4.3: Певний інтеграл

Мотивуючі питання

• Як збільшення кількості субінтервалів впливає на точність наближення, породженого сумою Рімана?
• Що таке визначення певного інтеграла функції$f$ через інтервал$[a,b]\text{?}$
• Що точно визначає певний інтеграл, і які деякі ключові властивості визначеного інтеграла?

На малюнку 4.3.1 ми бачимо докази того, що збільшення кількості прямокутників у сумі Рімана підвищує точність наближення чистої знакової площі, обмеженої заданою функцією.

Малюнок 4.3.1. Ліворуч і по центру дві ліві суми Рімана для функції$f$, яка іноді є від'ємною; праворуч точні області обмежені$f$ інтервалом$[a,d]\text{.}$

Тому ми досліджуємо природну ідею дозволити збільшувати кількість прямокутників без обмежень. Прагнучи обчислити точну чисту підписану площу, ми також розглядаємо відмінності між лівою, правою та середньою сумами Рімана та різні результати, які вони генерують, як значення$n$ збільшення. Почнемо з функцій, які є виключно позитивними на розглянутому інтервалі.

Попередній перегляд активності 4.3.1

Розглянемо аплет, знайдений за адресою http://gvsu.edu/s/a9 ¹. Там ви спочатку побачите ситуацію, показану на малюнку 4.3.2.

Марк Рено, Шиппенсбурзький університет, аплети Geogebra для Calclulus, http://gvsu.edu/s/5p.

Малюнок 4.3.2. Права сума Рімана з 10 підінтервалами для функції$f(x) = \sin(2x) - \frac{x^2}{10} + 3$ на$[1,7]\text{.}$ інтервалі Значення суми дорівнює$R_{10} = 4.90595\text{.}$

Зауважте, що значення вибраної суми Рімана відображається поруч зі словом «відносний», і ви можете змінити тип обчислюваної суми Рімана, перетягнувши точку на смузі повзунка під фразою «розташування точки зразка».

Дослідіть, щоб побачити, як можна змінити вікно, в якому розглядається функція, а також саму функцію. Ви можете встановити мінімальне та максимальне значення,$x$ натиснувши та перетягуючи сині точки, які встановлюють кінцеві точки; ви можете змінити функцію, ввівши нову формулу у вікні «f (x)» внизу; і ви можете налаштувати загальне вікно за допомогою «панорамування та масштабування» за допомогою клавіші Shift та клавіші функція прокрутки миші. Більш детальну інформацію про те, як панорамувати та масштабувати, можна знайти на http://gvsu.edu/s/Fl.

Працюйте відповідно, щоб налаштувати аплет так, щоб він використовував ліву суму Рімана з$n = 5$ підінтервалами для функції є$f(x) = 2x + 1\text{.}$ Ви повинні побачити оновлений малюнок, показаний на малюнку 4.3.3. Потім дайте відповідь на наступні питання.

1. Оновіть аплет (і вікно перегляду, якщо потрібно), щоб розглянута функція була включена,$[1,4]\text{,}$ як$f(x) = 2x+1$ зазначено вище. Для цієї функції на цьому інтервалі обчислити$L_{n}\text{,}$$M_{n}\text{,}$$R_{n}$ для$n = 5\text{,}$$n = 25\text{,}$ і$n = 100\text{.}$ Що здається точною областю обмеженою$f(x) = 2x+1$ і$x$ -віссю на$[1,4]\text{?}$
2. Використовуйте базову геометрію, щоб визначити точну площу,$f(x) = 2x+1$ обмежену та$x$ вісь -на$[1,4]\text{.}$
3. Виходячи з вашої роботи в (a) та (b), що ви спостерігаєте, відбувається, коли ми збільшуємо кількість підінтервалів, використовуваних у сумі Рімана?
4. Оновіть аплет, щоб розглянути функцію$f(x) = x^2 + 1$ на інтервалі$[1,4]$ (зверніть увагу, що для формули функції потрібно ввести «x ^ 2 + 1»). Використовуйте аплет$L_{n}\text{,}$$M_{n}\text{,}$$R_{n}$ для обчислення$n = 5\text{,}$$n = 25\text{,}$ і$n = 100\text{.}$ Що ви здогадаєте, це точна область, обмежена$f(x) = x^2+1$ і$x$ -вісь на$[1,4]\text{?}$
5. Чому ми не можемо обчислити точне значення площі, обмеженої$f(x) = x^2+1$ і$x$ -вісь за$[1,4]$ допомогою формули, як ми зробили в (b)?

Малюнок 4.3.3. Ліва сума Рімана з 5 підінтервалами для функції$f(x) = 2x+1$ на$[1,4]\text{.}$ інтервалі Значення суми дорівнює$L_5 = 16.2\text{.}$

4.3.1 Визначення певного інтеграла

У Preview Activity 4.3.1 ми побачили, що коли кількість прямокутників стає все більшою і більшою, значення$L_n\text{,}$$M_n\text{,}$ і$R_n$ всі зростали все ближче і ближче до одного і того ж значення. Виявляється, це відбувається для будь-якої безперервної функції на інтервалі,$[a,b]\text{,}$ а також для суми Рімана, використовуючи будь-яку точку$x_{i+1}^*$ в інтервалі$[x_i, x_{i+1}]\text{.}$ Таким чином, як ми дозволяємо$n \to \infty\text{,}$ це насправді не має значення, де ми вибираємо для оцінки функції в межах заданого підінтервалу, тому що

$$\lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \nonumber$$

Те, що ці межі завжди існують (і мають однакове значення),$f$ коли вони безперервні ², дозволяє нам зробити наступне визначення.

Виходить, що функція не повинна бути безперервною, щоб мати певний інтеграл. Для наших цілей ми припускаємо, що розглянуті нами функції є неперервними на інтервалі (ах) цікавить. Неважко бачити, що будь-яка функція, яка є кусково безперервною на інтервалі інтересу, також матиме чітко певний інтеграл.

Визначення 4.3.4

Певний інтеграл неперервної функції$f$ на інтервалі,$\int_a^b f(x) \, dx\text{,}$ що$[a,b]\text{,}$ позначається, - дійсне число, задане

$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \nonumber$$

де$\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}$$x_i = a + i\Delta x$ (для$i = 0, \ldots, n$), і$x_i^*$ задовольняє$x_{i-1} \le x_i^* \le x_i$ (для$i = 1, \ldots, n$).

Символ ми$\int$ називаємо інтегральним знаком, значеннями$a$ та$b$ межами інтеграції, а функцію$f$ цілим. Процес визначення дійсного числа$\int_a^b f(x) \, dx$ називається оцінкою певного інтеграла. Хоча існує кілька різних інтерпретацій певного інтеграла, на даний момент найважливішим є те, що$\int_a^b f(x) \, dx$ вимірює сітку підписану область, обмежену$y = f(x)$ і$x$ -вісь на інтервалі$[a,b]\text{.}$

Наприклад, якщо функція$f$ зображена на малюнку 4.3.5,$A_1\text{,}$$A_2\text{,}$ і$A_3$ є точними областями, обмеженими$f$ і$x$ -віссю на відповідних інтервалах,$[a,b]\text{,}$$[b,c]\text{,}$ а$[c,d]\text{,}$ потім

\ почати {збирати*}\ int_a^b f (x)\, dx = A_1,\\ int_b^c f (x)\, dx = -A_2,\\ [4pt]\ int_c^d f (x)\, dx = A_3,\\ [4pt]\ текст {і}\ int_a^d f (x)\, dx = A_1 - 2 + A_3\ текст {.} \ end {збирати*}

Малюнок 4.3.5. Неперервна функція$f$ на інтервалі$[a,d]\text{.}$

Ми також можемо використовувати певні інтеграли для вираження зміни положення та відстані, пройденої рухомим об'єктом. Якщо$v$ є швидкісною функцією на інтервалі,$[a,b]\text{,}$ то зміна положення об'єкта,$s(b) - s(a)\text{,}$ задається

$$s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \nonumber$$

Якщо функція швидкості невід'ємна,$[a,b]\text{,}$ то$\int_a^b v(t) \,dt$ повідомляє нам відстань, яку пройшов об'єкт. Якщо швидкість іноді негативна,$[a,b]\text{,}$ ми можемо використовувати певні інтеграли, щоб знайти області, обмежені функцією на кожному інтервалі, де знак$v$ не змінюється, і сума цих областей повідомить нам відстань, яку пройшов об'єкт.

Щоб обчислити значення певного інтеграла з визначення, ми повинні взяти межу суми. Хоча це можливо зробити в окремих обставин, це також нудно і багато часу, і не пропонує багато додаткового розуміння значення або тлумачення певного інтеграла. Натомість у розділі 4.4 ми вивчимо фундаментальну теорему числення, яка надає ярлик для оцінки великого класу визначених інтегралів. Це дозволить нам визначити точну сітку підписану область, обмежену безперервною функцією та$x$ -віссю за багатьох обставин.

Наразі наша мета полягає в тому, щоб зрозуміти значення і властивості певного інтеграла, а не обчислювати його значення. Для цього ми будемо спиратися на чисту підписану область інтерпретації певного інтеграла. Таким чином, ми будемо використовувати як приклади криві, які виробляють регіони, області яких ми можемо обчислити точно за допомогою формул площі. Таким чином, ми можемо обчислити точне значення відповідного інтеграла.

Наприклад, якщо ми хочемо оцінити певний інтеграл,$\int_1^4 (2x+1) \, dx\text{,}$ ми спостерігаємо, що область, обмежена цією функцією і$x$ -віссю, є трапецією, показаною на малюнку 4.3.6. За формулою для площі трапеції,$A = \frac{1}{2}(3+9) \cdot 3 = 18\text{,}$ так

$$\int_1^4 (2x+1) \, dx = 18\text{.} \nonumber$$

Малюнок 4.3.6. Площа обмежена$f(x)=2x+1$ і$x$ -вісь на інтервалі$[1,4]\text{.}$

Активність 4.3.2

Використовуйте відомі геометричні формули та інтерпретацію чистої підписаної площі певного інтеграла для оцінки кожного з визначених інтегралів нижче.

1. $\displaystyle \int_0^1 3x \, dx$
2. $\displaystyle \int_{-1}^4 (2-2x) \, dx$
3. $\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$
4. $\int_{-3}^4 g(x) \, dx\text{,}$де$g$ - функція, зображена на малюнку 4.3.7. Припустімо$g$, що кожна частина є частиною лінії або частиною кола.

1. 

   Малюнок 4.3.7. Функція$g$ для частини (d). Зверніть увагу, що$g$ це кусково визначено, і кожен шматок функції є частиною кола або частини рядка.

4.3.2 Деякі властивості певного інтеграла

Щодо визначеного інтеграла функції$f$ за інтервал у$[a,b]$ вигляді чистої знакової області, обмеженої$f$ та$x$ -віссю, виявлено декілька стандартних властивостей визначеного інтеграла. Корисно пам'ятати, що певний інтеграл визначається через суми Рімана, які складаються з площ прямокутників.

Для будь-якого дійсного числа$a$ і певного$\int_a^a f(x) \, dx$ інтеграла видно, що жодна область не укладена, тому що інтервал починається і закінчується однією точкою. Отже,

Примітка

Якщо$f$ є неперервною функцією і$a$ є дійсним числом, то$\int_a^a f(x) \,dx = 0\text{.}$

Далі розглянемо результат поділу інтервалу інтеграції. На малюнку 4.3.8 ми бачимо, що

\ begin {збирати*}\ int_a^b f (x)\, dx = A_1,\\ int_b^c f (x)\, dx = A_2,\\ [4pt]\ текст {і}\ int_a^c f (x)\, dx = A_1 + A_2\ текст {,}\ кінець {збирати*}

який ілюструє наступне загальне правило.

Малюнок 4.3.8. Площа, обмежена$y=f(x)$ на інтервалі$[a,c]\text{.}$

Примітка

Якщо$f$ є безперервною функцією і$a\text{,}$$b\text{,}$ і$c$ є дійсними числами, то

$$\int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx\text{.} \nonumber$$

Хоча це правило легко побачити, якщо$a \lt b \lt c\text{,}$ воно насправді тримається взагалі для будь-яких значень$a\text{,}$$b\text{,}$ і$c\text{.}$ Інша властивість певних інтегральних станів, що якщо ми змінимо порядок меж інтегралу, ми змінюємо знак значення інтеграла.

Примітка

Якщо$f$ є безперервною функцією і$a$ і$b$ є дійсними числами, то

$$\int_b^a f(x) \,dx = -\int_a^b f(x) \,dx\text{.} \nonumber$$

Цей результат має сенс, тому що якщо ми інтегруємо від$a$ до$b\text{,}$ то у визначальну суму Рімана, яку ми встановлюємо,$\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}$ а якщо ми$a\text{,}$ інтегруємо від$b$ до ми маємо,$\Delta x = \frac{a-b}{n} = -\frac{b-a}{n}\text{,}$ і це єдина зміна суми, яка використовується для визначення інтеграла.

Є два додаткових корисних властивості певного інтеграла. Коли ми працювали з похідними правилами у главі 2, ми сформулювали постійне множинне правило та правило суми. Нагадаємо, що правило Constant Multiple говорить, що якщо$f$ є диференційованою функцією і$k$ є постійною, то

$$\frac{d}{dx} [kf(x)] = kf'(x)\text{,} \nonumber$$

і правило суми говорить, що якщо$f$ і$g$ є диференційованими функціями, то

$$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.} \nonumber$$

Ці правила корисні тим, що дозволяють індивідуально розібратися з найпростішими частинами певних функцій, скориставшись додаванням і множенням на константу. Іншими словами, процес взяття похідної поважає додавання і множення на константи найпростішим способом.

Виходить, що подібні правила дотримуються для певного інтеграла. Для початку розглянемо функції, зображені на малюнку 4.3.9.

Малюнок 4.3.9. Області, обмежені$y = f(x)$ і$y = 2f(x)$ на$[a,b]\text{.}$

Оскільки множення функції на 2 подвоює її висоту при кожному$x$ -значенні, ми бачимо, що висота кожного прямокутника в лівій сумі Рімана подвоюється,$f(x_i)$ для початкової функції,$2f(x_i)$ в порівнянні з подвоєною функцією. Для областей$A$ і$B\text{,}$ випливає:$B = 2A\text{.}$ Оскільки це вірно незалежно від значення$n$ або типу суми, яку ми використовуємо, ми бачимо, що в межі площа червоної області обмежена$y = 2f(x)$ буде вдвічі більше площі синьої області, обмеженої$y = f(x)\text{.}$ Оскільки немає нічого special про значення в$2$ порівнянні з довільною$k\text{,}$ константою дотримується наступний загальний принцип.

Постійне множинне правило

Якщо$f$ є безперервною функцією і$k$ є будь-яким дійсним числом, то

$$\int_a^b k \cdot f(x) \,dx = k \int_a^b f(x) \,dx\text{.} \nonumber$$

Аналогічну ситуацію ми бачимо з сумою двох функцій$f$ і$g\text{.}$

Малюнок 4.3.10. Області, обмежені$y = f(x)$ і$y = g(x)$ далі$[a,b]\text{,}$, а також область, обмежена$y = f(x) + g(x)\text{.}$

Якщо взяти суму двох функцій$f$ і в кожній$g$ точці інтервалу, висота функції$f+g$ задається$(f+g)(x_i) = f(x_i) + g(x_i)\text{.}$ Отже, для зображених прямокутників з областями$A\text{,}$$B\text{,}$ і$C\text{,}$ випливає, що$C = A + B\text{.}$ Тому що це буде відбуватися для кожного такого прямокутник, в межі площа сірої області буде сумою площ синьої і червоної областей. З точки зору певних інтегралів ми маємо наступне загальне правило.

Правило суми

Якщо$f$ і$g$ є безперервними функціями, то

$$\int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \nonumber$$

Правила постійної множини та суми можуть бути об'єднані, щоб сказати, що для будь-яких безперервних функцій$f$$g$ і будь-яких констант$c$ і$k\text{,}$

$$\int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \nonumber$$

Активність 4.3.3

Припустимо, що відома наступна інформація про функції$f\text{,}$$g\text{,}$$x^2\text{,}$ і$x^3\text{:}$

• $\int_0^2 f(x) \, dx = -3\text{;}$$\int_2^5 f(x) \, dx = 2$
• $\int_0^2 g(x) \, dx = 4\text{;}$$\int_2^5 g(x) \, dx = -1$
• $\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}\text{;}$$\int_2^5 x^2 \, dx = \frac{117}{3}$
• $\int_0^2 x^3 \, dx = 4\text{;}$$\int_2^5 x^3 \, dx = \frac{609}{4}$

Використовуйте надану інформацію та правила, розглянуті в попередньому розділі, для оцінки кожного з наступних визначених інтегралів.

1. $\displaystyle \int_5^2 f(x) \, dx$
2. $\displaystyle \int_0^5 g(x) \, dx$
3. $\displaystyle \int_0^5 (f(x) + g(x))\, dx$
4. $\displaystyle \int_2^5 (3x^2 - 4x^3) \, dx$
5. $\displaystyle \int_5^0 (2x^3 - 7g(x)) \, dx$

4.3.3 Як певний інтеграл пов'язаний із середнім значенням функції

Одним з найбільш цінних застосувань певного інтеграла є те, що він забезпечує спосіб обговорити середнє значення функції, навіть для функції, яка приймає нескінченно багато значень. Нагадаємо, що якщо ми хочемо взяти середнє значення$n$ чисел,$y_1\text{,}$$y_2\text{,}$$\ldots\text{,}$$y_n\text{,}$ ми обчислюємо

$$AVG = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}\text{.} \nonumber$$

Оскільки інтеграли виникають із сум Рімана, в які ми додаємо$n$ значення функції, не повинно дивуватися, що оцінка інтеграла подібна до усереднення вихідних значень функції. Розглянемо, наприклад, праву суму$R_n$ Рімана функції$f\text{,}$, яка задається

$$R_n = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \cdots + f(x_n) \Delta x = (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\Delta x\text{.} \nonumber$$

Так як$\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}$ ми можемо таким чином писати

$$\begin{align} R_n =\mathstrut & (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\cdot \frac{b-a}{n}\notag\\[4pt] =\mathstrut & (b-a) \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.}\label{E-RAvg}\tag{4.3.1} \end{align}$$

Ми бачимо, що права сума Рімана з$n$ підінтервалами - це всього лише довжина інтервалу, що$(b-a)$ перевищує середнє значення$n$ функції, знайденого в правих кінцевих точках. І так само, як з нашими зусиллями обчислити площу, чим більше значення$n$ ми використовуємо, тим точніше буде наше середнє значення. Дійсно, ми визначимо середнє значення$f$ on$[a,b]$ to be

$$f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.} \nonumber$$

Але ми також знаємо, що для будь-якої неперервної функції$f$ на$[a,b]\text{,}$ взяття межі суми Рімана призводить саме до певного інтегралу. Тобто,$\lim_{n \to \infty} R_n = \int_a^b f(x) \, dx\text{,}$ і, таким чином, приймаючи межу, як$n \to \infty$ у Рівнянні (4.3.1), ми маємо це

$$\int_a^b f(x) \, dx = (b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}\label{naf}\tag{4.3.2}$$

Рішення рівняння (4.3.2) для$f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}$ нас є наступний загальний принцип.

Середнє значення функції

Якщо$f$ є неперервною функцією on,$[a,b]\text{,}$ то її середнє значення on$[a,b]$ задається за формулою.

$$f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber$$

Рівняння (4.3.2) говорить нам ще один спосіб інтерпретації певного інтеграла: певний інтеграл функції$f$ від$a$ до$b$ - це довжина інтервалу, що$(b-a)$ перевищує середнє значення функції на інтервалі. Крім того, коли функція$f$ невід'ємна на$[a,b]\text{,}$ Рівняння (4.3.2) має природну візуальну інтерпретацію.

Малюнок 4.3.11. $y = f(x)\text{,}$Функція - площа, яку вона межує, і її середнє значення на$[a,b]\text{.}$

Розглянемо малюнок 4.3.11, де ми бачимо ліворуч затінену область, площа якої знаходиться$\int_a^b f(x) \, dx\text{,}$ в центрі затіненого прямокутника, розміри якого$f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}$ і праворуч ці дві фігури накладаються.$(b-a)$ Зверніть увагу, що темно-зеленим кольором ми показуємо горизонтальну лінію.$y = f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}$ Таким чином, площа зеленого прямокутника задається$(b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}$ саме$\int_a^b f(x) \, dx\text{.}$ значенням Площа синьої області на лівій фігурі така ж, як і площа зеленого прямокутника на центральній фігурі. Ми також можемо спостерігати, що області$A_1$ і$A_2$ в крайньому правому малюнку здаються рівними. Таким чином, знання середнього значення функції дозволяє побудувати прямокутник, площа якого збігається зі значенням певного інтеграла функції на інтервалі. Аплет java ³ за адресою http://gvsu.edu/s/az надає можливість вивчити, як змінюється середнє значення функції при зміні інтервалу, через зображення, подібне до того, що знаходиться на малюнку 4.3.11.

Девід Остін, http://gvsu.edu/s/5r.

Активність 4.3.4

Припустимо, що$v(t) = \sqrt{4-(t-2)^2}$ говорить нам миттєва швидкість рухомого об'єкта на інтервалі,$0 \le t \le 4\text{,}$ де$t$ вимірюється в хвилинах і$v$ вимірюється в метрах в хвилину.

1. Намалюйте точний графік$y = v(t)\text{.}$ Що це за крива$y = \sqrt{4-(t-2)^2}\text{?}$
2. Оцініть$\int_0^4 v(t) \, dt$ точно.
3. З точки зору фізичної задачі рухомого об'єкта зі швидкістю$v(t)\text{,}$ який сенс$\int_0^4 v(t) \, dt\text{?}$ Включити одиниці на вашу відповідь.
4. Визначте точне середнє значення$v(t)$ на$[0,4]\text{.}$ Включити одиниці у вашій відповіді.
5. Намалюйте прямокутник, основою якого є відрізок лінії від$t=0$ до$t = 4$ на$t$ осі -так, щоб площа прямокутника дорівнювала значенню$\int_0^4 v(t) \, dt\text{.}$ Яка точна висота прямокутника?
6. Як ви можете використовувати середнє значення, яке ви знайшли в (d), для обчислення загальної відстані, пройденої рухомим об'єктом над$[0,4]\text{?}$

4.3.4 Резюме

• Будь-яка сума Рімана неперервної функції$f$ на інтервалі$[a,b]$ дає оцінку чистої знакової площі, обмеженої функцією, і горизонтальної осі на інтервалі. Збільшення кількості субінтервалів у сумі Рімана підвищує точність цієї оцінки, а збільшення кількості субінтервалів без зв'язків призводить до того, що значення відповідних сум Рімана наближаються до точного значення вкладеної чистої підписаної площі.
• Коли ми беремо межу сум Рімана, ми приходимо до того, що ми називаємо певним інтегралом$f$ над інтервалом.$[a,b]\text{.}$ Зокрема, символ$\int_a^b f(x) \, dx$ позначає певний інтеграл$f$ понад,$[a,b]\text{,}$ і ця величина визначається рівнянням
  $$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \nonumber$$

  де$\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}$$x_i = a + i\Delta x$ (для$i = 0, \ldots, n$), і$x_i^*$ задовольняє$x_{i-1} \le x_i^* \le x_i$ (для$i = 1, \ldots, n$).

• Певний інтеграл$\int_a^b f(x) \,dx$ вимірює точну сітку підписану площу, обмежену$f$ і горизонтальну вісь на, крім$[a,b]\text{;}$ того, значення певного інтеграла пов'язане з тим, що ми називаємо середнім значенням функції на$[a,b]\text{:}$$f_{\text{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.}$ У налаштуванні, де ми розглядаємо інтеграл. функції швидкості$v\text{,}$$\int_a^b v(t) \,dt$ вимірює точну зміну положення рухомого об'єкта,$[a,b]\text{;}$ коли$v$ невід'ємний, -$\int_a^b v(t) \,dt$ це відстань об'єкта, пройденого на$[a,b]\text{.}$
• Певний інтеграл є складною сумою, і, таким чином, має деякі з тих самих природних властивостей, які мають кінцеві суми. Мабуть, найважливішим з них є те, як певний інтеграл поважає суми та постійні кратні функцій, які можна узагальнити правилом
  $$\int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx \nonumber$$

  де$f$ і$g$ є неперервними функціями на$[a,b]$ і$c$ і$k$ є довільними константами.