1.4: Похідна функція

Мотивуючі питання

• Як граничне визначення похідної функції$f$ призводить до абсолютно нової (але пов'язаної) функції$f'\text{?}$
• У чому різниця між письмом$f'(a)$ і$f'(x)\text{?}$
• Як графік похідної функції$f'(x)$ пов'язаний з графом$f(x)\text{?}$
• Які приклади функцій$f$ для яких не$f'$ визначено в одній або декількох точках?

Тепер ми знаємо, що миттєва швидкість зміни функції$f(x)$ при$x = a\text{,}$ або еквівалентно нахилі дотичної прямої до графіка$y = f(x)$ at$x = a\text{,}$ задається значенням$f'(a)\text{.}$ У всіх наших прикладах поки що ми визначили певне значення$a$ як наша точка інтерес:$a = 1\text{,}$$a = 3\text{,}$ і т.д. але не важко уявити, що нас часто буде цікавити похідне значення для більш ніж одного$a$ -значення, і, можливо, для багатьох з них. У цьому розділі ми досліджуємо, як ми можемо перейти від обчислення похідної в одній точці до обчислення формули для$f'(a)$ будь-якої точки.$a\text{.}$ Дійсно, процес «взяття похідної» генерує нову функцію, позначену$f'(x)\text{,}$ похідною від початкової функції$f(x)\text{.}$

Попередній перегляд активності 1.4.1

Розглянемо функцію$f(x) = 4x - x^2\text{.}$

1. Використовуйте визначення межі для обчислення похідних значень:$f'(0)\text{,}$$f'(1)\text{,}$$f'(2)\text{,}$ і$f'(3)\text{.}$
2. Зверніть увагу, що робота для пошуку$f'(a)$ однакова, незалежно від значення$a\text{.}$ Виходячи з вашої роботи в (а), те, що ви здогадуєтеся, є значенням$f'(4)\text{?}$ Як приблизно$f'(5)\text{?}$ (Примітка: ви не повинні використовувати граничне визначення похідної, щоб знайти будь-яке значення.)
3. Припущення формула для$f'(a)$ цього залежить тільки від значення$a\text{.}$ Тобто, так само, як у нас є формула для$f(x)$ (відкликання$f(x) = 4x - x^2$), подивіться, чи можете ви використовувати вашу роботу вище, щоб вгадати формулу для з$f'(a)$ точки зору$a\text{.}$

1.4.1 Як похідна сама по собі є функцією

У вашій роботі в Preview Activity 1.4.1 з$f(x) = 4x - x^2\text{,}$ вами може виявитися кілька закономірностей. Один походить від спостереження$f'(3) = -2\text{.}$, що$f'(0) = 4\text{,}$$f'(1) = 2\text{,}$$f'(2) = 0\text{,}$ і Ця послідовність значень призводить нас природно до здогадок, що$f'(4) = -4$ і$f'(5) = -6\text{.}$ Ми також спостерігаємо, що конкретне значення$a$ має дуже мало впливає на процес обчислення значення похідної. через визначення ліміту. Щоб побачити це більш чітко, ми обчислюємо,$f'(a)\text{,}$ де$a$ представляє число, яке буде названо пізніше. Після тепер стандартного процесу використання граничного визначення похідної,

\ почати {вирівнювати*} f' (a) =\ mathstrut &\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (a + h) - f (a)} {h} =\ lim_ {h\ to 0}\ frac {4 (a + h) - (a + h) ^2 - (4a-a^2)} {h}\ [4pt] = математична структура &\ lim_ {h\ to 0}\ розрив {4a + 4h - a^2 - 2га - h^2 - 4a+a^2} {h} =\ lim_ {h\ to 0}\ frac {4h - 2h^2} {h}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ lim_ {h\ to 0}\ гідророзриву {h ( 4 - 2а - ч)} {h} =\ lim_ {h\ to 0} (4 - 2a - h)\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Тут ми спостерігаємо, що$4$ ні$2a$ залежать від вартості$h\text{,}$ так, як$h \to 0\text{,}$$(4 - 2a - h) \to (4 - 2a)\text{.}$ Таким чином,$f'(a) = 4 - 2a\text{.}$

Цей результат узгоджується з конкретними значеннями, які ми знайшли вище: наприклад,$f'(3) = 4 - 2(3) = -2\text{.}$ І дійсно, наша робота підтверджує, що значення майже не$a$ має ніякого відношення до процесу обчислення похідної. Відзначимо далі, що використовувана буква несуттєва: називаємо ми її$a\text{,}$$x\text{,}$ або що-небудь ще, похідна при заданому значенні просто задається «4 мінус 2 рази більше значення». Ми вирішили використовувати$x$ для узгодженості з початковою функцією, заданою, а$y = f(x)\text{,}$ також для графіків похідної функції. Для функції$f(x) = 4x - x^2\text{,}$ випливає, що$f'(x) = 4 - 2x\text{.}$

Оскільки значення похідної функції пов'язане з графіком вихідної функції, має сенс подивитися на обидві ці функції, побудовані на одній області.

Малюнок 1.4.1. Графіки$f(x) = 4x - x^2$ (зліва) і$f'(x) = 4 - 2x$ (праворуч). Нахили на графіку$f$ відповідають висотам на графіку$f'\text{.}$

На малюнку 1.4.1 зліва ми показуємо графік$f(x) = 4x - x^2$ разом з виділенням дотичних ліній в точках, які ми розглянули вище. Праворуч ми показуємо графік$f'(x) = 4 - 2x$ з акцентом на висотах похідного графіка при однаковому виборі точок. Зверніть увагу на зв'язок між кольорами на лівому і правому графіках: зелена дотична лінія на вихідному графіку прив'язується до зеленої точки на правому графіку наступним чином: нахил дотичної лінії в точці лівого графіка такий же, як висота на відповідна точка на правій графі. Тобто при кожному відповідному значенні$x\text{,}$ нахилу дотичної лінії до вихідної функції збігається з висотою похідної функції. Зверніть увагу, однак, що одиниці на вертикальних осях різні: на лівому графіку вертикальні одиниці - це просто вихідні одиниці$f\text{.}$ На правому графіку одиниць$y = f'(x)\text{,}$ на вертикальній осі є одиницями на одиницю$f$$x\text{.}$

Відмінний спосіб вивчити, як графік$f(x)$ генерує графік$f'(x)$ є через java аплет. Дивіться, наприклад, аплети на http://gvsu.edu/s/5C або http://gvsu.edu/s/5D, через сайти Остіна та Рено ¹.

Девід Остін, http://gvsu.edu/s/5r; Марк Рено, http://gvsu.edu/s/5p.

У розділі 1.3, коли ми вперше визначили похідну, ми написали визначення з точки зору значення,$a$ щоб знайти$f'(a)\text{.}$ Як ми бачили вище, лист$a$ є лише заповнювачем, і це часто має більше сенсу використовувати$x$ замість цього. Для запису тут ми повторюємо визначення похідної.

Визначення 1.4.2

$f$Дозволяти функція і$x$ значення в області функції. Визначимо похідну від$f$, нової функції, яка викликається за$f'\text{,}$ формулою за$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}$ умови, що ця межа існує.

Тепер у нас є два різних способи мислення про похідну функцію:

1. задано графік того,$y = f(x)\text{,}$ як цей графік веде до графіка похідної функції$y = f'(x)\text{?}$ та
2. задано формулу$y = f(x)\text{,}$ того, як граничне визначення похідної генерує формулу для$y = f'(x)\text{?}$

Обидва ці питання досліджуються в наступних заходах.

Діяльність 1.4.2

Для кожного заданого графіка$y = f(x)\text{,}$ ескізу наведено приблизний графік його похідної функції,$y = f'(x)\text{,}$ на осях безпосередньо нижче. Масштаб сітки для графіка вважається,$1 \times 1\text{;}$ що горизонтальний масштаб сітки для графіка ідентичний такому для$f\text{.}$ Якщо необхідно, відрегулюйте та позначте вертикальну шкалу на осях для$f$$f'$$f'\text{.}$

Коли ви закінчите з усіма 8 графіками, напишіть кілька пропозицій, які описують ваш загальний процес ескізу графіка похідної функції, враховуючи графік вихідної функції. Які значення похідної функції, які ви схильні ідентифікувати в першу чергу? Що ви робите після цього? Як ключові риси графа похідної функції є прикладом властивостей графіка вихідної функції?

Для динамічного дослідження, що дозволяє експериментувати з графіком,$f'$ якщо задано графік$f\text{,}$ див. http://gvsu.edu/s/8y. ²

Марк Renault, Аплети обчислення за допомогою Geogebra.

Тепер нагадаємо вступний приклад цього розділу: ми почали з функції$y = f(x) = 4x - x^2$ і використовували граничне визначення похідної, щоб показати, що$f'(a) = 4 - 2a\text{,}$ або еквівалентно, що$f'(x) = 4 - 2x\text{.}$ Ми згодом графували функції$f$ і$f'$ як показано на малюнку 1.4.1. Після діяльності 1.4.2, ми тепер розуміємо, що ми могли б побудувати досить точний графік,$f'(x)$ не знаючи формули ні для одного,$f$ або$f'\text{.}$ в той же час корисно знати формулу для похідної функції, коли це можливо знайти.

У наступному занятті ми далі досліджуємо більш алгебраїчний підхід до знаходження$f'(x)\text{:}$ заданої формули граничного визначення похідної для розробки формули$y = f(x)\text{,}$$f'(x)\text{.}$

Активність 1.4.3

Для кожної з перерахованих функцій визначте формулу похідної функції. Для перших двох визначте формулу для похідної, думаючи про природу даної функції і її нахилі в різних точках; не використовуйте граничне визначення. Для останніх чотирьох скористайтеся визначенням межі. Зверніть пильну увагу на імена функцій і незалежні змінні. Важливо, щоб було зручно використовувати літери, крім$f$ і$x\text{.}$ Наприклад, задану функцію$p(z)\text{,}$ ми називаємо її похідною$p'(z)\text{.}$

1. $\displaystyle f(x) = 1$
2. $\displaystyle g(t) = t$
3. $\displaystyle p(z) = z^2$
4. $\displaystyle q(s) = s^3$
5. $\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}$
6. $\displaystyle G(y) = \sqrt{y}$

1.4.2 Резюме

• Визначення граничного значення похідної$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}$ дає значення для кожного,$x$ при якому визначається похідна, і це призводить до нової функції Особливо$y = f'(x)\text{.}$ важливо відзначити, що прийняття похідної - це процес, який починається з заданої функції ($f$) і виробляє нову, пов'язана функція ($f'$).
• Існує по суті ніякої різниці між написанням$f'(a)$ (як ми робили регулярно в розділі 1.3) і написанням$f'(x)\text{.}$ У будь-якому випадку змінна є лише заповнювачем, який використовується для визначення правила для похідної функції.
• Враховуючи графік функції,$y = f(x)\text{,}$ ми можемо намалювати приблизний графік її похідної,$y = f'(x)$ спостерігаючи, що висоти на графі похідної відповідають нахилам на графіку вихідної функції.
• У Діяльності 1.4.2 ми зіткнулися з деякими функціями, які мали гострі кути на своїх графіках, наприклад, зсунута функція абсолютного значення. У таких точках похідна не існує, і ми говоримо, що$f$ там не диференційована. Наразі достатньо зрозуміти це як наслідок стрибка, який повинен відбутися в похідній функції при гострому куті на графіку вихідної функції.