2: Похідні

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.9: (необов'язково) - Доведення арифметики меж
- 2.1: Повторний перегляд дотичних ліній

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Обчислення побудовано на двох операціях — диференціації, яка використовується для аналізу миттєвої швидкості змін, та інтеграції, яка використовується для аналізу областей. Розуміння диференціації та використання її для обчислення похідних функцій є однією з головних цілей цього курсу.

Ми мали уявлення про похідні в попередньому розділі про межі — зокрема Розділи 1.1 та 1.2 про тангенси та швидкості ввели маскувальні похідні. Однією з головних причин, чому ми навчаємо обмежень, є розуміння похідних. На щастя, як ми побачимо, хоча потрібно розуміти межі, щоб правильно розуміти похідні, не потрібен повний механізм обмежень для обчислення та роботи з похідними. Іншу основну частину обчислення, інтеграцію, ми (в основному) залишаємо до більш пізнього курсу.

Похідна знаходить безліч застосувань у багатьох різних областях наук. Дійсно, причина того, що обчислення беруть так багато студентів університетів, полягає в тому, що вони можуть потім використовувати ідеї як в наступних курсах математики, так і в інших областях. Практично в будь-якій галузі, в якій ви вивчаєте кількісні дані, ви можете знайти обчислення, що ховається десь поблизу.

Його розвиток ¹ відбувся протягом дуже довгого часу, починаючи з давньогрецьких геометрів. Індійські, перські та арабські математики зробили значний внесок приблизно з $6^{th}$ століття. Але сучасне обчислення дійсно починається з Ньютона і Лейбніца в $17^{th}$ столітті, які розвивалися самостійно на основі ідей інших, включаючи Декарта. Ньютон застосовував свою роботу до багатьох фізичних проблем (включаючи орбіти супутників і планет), але не опублікував свою роботу. Коли Лейбніц згодом опублікував своє «обчислення», Ньютон звинуватив його в плагіаті — це спричинило величезний розрив між британськими та континентально-європейськими математиками, який не був закритий ще на одне століття.

2.1: Повторний перегляд дотичних ліній
Шляхом мотивації до визначення похідної повертаємося до обговорення дотичних ліній, яке ми почали в попередньому розділі про межі. Розглянуто в прикладах 2.1.2 і 2.1.5 нижче задачу знаходження нахилу дотичної лінії до кривої в точці. Але почнемо з того, що згадаємо, в прикладі 2.1.1, що мається на увазі під нахилом прямої лінії.
2.2: Визначення похідної
Тепер ми визначаємо «похідну» явно, виходячи з ідей граничного нахилу попереднього розділу. Потім ми бачимо, як обчислити деякі прості похідні.
2.3: Тлумачення похідної
У попередніх розділах ми визначали похідну як нахил дотичної лінії, використовуючи певну межу. Це дозволяє обчислити «нахил кривої» 1 і надає нам одну інтерпретацію похідної. Однак основне значення похідних не виходить з цього додатка. Натомість (можливо) це походить від тлумачення похідної як миттєвої швидкості зміни кількості.
2.4: Арифметика похідних - набір інструментів диференціації
Поки що ми оцінювали похідні лише шляхом застосування Definition 2.2.1 до функції під рукою, а потім безпосередньо обчислюючи необхідні межі. Цілком очевидно, що оскільки диференційована функція стає навіть трохи складною, ця процедура швидко стає надзвичайно громіздкою.
2.5: Докази арифметики похідних
Теореми попереднього розділу не надто складно довести з визначення похідної (яку ми знаємо) і арифметики меж (яку ми теж знаємо). У цьому розділі ми покажемо, як побудувати ці правила.
2.6: Використання арифметики похідних - приклади
У цьому розділі ми проілюструємо обчислення похідних з використанням арифметики похідних — теорем 2.4.2, 2.4.3 та 2.4.5. Щоб було зрозуміло, які правила ми використовуємо під час прикладів, відзначимо, яку теорему ми використовуємо:
2.7: Похідні експоненціальних функцій
Тепер, коли ми розуміємо, як похідні взаємодіють з добутками та частками, ми можемо обчислити похідні поліномів, раціональних функцій, а також степеней та коренів раціональних функцій.
2.8: Похідні тригонометричних функцій
Зараз ми збираємося обчислити похідні різних тригонометричних функцій, $\sin x\text{,}$ $\cos x$ і так далі. Обчислення більш залучені, ніж інші, які ми зробили до цього часу, і зроблять кілька кроків. На щастя, остаточні відповіді будуть дуже простими.
2.9: Ще один інструмент - правило ланцюга
Ми створили більшість інструментів, які нам потрібні для вираження похідних складних функцій в терміні похідних більш простих відомих функцій. Ми почали з того, що навчилися оцінювати похідні сум, добутків і коефіцієнтів, похідних від констант і монумів.
2.10: Природний логарифм
Правило ланцюга відкриває шлях до розуміння похідних більш складної функції. Не тільки композиції відомих функцій, як ми бачили приклади попереднього розділу, але й функції, які визначені неявно.
2.11: Неявна диференціація
Неявна диференціація - це простий трюк, який використовується для обчислення похідних функцій або коли ви не знаєте явної формули для функції, але ви знаєте рівняння, якому функція підпорядковується, або навіть коли у вас є явна, але складна формула для функції, і функція підпорядковується просте рівняння.
2.12: Зворотні тригонометричні функції
Одним з дуже корисних застосувань неявної диференціації є пошук похідних обернених функцій. Цей підхід ми вже використовували для пошуку похідної оберненої експоненціальної функції — логарифма.
2.13: Теорема про середнє значення
Розглянемо наступну ситуацію. Два міста розділені протяжністю 120 км дороги.
2.14: Похідні для вищого порядку
Операція диференціації приймає як вхід однієї функції, $f(x)\text{,}$ і виробляє як вихід іншу функцію, $f'(x)\text{.}$ Тепер знову $f'(x)$ є функцією. Таким чином, ми можемо диференціювати його знову, припускаючи, що вона диференційована, щоб створити третю функцію, називається друга похідна від $f\text{.}$ І ми можемо диференціювати другу похідну знову, щоб створити четверту функцію, називається третьою похідною від $f\text{.}$ І так далі.
2.15: (необов'язково) - є $\lim_{x\to c}f'(x)$ Equal to $f'(c)\text{?}$