i+1 в інтервалі[xi,xi+1]. Таким чином, як ми дозволяємоn→∞, це насправді не має значення, де ми вибираємо для оцінки функції в межах заданого підінтервалу, тому що
limn→∞Ln=limn→∞Rn=limn→∞Mn=limn→∞n∑i=1f(x∗i)Δx.
Те, що ці межі завжди існують (і мають однакове значення),f коли вони безперервні 2, дозволяє нам зробити наступне визначення.
Певний інтеграл неперервної функціїf на інтервалі,∫baf(x)dx, що[a,b], позначається, - дійсне число, задане
деΔx=b−an,xi=a+iΔx (дляi=0,…,n), іx∗i задовольняєxi−1≤x∗i≤xi (дляi=1,…,n).
Символ ми∫ називаємо інтегральним знаком, значеннямиa таb межами інтеграції, а функціюf цілим. Процес визначення дійсного числа∫baf(x)dx називається оцінкою певного інтеграла. Хоча існує кілька різних інтерпретацій певного інтеграла, на даний момент найважливішим є те, що∫baf(x)dx вимірює сітку підписану область, обмеженуy=f(x) іx -вісь на інтервалі[a,b].
Наприклад, якщо функціяf зображена на малюнку 4.3.5,A1,A2, іA3 є точними областями, обмеженимиf іx -віссю на відповідних інтервалах,[a,b],[b,c], а[c,d], потім
Ми також можемо використовувати певні інтеграли для вираження зміни положення та відстані, пройденої рухомим об'єктом. Якщоv є швидкісною функцією на інтервалі,[a,b], то зміна положення об'єкта,s(b)−s(a), задається
Якщо функція швидкості невід'ємна,[a,b], то∫bav(t)dt повідомляє нам відстань, яку пройшов об'єкт. Якщо швидкість іноді негативна,[a,b], ми можемо використовувати певні інтеграли, щоб знайти області, обмежені функцією на кожному інтервалі, де знакv не змінюється, і сума цих областей повідомить нам відстань, яку пройшов об'єкт.
Щоб обчислити значення певного інтеграла з визначення, ми повинні взяти межу суми. Хоча це можливо зробити в окремих обставин, це також нудно і багато часу, і не пропонує багато додаткового розуміння значення або тлумачення певного інтеграла. Натомість у розділі 4.4 ми вивчимо фундаментальну теорему числення, яка надає ярлик для оцінки великого класу визначених інтегралів. Це дозволить нам визначити точну сітку підписану область, обмежену безперервною функцією таx -віссю за багатьох обставин.
Наразі наша мета полягає в тому, щоб зрозуміти значення і властивості певного інтеграла, а не обчислювати його значення. Для цього ми будемо спиратися на чисту підписану область інтерпретації певного інтеграла. Таким чином, ми будемо використовувати як приклади криві, які виробляють регіони, області яких ми можемо обчислити точно за допомогою формул площі. Таким чином, ми можемо обчислити точне значення відповідного інтеграла.
Наприклад, якщо ми хочемо оцінити певний інтеграл,∫41(2x+1)dx, ми спостерігаємо, що область, обмежена цією функцією іx -віссю, є трапецією, показаною на малюнку 4.3.6. За формулою для площі трапеції,A=12(3+9)⋅3=18, так
Використовуйте відомі геометричні формули та інтерпретацію чистої підписаної площі певного інтеграла для оцінки кожного з визначених інтегралів нижче.
- ∫103xdx
- ∫4−1(2−2x)dx
- ∫1−1√1−x2dx
- ∫4−3g(x)dx,деg - функція, зображена на малюнку 4.3.7. Припустімоg, що кожна частина є частиною лінії або частиною кола.
-
Малюнок 4.3.7. Функціяg для частини (d). Зверніть увагу, щоg це кусково визначено, і кожен шматок функції є частиною кола або частини рядка.
4.3.2 Деякі властивості певного інтеграла
Щодо визначеного інтеграла функціїf за інтервал у[a,b] вигляді чистої знакової області, обмеженоїf таx -віссю, виявлено декілька стандартних властивостей визначеного інтеграла. Корисно пам'ятати, що певний інтеграл визначається через суми Рімана, які складаються з площ прямокутників.
Для будь-якого дійсного числаa і певного∫aaf(x)dx інтеграла видно, що жодна область не укладена, тому що інтервал починається і закінчується однією точкою. Отже,
Якщоf є неперервною функцією іa є дійсним числом, то∫aaf(x)dx=0.
Далі розглянемо результат поділу інтервалу інтеграції. На малюнку 4.3.8 ми бачимо, що
який ілюструє наступне загальне правило.
Якщоf є безперервною функцією іa,b, іc є дійсними числами, то
∫caf(x)dx=∫baf(x)dx+∫cbf(x)dx.
Хоча це правило легко побачити, якщоa<b<c, воно насправді тримається взагалі для будь-яких значеньa,b, іc. Інша властивість певних інтегральних станів, що якщо ми змінимо порядок меж інтегралу, ми змінюємо знак значення інтеграла.
Якщоf є безперервною функцією іa іb є дійсними числами, то
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx.
Цей результат має сенс, тому що якщо ми інтегруємо відa доb, то у визначальну суму Рімана, яку ми встановлюємо,Δx=b−an, а якщо миa, інтегруємо відb до ми маємо,Δx=a−bn=−b−an, і це єдина зміна суми, яка використовується для визначення інтеграла.
Є два додаткових корисних властивості певного інтеграла. Коли ми працювали з похідними правилами у главі 2, ми сформулювали постійне множинне правило та правило суми. Нагадаємо, що правило Constant Multiple говорить, що якщоf є диференційованою функцією іk є постійною, то
і правило суми говорить, що якщоf іg є диференційованими функціями, то
Ці правила корисні тим, що дозволяють індивідуально розібратися з найпростішими частинами певних функцій, скориставшись додаванням і множенням на константу. Іншими словами, процес взяття похідної поважає додавання і множення на константи найпростішим способом.
Виходить, що подібні правила дотримуються для певного інтеграла. Для початку розглянемо функції, зображені на малюнку 4.3.9.
Оскільки множення функції на 2 подвоює її висоту при кожномуx -значенні, ми бачимо, що висота кожного прямокутника в лівій сумі Рімана подвоюється,f(xi) для початкової функції,2f(xi) в порівнянні з подвоєною функцією. Для областейA іB, випливає:B=2A. Оскільки це вірно незалежно від значенняn або типу суми, яку ми використовуємо, ми бачимо, що в межі площа червоної області обмеженаy=2f(x) буде вдвічі більше площі синьої області, обмеженоїy=f(x). Оскільки немає нічого special про значення в2 порівнянні з довільноюk, константою дотримується наступний загальний принцип.
Якщоf є безперервною функцією іk є будь-яким дійсним числом, то
∫bak⋅f(x)dx=k∫baf(x)dx.
Аналогічну ситуацію ми бачимо з сумою двох функційf іg.
Якщо взяти суму двох функційf і в кожнійg точці інтервалу, висота функціїf+g задається(f+g)(xi)=f(xi)+g(xi). Отже, для зображених прямокутників з областямиA,B, іC, випливає, щоC=A+B. Тому що це буде відбуватися для кожного такого прямокутник, в межі площа сірої області буде сумою площ синьої і червоної областей. З точки зору певних інтегралів ми маємо наступне загальне правило.
Якщоf іg є безперервними функціями, то
∫ba[f(x)+g(x)]dx=∫baf(x)dx+∫bag(x)dx.
Правила постійної множини та суми можуть бути об'єднані, щоб сказати, що для будь-яких безперервних функційfg і будь-яких константc іk,
Припустимо, що відома наступна інформація про функціїf,g,x2, іx3:
- ∫20f(x)dx=−3;∫52f(x)dx=2
- ∫20g(x)dx=4;∫52g(x)dx=−1
- ∫20x2dx=83;∫52x2dx=1173
- ∫20x3dx=4;∫52x3dx=6094
Використовуйте надану інформацію та правила, розглянуті в попередньому розділі, для оцінки кожного з наступних визначених інтегралів.
- ∫25f(x)dx
- ∫50g(x)dx
- ∫50(f(x)+g(x))dx
- ∫52(3x2−4x3)dx
- ∫05(2x3−7g(x))dx
4.3.3 Як певний інтеграл пов'язаний із середнім значенням функції
Одним з найбільш цінних застосувань певного інтеграла є те, що він забезпечує спосіб обговорити середнє значення функції, навіть для функції, яка приймає нескінченно багато значень. Нагадаємо, що якщо ми хочемо взяти середнє значенняn чисел,y1,y2,…,yn, ми обчислюємо
AVG=y1+y2+⋯+ynn.
Оскільки інтеграли виникають із сум Рімана, в які ми додаємоn значення функції, не повинно дивуватися, що оцінка інтеграла подібна до усереднення вихідних значень функції. Розглянемо, наприклад, праву сумуRn Рімана функціїf,, яка задається
Rn=f(x1)Δx+f(x2)Δx+⋯+f(xn)Δx=(f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn))Δx.
Так якΔx=b−an, ми можемо таким чином писати
Rn=((f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn))⋅b−an=((b−a)f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n.
Ми бачимо, що права сума Рімана зn підінтервалами - це всього лише довжина інтервалу, що(b−a) перевищує середнє значенняn функції, знайденого в правих кінцевих точках. І так само, як з нашими зусиллями обчислити площу, чим більше значенняn ми використовуємо, тим точніше буде наше середнє значення. Дійсно, ми визначимо середнє значенняf on[a,b] to be
fAVG[a,b]=limn→∞f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n.
Але ми також знаємо, що для будь-якої неперервної функціїf на[a,b], взяття межі суми Рімана призводить саме до певного інтегралу. Тобто,limn→∞Rn=∫baf(x)dx, і, таким чином, приймаючи межу, якn→∞ у Рівнянні (4.3.1), ми маємо це
∫baf(x)dx=(b−a)⋅fAVG[a,b].
Рішення рівняння (4.3.2) дляfAVG[a,b], нас є наступний загальний принцип.
Якщоf є неперервною функцією on,[a,b], то її середнє значення on[a,b] задається за формулою.
fAVG[a,b]=1b−a⋅∫baf(x)dx.
Рівняння (4.3.2) говорить нам ще один спосіб інтерпретації певного інтеграла: певний інтеграл функціїf відa доb - це довжина інтервалу, що(b−a) перевищує середнє значення функції на інтервалі. Крім того, коли функціяf невід'ємна на[a,b], Рівняння (4.3.2) має природну візуальну інтерпретацію.
Розглянемо малюнок 4.3.11, де ми бачимо ліворуч затінену область, площа якої знаходиться∫baf(x)dx, в центрі затіненого прямокутника, розміри якогоfAVG[a,b], і праворуч ці дві фігури накладаються.(b−a) Зверніть увагу, що темно-зеленим кольором ми показуємо горизонтальну лінію.y=fAVG[a,b]. Таким чином, площа зеленого прямокутника задається(b−a)⋅fAVG[a,b], саме∫baf(x)dx. значенням Площа синьої області на лівій фігурі така ж, як і площа зеленого прямокутника на центральній фігурі. Ми також можемо спостерігати, що областіA1 іA2 в крайньому правому малюнку здаються рівними. Таким чином, знання середнього значення функції дозволяє побудувати прямокутник, площа якого збігається зі значенням певного інтеграла функції на інтервалі. Аплет java 3 за адресою http://gvsu.edu/s/az надає можливість вивчити, як змінюється середнє значення функції при зміні інтервалу, через зображення, подібне до того, що знаходиться на малюнку 4.3.11.
Припустимо, щоv(t)=√4−(t−2)2 говорить нам миттєва швидкість рухомого об'єкта на інтервалі,0≤t≤4, деt вимірюється в хвилинах іv вимірюється в метрах в хвилину.
- Намалюйте точний графікy=v(t). Що це за криваy=√4−(t−2)2?
- Оцініть∫40v(t)dt точно.
- З точки зору фізичної задачі рухомого об'єкта зі швидкістюv(t), який сенс∫40v(t)dt? Включити одиниці на вашу відповідь.
- Визначте точне середнє значенняv(t) на[0,4]. Включити одиниці у вашій відповіді.
- Намалюйте прямокутник, основою якого є відрізок лінії відt=0 доt=4 наt осі -так, щоб площа прямокутника дорівнювала значенню∫40v(t)dt. Яка точна висота прямокутника?
- Як ви можете використовувати середнє значення, яке ви знайшли в (d), для обчислення загальної відстані, пройденої рухомим об'єктом над[0,4]?
4.3.4 Резюме
- Будь-яка сума Рімана неперервної функціїf на інтервалі[a,b] дає оцінку чистої знакової площі, обмеженої функцією, і горизонтальної осі на інтервалі. Збільшення кількості субінтервалів у сумі Рімана підвищує точність цієї оцінки, а збільшення кількості субінтервалів без зв'язків призводить до того, що значення відповідних сум Рімана наближаються до точного значення вкладеної чистої підписаної площі.
- Коли ми беремо межу сум Рімана, ми приходимо до того, що ми називаємо певним інтеграломf над інтервалом.[a,b]. Зокрема, символ∫baf(x)dx позначає певний інтегралf понад,[a,b], і ця величина визначається рівнянням
∫baf(x)dx=limn→∞n∑i=1f(x∗i)Δx,
деΔx=b−an,xi=a+iΔx (дляi=0,…,n), іx∗i задовольняєxi−1≤x∗i≤xi (дляi=1,…,n).
- Певний інтеграл∫baf(x)dx вимірює точну сітку підписану площу, обмеженуf і горизонтальну вісь на, крім[a,b]; того, значення певного інтеграла пов'язане з тим, що ми називаємо середнім значенням функції на[a,b]:fAVG[a,b]=1b−a⋅∫baf(x)dx. У налаштуванні, де ми розглядаємо інтеграл. функції швидкостіv,∫bav(t)dt вимірює точну зміну положення рухомого об'єкта,[a,b]; колиv невід'ємний, -∫bav(t)dt це відстань об'єкта, пройденого на[a,b].
- Певний інтеграл є складною сумою, і, таким чином, має деякі з тих самих природних властивостей, які мають кінцеві суми. Мабуть, найважливішим з них є те, як певний інтеграл поважає суми та постійні кратні функцій, які можна узагальнити правилом
∫ba[cf(x)±kg(x)]dx=c∫baf(x)dx±k∫bag(x)dx
деf іg є неперервними функціями на[a,b] іc іk є довільними константами.