1.4: Похідна функція

Мотивуючі питання

• Як граничне визначення похідної функції\(f\) призводить до абсолютно нової (але пов'язаної) функції\(f'\text{?}\)
• У чому різниця між письмом\(f'(a)\) і\(f'(x)\text{?}\)
• Як графік похідної функції\(f'(x)\) пов'язаний з графом\(f(x)\text{?}\)
• Які приклади функцій\(f\) для яких не\(f'\) визначено в одній або декількох точках?

Тепер ми знаємо, що миттєва швидкість зміни функції\(f(x)\) при\(x = a\text{,}\) або еквівалентно нахилі дотичної прямої до графіка\(y = f(x)\) at\(x = a\text{,}\) задається значенням\(f'(a)\text{.}\) У всіх наших прикладах поки що ми визначили певне значення\(a\) як наша точка інтерес:\(a = 1\text{,}\)\(a = 3\text{,}\) і т.д. але не важко уявити, що нас часто буде цікавити похідне значення для більш ніж одного\(a\) -значення, і, можливо, для багатьох з них. У цьому розділі ми досліджуємо, як ми можемо перейти від обчислення похідної в одній точці до обчислення формули для\(f'(a)\) будь-якої точки.\(a\text{.}\) Дійсно, процес «взяття похідної» генерує нову функцію, позначену\(f'(x)\text{,}\) похідною від початкової функції\(f(x)\text{.}\)

Попередній перегляд активності 1.4.1

Розглянемо функцію\(f(x) = 4x - x^2\text{.}\)

1. Використовуйте визначення межі для обчислення похідних значень:\(f'(0)\text{,}\)\(f'(1)\text{,}\)\(f'(2)\text{,}\) і\(f'(3)\text{.}\)
2. Зверніть увагу, що робота для пошуку\(f'(a)\) однакова, незалежно від значення\(a\text{.}\) Виходячи з вашої роботи в (а), те, що ви здогадуєтеся, є значенням\(f'(4)\text{?}\) Як приблизно\(f'(5)\text{?}\) (Примітка: ви не повинні використовувати граничне визначення похідної, щоб знайти будь-яке значення.)
3. Припущення формула для\(f'(a)\) цього залежить тільки від значення\(a\text{.}\) Тобто, так само, як у нас є формула для\(f(x)\) (відкликання\(f(x) = 4x - x^2\)), подивіться, чи можете ви використовувати вашу роботу вище, щоб вгадати формулу для з\(f'(a)\) точки зору\(a\text{.}\)

1.4.1 Як похідна сама по собі є функцією

У вашій роботі в Preview Activity 1.4.1 з\(f(x) = 4x - x^2\text{,}\) вами може виявитися кілька закономірностей. Один походить від спостереження\(f'(3) = -2\text{.}\), що\(f'(0) = 4\text{,}\)\(f'(1) = 2\text{,}\)\(f'(2) = 0\text{,}\) і Ця послідовність значень призводить нас природно до здогадок, що\(f'(4) = -4\) і\(f'(5) = -6\text{.}\) Ми також спостерігаємо, що конкретне значення\(a\) має дуже мало впливає на процес обчислення значення похідної. через визначення ліміту. Щоб побачити це більш чітко, ми обчислюємо,\(f'(a)\text{,}\) де\(a\) представляє число, яке буде названо пізніше. Після тепер стандартного процесу використання граничного визначення похідної,

\ почати {вирівнювати*} f' (a) =\ mathstrut &\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (a + h) - f (a)} {h} =\ lim_ {h\ to 0}\ frac {4 (a + h) - (a + h) ^2 - (4a-a^2)} {h}\ [4pt] = математична структура &\ lim_ {h\ to 0}\ розрив {4a + 4h - a^2 - 2га - h^2 - 4a+a^2} {h} =\ lim_ {h\ to 0}\ frac {4h - 2h^2} {h}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ lim_ {h\ to 0}\ гідророзриву {h ( 4 - 2а - ч)} {h} =\ lim_ {h\ to 0} (4 - 2a - h)\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Тут ми спостерігаємо, що\(4\) ні\(2a\) залежать від вартості\(h\text{,}\) так, як\(h \to 0\text{,}\)\((4 - 2a - h) \to (4 - 2a)\text{.}\) Таким чином,\(f'(a) = 4 - 2a\text{.}\)

Цей результат узгоджується з конкретними значеннями, які ми знайшли вище: наприклад,\(f'(3) = 4 - 2(3) = -2\text{.}\) І дійсно, наша робота підтверджує, що значення майже не\(a\) має ніякого відношення до процесу обчислення похідної. Відзначимо далі, що використовувана буква несуттєва: називаємо ми її\(a\text{,}\)\(x\text{,}\) або що-небудь ще, похідна при заданому значенні просто задається «4 мінус 2 рази більше значення». Ми вирішили використовувати\(x\) для узгодженості з початковою функцією, заданою, а\(y = f(x)\text{,}\) також для графіків похідної функції. Для функції\(f(x) = 4x - x^2\text{,}\) випливає, що\(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\)

Оскільки значення похідної функції пов'язане з графіком вихідної функції, має сенс подивитися на обидві ці функції, побудовані на одній області.

Малюнок 1.4.1. Графіки\(f(x) = 4x - x^2\) (зліва) і\(f'(x) = 4 - 2x\) (праворуч). Нахили на графіку\(f\) відповідають висотам на графіку\(f'\text{.}\)

На малюнку 1.4.1 зліва ми показуємо графік\(f(x) = 4x - x^2\) разом з виділенням дотичних ліній в точках, які ми розглянули вище. Праворуч ми показуємо графік\(f'(x) = 4 - 2x\) з акцентом на висотах похідного графіка при однаковому виборі точок. Зверніть увагу на зв'язок між кольорами на лівому і правому графіках: зелена дотична лінія на вихідному графіку прив'язується до зеленої точки на правому графіку наступним чином: нахил дотичної лінії в точці лівого графіка такий же, як висота на відповідна точка на правій графі. Тобто при кожному відповідному значенні\(x\text{,}\) нахилу дотичної лінії до вихідної функції збігається з висотою похідної функції. Зверніть увагу, однак, що одиниці на вертикальних осях різні: на лівому графіку вертикальні одиниці - це просто вихідні одиниці\(f\text{.}\) На правому графіку одиниць\(y = f'(x)\text{,}\) на вертикальній осі є одиницями на одиницю\(f\)\(x\text{.}\)

Відмінний спосіб вивчити, як графік\(f(x)\) генерує графік\(f'(x)\) є через java аплет. Дивіться, наприклад, аплети на http://gvsu.edu/s/5C або http://gvsu.edu/s/5D, через сайти Остіна та Рено ¹.

Девід Остін, http://gvsu.edu/s/5r; Марк Рено, http://gvsu.edu/s/5p.

У розділі 1.3, коли ми вперше визначили похідну, ми написали визначення з точки зору значення,\(a\) щоб знайти\(f'(a)\text{.}\) Як ми бачили вище, лист\(a\) є лише заповнювачем, і це часто має більше сенсу використовувати\(x\) замість цього. Для запису тут ми повторюємо визначення похідної.

Визначення 1.4.2

\(f\)Дозволяти функція і\(x\) значення в області функції. Визначимо похідну від\(f\), нової функції, яка викликається за\(f'\text{,}\) формулою за\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) умови, що ця межа існує.

Тепер у нас є два різних способи мислення про похідну функцію:

1. задано графік того,\(y = f(x)\text{,}\) як цей графік веде до графіка похідної функції\(y = f'(x)\text{?}\) та
2. задано формулу\(y = f(x)\text{,}\) того, як граничне визначення похідної генерує формулу для\(y = f'(x)\text{?}\)

Обидва ці питання досліджуються в наступних заходах.

Діяльність 1.4.2

Для кожного заданого графіка\(y = f(x)\text{,}\) ескізу наведено приблизний графік його похідної функції,\(y = f'(x)\text{,}\) на осях безпосередньо нижче. Масштаб сітки для графіка вважається,\(1 \times 1\text{;}\) що горизонтальний масштаб сітки для графіка ідентичний такому для\(f\text{.}\) Якщо необхідно, відрегулюйте та позначте вертикальну шкалу на осях для\(f\)\(f'\)\(f'\text{.}\)

Коли ви закінчите з усіма 8 графіками, напишіть кілька пропозицій, які описують ваш загальний процес ескізу графіка похідної функції, враховуючи графік вихідної функції. Які значення похідної функції, які ви схильні ідентифікувати в першу чергу? Що ви робите після цього? Як ключові риси графа похідної функції є прикладом властивостей графіка вихідної функції?

Для динамічного дослідження, що дозволяє експериментувати з графіком,\(f'\) якщо задано графік\(f\text{,}\) див. http://gvsu.edu/s/8y. ²

Марк Renault, Аплети обчислення за допомогою Geogebra.

Тепер нагадаємо вступний приклад цього розділу: ми почали з функції\(y = f(x) = 4x - x^2\) і використовували граничне визначення похідної, щоб показати, що\(f'(a) = 4 - 2a\text{,}\) або еквівалентно, що\(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\) Ми згодом графували функції\(f\) і\(f'\) як показано на малюнку 1.4.1. Після діяльності 1.4.2, ми тепер розуміємо, що ми могли б побудувати досить точний графік,\(f'(x)\) не знаючи формули ні для одного,\(f\) або\(f'\text{.}\) в той же час корисно знати формулу для похідної функції, коли це можливо знайти.

У наступному занятті ми далі досліджуємо більш алгебраїчний підхід до знаходження\(f'(x)\text{:}\) заданої формули граничного визначення похідної для розробки формули\(y = f(x)\text{,}\)\(f'(x)\text{.}\)

Активність 1.4.3

Для кожної з перерахованих функцій визначте формулу похідної функції. Для перших двох визначте формулу для похідної, думаючи про природу даної функції і її нахилі в різних точках; не використовуйте граничне визначення. Для останніх чотирьох скористайтеся визначенням межі. Зверніть пильну увагу на імена функцій і незалежні змінні. Важливо, щоб було зручно використовувати літери, крім\(f\) і\(x\text{.}\) Наприклад, задану функцію\(p(z)\text{,}\) ми називаємо її похідною\(p'(z)\text{.}\)

1. \(\displaystyle f(x) = 1\)
2. \(\displaystyle g(t) = t\)
3. \(\displaystyle p(z) = z^2\)
4. \(\displaystyle q(s) = s^3\)
5. \(\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}\)
6. \(\displaystyle G(y) = \sqrt{y}\)

1.4.2 Резюме

• Визначення граничного значення похідної\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) дає значення для кожного,\(x\) при якому визначається похідна, і це призводить до нової функції Особливо\(y = f'(x)\text{.}\) важливо відзначити, що прийняття похідної - це процес, який починається з заданої функції (\(f\)) і виробляє нову, пов'язана функція (\(f'\)).
• Існує по суті ніякої різниці між написанням\(f'(a)\) (як ми робили регулярно в розділі 1.3) і написанням\(f'(x)\text{.}\) У будь-якому випадку змінна є лише заповнювачем, який використовується для визначення правила для похідної функції.
• Враховуючи графік функції,\(y = f(x)\text{,}\) ми можемо намалювати приблизний графік її похідної,\(y = f'(x)\) спостерігаючи, що висоти на графі похідної відповідають нахилам на графіку вихідної функції.
• У Діяльності 1.4.2 ми зіткнулися з деякими функціями, які мали гострі кути на своїх графіках, наприклад, зсунута функція абсолютного значення. У таких точках похідна не існує, і ми говоримо, що\(f\) там не диференційована. Наразі достатньо зрозуміти це як наслідок стрибка, який повинен відбутися в похідній функції при гострому куті на графіку вихідної функції.