1.2: Поняття межі

Мотивуючі питання

• Що таке математичне поняття межі і яку роль відіграють межі при вивченні функцій?
• У чому сенс позначень\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{?}\)
• Як ми йдемо про визначення значення межі функції в точці?
• Як ми маніпулюємо середньою швидкістю для обчислення миттєвої швидкості?

У розділі 1.1 ми використовували функцію\(s(t)\text{,}\) для моделювання розташування рухомого об'єкта в даний момент часу. Функції можуть моделювати інші цікаві явища, такі як швидкість, з якою автомобіль споживає бензин із заданою швидкістю, або реакцію пацієнта на задану дозу препарату. Ми можемо використовувати обчислення для вивчення того, як змінюється значення функції у відповідь на зміни вхідної змінної.

Подумайте про падаючу кульку, функція положення якого задається\(s(t) = 64 - 16t^2\text{.}\) його середня швидкість на проміжку\([1,x]\) задається

\[ AV_{[1,x]} = \frac{s(x) - s(1)}{x-1} = \frac{(64-16x^2) - (64-16)}{x-1} = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\text{.} \nonumber \]

Зверніть увагу, що середня швидкість є функцією\(x\text{.}\) Тобто функція\(g(x) = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\) говорить нам середню швидкість кулі на інтервалі від\(t = 1\) до\(t = x\text{.}\) Щоб знайти миттєву швидкість кулі, коли\(t = 1\text{,}\) нам потрібно знати, що відбувається з\(g(x)\) як\(x\) отримує ближче і ближче до\(1\text{.}\) Але також зверніть увагу,\(g(1)\) що не визначено, тому що це призводить до частки\(0/0\text{.}\)

Ось тут і приходить поняття межі. Використовуючи ліміт, ми можемо досліджувати поведінку\(g(x)\) як\(x\) отримує довільно близько, але не дорівнює, до\(1\text{.}\) Ми спочатку використовуємо графік функції для вивчення точок, де відбувається цікава поведінка.

Попередній перегляд активності 1.2.1.

Припустимо, що\(g\) це функція, задана графіком нижче. Використовуйте графік на малюнку 1.2.1, щоб відповісти на кожне з наступних питань.

1. Визначте значення\(g(-2)\text{,}\)\(g(-1)\text{,}\)\(g(0)\text{,}\)\(g(1)\text{,}\) і\(g(2)\text{,}\) якщо визначено. Якщо значення функції не визначено, поясніть, яка особливість графіка говорить вам про це.
2. Для кожного з значень\(a = -1\text{,}\)\(a = 0\text{,}\) і\(a = 2\text{,}\) заповніть наступне речення: «Як\(x\) стає все ближче і ближче (але не дорівнює), щоб\(a\text{,}\)\(g(x)\) наблизитися, як ми хочемо».
3. Що відбувається,\(x\) коли стає все ближче і ближче (але не дорівнює) до\(a = 1\text{?}\) Чи функція\(g(x)\) наближається до одного значення, як ми хотіли б?

Малюнок 1.2.1. \(y = g(x)\)Графік активності попереднього перегляду 1.2.1.

1.2.1. Поняття межі

Межі дають нам спосіб визначити тенденцію у значеннях функції, оскільки її вхідна змінна наближається до певного значення, яке цікавить. Нам потрібно чітке розуміння того, що означає сказати «функція\(f\) має межу\(L\) як\(x\) підходи\(a\text{.}\)» Для початку подумайте про недавній приклад.

У Preview Activity 1.2.1, ми побачили, що, як\(x\) стає все ближче і ближче (але не дорівнює) до 0,\(g(x)\) стає так близько, як ми хочемо до значення 4. Спочатку це може здатися неінтуїтивним, тому що значення\(g(0)\) is\(1\text{,}\) not\(4\text{.}\) Але межі описують поведінку функції довільно близькою до фіксованого входу, а значення функції на фіксованому вході не має значення. Більш формально ¹ скажемо наступне.

Далі випливає не те, що математики вважають формальним визначенням межі. Щоб бути повністю точним, необхідно кількісно оцінити як те, що означає сказати «так близько до,\(L\) як нам подобається», так і «досить близько до\(a\text{.}\)» Це може бути досягнуто за допомогою того, що традиційно називається епсилон-дельта визначення меж. Визначення, представлене тут, є достатнім для цілей цього тексту.

Визначення 1.2.2

Враховуючи функцію\(f\text{,}\), фіксований вхід\(x = a\text{,}\) і дійсне число,\(L\text{,}\) ми говоримо, що \(f\)має ліміт\(L\) як\(x\) підходи\(a\), і пишемо

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \nonumber \]

за умови, що ми можемо зробити\(f(x)\) так близько до,\(L\) як нам подобається, взявши\(x\) досить близько (але не дорівнює)\(a\text{.}\) Якщо ми не можемо зробити\(f(x)\) так близько до одного значення, як ми хотіли б, як\(x\) підходи,\(a\text{,}\) то ми говоримо, що \(f\)робить не мають обмеження, як\(x\) підходи\(a\text{.}\)

Приклад 1.2.3

Для функції,\(g\) зображеної на малюнку 1.2.1, зробимо наступні спостереження:

\[ \lim_{x \to -1} g(x) = 3, \ \lim_{x \to 0} g(x) = 4, \ \text{and} \ \lim_{x \to 2} g(x) = 1\text{.} \nonumber \]

При роботі з графіком досить запитати, чи наближається функція до одного значення з кожного боку фіксованого входу. Значення функції на фіксованому вході не має значення. Це міркування пояснює значення трьох меж, зазначених вище.

Однак,\(g\) не має обмеження, як\(x \to 1\text{.}\) Існує стрибок у графіку на\(x = 1\text{.}\) Якщо ми\(x = 1\) підходимо зліва, значення функції, як правило, наближаються до 3, але якщо ми\(x = 1\) наближаємося праворуч, значення функції наближаються до 2. Немає єдиного числа, що всі ці значення функції наближаються. Ось чому межа\(g\) не існує при\(x = 1\text{.}\)

Для будь-якої функції\(f\text{,}\) є, як правило, три способи відповісти на питання «чи\(f\) є обмеження в\(x = a\text{,}\) і якщо так, то який ліміт?» Перший полягає в тому, щоб міркувати графічно, як ми щойно зробили з прикладом з Preview Activity 1.2.1. Якщо у нас є формула для,\(f(x)\text{,}\) є дві додаткові можливості:

1. Оцініть функцію на послідовності входів, які наближаються з обох\(a\) сторін (як правило, використовуючи якусь обчислювальну технологію), і запитайте, чи послідовність виходів, здається, наближається до одного значення.
2. Використовуйте алгебраїчну форму функції, щоб зрозуміти тенденцію в її вихідних значеннях у міру наближення вхідних значень\(a\text{.}\)

Перший підхід виробляє лише наближення значення межі, тоді як останній часто можна використовувати для точного визначення межі.

Приклад 1.2.4. Межі двох функцій

Для кожної з наступних функцій ми хотіли б знати, чи має функція обмеження на зазначені\(a\) -values. Використовуйте як числовий, так і алгебраїчний підходи для дослідження і, якщо можливо, оцінки або визначення значення межі. Порівняйте результати з ретельним графіком функції на інтервалі, що містить цікаві точки.

1. \(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{;}\)\(a = -1\text{,}\)\(a = -2\)
2. \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\text{;}\)\(a = 3\text{,}\)\(a = 0\)

Відповідь

а. спочатку будуємо графік\(f\) поряд з таблицями значень поблизу\(a = -1\) і\(a = -2\text{.}\)

Таблиця 1.2.5. Таблиця\(f\) значень поблизу\(x=-1\text{.}\)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">\(-0.9\)	\ (f (x)\) ">\(2.9\)
\ (x\) ">\(-0.99\)	\ (f (x)\) ">\(2.99\)
\ (x\) ">\(-0.999\)	\ (f (x)\) ">\(2.999\)
\ (x\) ">\(-0.9999\)	\ (f (x)\) ">\(2.9999\)
\ (x\) ">\(-1.1\)	\ (f (x)\) ">\(3.1\)
\ (x\) ">\(-1.01\)	\ (f (x)\) ">\(3.01\)
\ (x\) ">\(-1.001\)	\ (f (x)\) ">\(3.001\)
\ (x\) ">\(-1.0001\)	\ (f (x)\) ">\(3.0001\)

Таблиця 1.2.6. Таблиця\(f\) значень поблизу\(x=-2\text{.}\)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">\(-1.9\)	\ (f (x)\) ">\(3.9\)
\ (x\) ">\(-1.99\)	\ (f (x)\) ">\(3.99\)
\ (x\) ">\(-1.999\)	\ (f (x)\) ">\(3.999\)
\ (x\) ">\(-1.9999\)	\ (f (x)\) ">\(3.9999\)
\ (x\) ">\(-2.1\)	\ (f (x)\) ">\(4.1\)
\ (x\) ">\(-2.01\)	\ (f (x)\) ">\(4.01\)
\ (x\) ">\(-2.001\)	\ (f (x)\) ">\(4.001\)
\ (x\) ">\(-2.0001\)	\ (f (x)\) ">\(4.0001\)

Малюнок 1.2.7. Ділянка\(f(x)\) на\([-4,2]\text{.}\)

З таблиці 1.2.5, здається, що ми можемо зробити\(f\) так близько, як ми хочемо 3, взявши\(x\) досить близько до\(-1\text{,}\) що говорить про те, що\(\lim_{x \to -1} f(x) = 3\text{.}\) Це також узгоджується з графіком\(f\text{.}\) Щоб побачити це трохи більш суворо і з алгебраїчної точки зору, розглянемо формула для\(f\text{:}\)\(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{.}\)\(x \to -1\text{,}\)\((4-x^2) \to (4 - (-1)^2) = 3\text{,}\) As і\((x+2) \to (-1 + 2) = 1\text{,}\) так\(x \to -1\text{,}\), як чисельник\(f\) має тенденцію до 3, а знаменник прагне до 1, отже\(\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{3}{1} = 3\text{.}\)

Ситуація складніша, коли\(x \to -2\text{,}\)\(f(-2)\) тому не визначено. Якщо ми спробуємо використовувати аналогічний алгебраїчний аргумент щодо чисельника та знаменника, ми спостерігаємо, що як\(x \to -2\text{,}\)\((4-x^2) \to (4 - (-2)^2) = 0\text{,}\) і\((x+2) \to (-2 + 2) = 0\text{,}\) так, як\(x \to -2\text{,}\) чисельник і знаменник\(f\) обох, як правило, 0. Називаємо\(0/0\) невизначену форму. Це говорить нам про те, що потрібно зробити якось більше роботи. З таблиці 1.2.6 і рис. 1.2.7 видно, що\(f\) повинен мати межу\(4\) при\(x = -2\text{.}\)

Щоб алгебраїчно побачити, чому це так, зауважте, що

\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to -2} f (x) = &\ lim_ {x\ to -2}\ розрив {4-x^2} {x+2}\ [4pt] = &\ lim_ {x\ to -2}\ frac {(2-х) (2+х)} {x+2}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Важливо зауважити, що, оскільки ми приймаємо межу, оскільки\(x \to -2\text{,}\) ми розглядаємо\(x\) значення, які близькі, але не рівні,\(-2\text{.}\) тому що ми ніколи насправді не\(x\) дозволяємо\(-2\text{,}\) рівним частка\(\frac{2+x}{x+2}\) має значення 1 для кожного можливого значення\(x\text{.}\) Таким чином, ми може спростити найновіший вираз вище, і виявити, що

\[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} 2-x\text{.} \nonumber \]

Цей ліміт тепер легко визначити, і його значення чітко є\(4\text{.}\) Таким чином, з кількох точок зору ми бачили, що\(\lim_{x \to -2} f(x) = 4\text{.}\)

б. далі переходимо до функції\(g\text{,}\) і будуємо дві таблиці і графік.

Таблиця 1.2.8. Таблиця\(g\) значень поблизу\(x=3\text{.}\)

\(x\)	\(g(x)\)
\ (x\) ">\(2.9\)	\ (g (x)\) ">\(0.84864\)
\ (x\) ">\(2.99\)	\ (g (x)\) ">\(0.86428\)
\ (x\) ">\(2.999\)	\ (g (x)\) ">\(0.86585\)
\ (x\) ">\(2.9999\)	\ (g (x)\) ">\(0.86601\)
\ (x\) ">\(3.1\)	\ (g (x)\) ">\(0.88351\)
\ (x\) ">\(3.01\)	\ (g (x)\) ">\(0.86777\)
\ (x\) ">\(3.001\)	\ (g (x)\) ">\(0.86620\)
\ (x\) ">\(3.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0.86604\)

Таблиця 1.2.9. Таблиця\(g\) значень поблизу\(x=0\text{.}\)

\(x\)	\(g(x)\)
\ (x\) ">\(-0.1\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.01\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.1\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.01\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)

Малюнок 1.2.10. Ділянка\(g(x)\) на\([-4,4]\text{.}\)

По-перше, як\(x \to 3\text{,}\) видно зі значень таблиці, що функція наближається до числа між\(0.86601\) і\(0.86604\text{.}\) З графіка виявляється, що\(g(x) \to g(3)\) як\(x \to 3\text{.}\) Точне значення\(g(3) = \sin(\frac{\pi}{3})\) є,\(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}\) що приблизно 0.8660254038. Це переконливий доказ того, що

\[ \lim_{x \to 3} g(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \nonumber \]

Як\(x \to 0\text{,}\) ми спостерігаємо, що\(\frac{\pi}{x}\) не поводиться елементарно. Коли\(x\) позитивний і наближається до нуля, ми ділимо на менші і менші позитивні значення, і\(\frac{\pi}{x}\) збільшується без обмежень. Коли\(x\) негативний і наближається до нуля,\(\frac{\pi}{x}\) зменшується без обмежень. У цьому сенсі, коли ми наближаємося до входів до синусоїдальної функції швидко ростуть, і це призводить до все більш швидких коливань в графіку\(g\) між\(1\) і\(-1\text{.}\) Якщо ми\(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) будуємо функцію графічної утиліти, а потім збільшити на\(x = 0\text{,}\) ми бачимо\(x = 0\text{,}\) що функція ніколи не осідає до одного значення поблизу джерела, що говорить про те, що\(g\) не має обмеження на\(x = 0\text{.}\)

Як ми узгоджуємо графік з правою таблицею вище, що, здається, припускає, що\(g\) межа як\(x\) підходів\(0\) може насправді бути\(0\text{?}\) Дані вводять нас в оману через особливий характер послідовності вхідних значень\(\{0.1, 0.01, 0.001, \ldots\}\text{.}\) Коли ми оцінюємо,\(g(10^{-k})\text{,}\) ми отримуємо \(g(10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{10^{-k}}\right) = \sin(10^k \pi) = 0\)для кожного позитивного цілого значення\(k\text{.}\) Але якщо ми візьмемо іншу послідовність значень, що наближаються до нуля, скажімо,\(\{0.3, 0.03, 0.003, \ldots\}\text{,}\) то ми знаходимо, що

\[ g(3 \cdot 10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{3 \cdot 10^{-k}}\right) = \sin\left(\frac{10^k \pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025\text{.} \nonumber \]

Ця послідовність значень функції говорить про те, що значення межі є\(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Очевидно, що функція не може мати двох різних значень для межі, тому не\(g\) має межі, як\(x \to 0\text{.}\)

Важливий урок, який слід взяти з Прикладу 1.2.4, полягає в тому, що таблиці можуть вводити в оману при визначенні значення межі. Хоча таблиця значень корисна для дослідження можливого значення межі, ми також повинні використовувати інші інструменти для підтвердження значення.

Діяльність 1.2.2

Оцініть значення кожного з наступних меж шляхом побудови відповідних таблиць значень. Потім визначте точне значення межі за допомогою алгебри для спрощення функції. Нарешті, побудуйте кожну функцію на відповідному інтервалі, щоб візуально перевірити ваш результат.

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x-1}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - 8}{x}\)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\)

Нагадаємо, що наша основна мотивація розгляду меж функцій походить від нашого інтересу до вивчення швидкості зміни функції. З цією метою ми закриваємо цей розділ, переглянувши нашу попередню роботу із середньою та миттєвою швидкістю та виділивши роль, яку відіграють обмеження.

Миттєва швидкість

Припустимо, що у нас є рухомий об'єкт, положення якого в часі\(t\) задається функцією\(s\text{.}\) Ми знаємо, що середня швидкість об'єкта на часовому інтервалі\([a,b]\) є\(AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Ми визначаємо миттєву швидкість в\(a\) щоб бути межа середньої швидкості як \(b\)підходи\(a\text{.}\) Зверніть увагу, особливо, що\(b \to a\text{,}\) по мірі тривалості часового інтервалу стає все коротше і коротше (в той час як завжди в тому числі\(a\)). Ми напишемо\(IV_{t=a}\) для миттєвої швидкості при\(t = a\text{,}\) і таким чином

\[ IV_{t=a} = \lim_{b \to a} AV_{[a,b]} = \lim_{b \to a} \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

Аналогічно, якщо ми думаємо про мінливе значення\(b\) як буття форми,\(b = a + h\text{,}\) де\(h\) деяке невелике число, то ми можемо замість цього написати

\[ IV_{t=a} = \lim_{h \to 0} AV_{[a,a+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \nonumber \]

Знову ж таки, найважливіша ідея тут полягає в тому, що для обчислення миттєвої швидкості ми беремо межу середніх швидкостей, оскільки часовий інтервал скорочується.

Активність 1.2.3

Розглянемо рухомий об'єкт, функція положення якого задається тим,\(s(t) = t^2\text{,}\) де\(s\) вимірюється в метрах і\(t\) вимірюється в хвилинах.

1. Визначити найбільш спрощений вираз для середньої швидкості об'єкта на проміжку,\([3, 3+h]\text{,}\) де\(h \gt 0\text{.}\)
2. Визначте середню швидкість об'єкта на інтервалі\([3,3.2]\text{.}\) Включіть одиниці на свою відповідь.
3. Визначте миттєву швидкість об'єкта, коли\(t = 3\text{.}\) Включіть одиниці на вашу відповідь.

Закриваюча активність цього розділу просить вас зробити деякі зв'язки між середньою швидкістю, миттєвою швидкістю та нахилами певних ліній.

Активність 1.2.4

Для рухомого об'єкта, положення якого\(s\) в часі\(t\) задано графіком на малюнку 1.2.11, дайте відповідь на кожне з наступних питань. Припустимо, що\(s\) вимірюється в ногах і\(t\) вимірюється в секундах.

Малюнок 1.2.11. Графік функції положення\(y = s(t)\) в Діяльності 1.2.4.

a Використовуйте графік, щоб оцінити середню швидкість об'єкта на кожному з наступних інтервалів:\([0.5,1]\text{,}\)\([1.5,2.5]\text{,}\)\([0,5]\text{.}\) Намалюйте кожну лінію, нахил якої представляє середню швидкість, яку ви шукаєте.

б Як ви могли використовувати середні швидкості або нахили ліній для оцінки миттєвої швидкості об'єкта у встановлений час?

c Використовуйте графік для оцінки миттєвої швидкості об'єкта, коли ця миттєва швидкість\(t = 2\text{.}\) повинна\(t = 2\) бути більшою або меншою за середню швидкість\([1.5,2.5]\), яку ви обчислили в (а)? Чому?

1.2.3. Резюме

• Обмеження дозволяють нам досліджувати тенденції поведінки функцій поблизу певної точки. Зокрема, прийняття ліміту в заданій точці запитує, чи значення функції поблизу, як правило, наближаються до певного фіксованого значення.
• Ми читаємо\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{,}\) як «\(f\)межа як\(x\) підходів\(a\) є\(L\text{,}\)», що означає, що ми можемо зробити значення\(f(x)\) якомога ближче до того,\(L\) як ми хочемо, взявши\(x\) досить близько (але не рівне)\(a\text{.}\)
• Щоб знайти\(\lim_{x \to a} f(x)\) для заданого значення\(a\) та відомої функції,\(f\text{,}\) ми можемо оцінити це значення з графіка\(f\text{,}\) або ми можемо скласти таблицю значень функцій для\(x\) -значень, які ближче і ближче до\(a\text{.}\) Якщо ми хочемо точне значення межі, ми можемо працювати з функція алгебраїчно, щоб зрозуміти, як різні частини формули для\(f\) зміни як\(x \to a\text{.}\)
• Ми знаходимо миттєву швидкість рухомого об'єкта у фіксований час, взявши межу середніх швидкостей об'єкта за меншими та меншими часовими інтервалами, що містять цікавий час.