2.10: Природний логарифм
- Page ID
- 60599
Правило ланцюга відкриває шлях до розуміння похідних більш складної функції. Не тільки композиції відомих функцій, як ми бачили приклади попереднього розділу, але й функції, які визначені неявно.
Розглянемо підставу логарифма\(e\) —\(\log_e(x)\) це сила, яку\(e\) потрібно підняти, щоб дати\(x\text{.}\)\(\log_e(x)\) Тобто, визначається
\ begin {вирівнювати*} e^ {\ log_e x} &= х\ кінець {вирівнювати*}
тобто — це зворотна експоненціальна функція з базою\(e\text{.}\) Оскільки цей вибір бази працює так чисто і легко щодо диференціації, ця база виявляється (можливо) найбільш природним вибором для основи логарифма. І як ми бачили в нашому вихорі огляд логарифмів у розділі 2.7, легко використовувати логарифми однієї бази для обчислення логарифмів з іншою базою:
\ begin {align*}\ log_q х &=\ розрив {\ log_e x} {\ log_e q}\ end {align*}
Тому ми (відносно) вільні вибирати зручну для наших цілей базу.
Логарифм з підставою\(e\text{,}\) називається «натуральним логарифмом». «Природність» бази логарифмів\(e\) полягає саме в тому, що цей вибір бази дуже добре працює в обчисленні (і настільки широкої математики) таким чином, що інші основи не 1. Існує кілька різних «стандартних» позначень для основи логарифма\(e\text{;}\)
\ begin {збирати*}\ log_e x =\ журнал х =\ ln x.\ end {збирати*}
Ми рекомендуємо вам розпізнати все це.
У цьому тексті ми запишемо натуральний логарифм як «\(\log\)» без основи. Причина такого вибору полягає в тому, що база\(e\) є стандартним вибором бази для логарифмів в математиці 2
Натуральний логарифм успадковує багато властивостей загальних логарифмів 3. Отже, для всіх\(x,y \gt 0\) проведіть наступне:
- \(e^{\log x}=x\text{,}\)
- для будь-якого дійсного числа\(X\text{,}\)\(\log \big(e^X\big)=X\text{,}\)
- для будь-яких\(a \gt 1\text{,}\)\(\log_a x=\tfrac{\log x}{\log a}\) і\(\log x=\tfrac{\log_a x}{\log_a e}\)
- \(\log 1=0\text{,}\)\(\log e=1\)
- \(\log(xy)=\log x+\log y\)
- \(\log\big(\tfrac{x}{y}\big)=\log x-\log y\text{,}\)\(\log\big(\tfrac{1}{y}\big)=-\log y\)
- \(\log(x^X)=X\log x\)
- \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log x=\infty\text{,}\)\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\log x=-\infty\)
І, нарешті, ми повинні пам'ятати, що\(\log x\) має домен (тобто визначається для)\(x \gt 0\) і діапазон (тобто приймає всі значення в)\(-\infty \lt x \lt \infty\text{.}\)
Для обчислення похідної\(\log x\) ми могли б спробувати почати з граничного визначення похідної
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал х &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {\ log (x+h) -\ лог (x)} {h}\ &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {\ log ((x+h) /x)} {h}\\ &=\ текст {\ um точки}\ end {вирівнювати*}
Це не виглядає добре. Але все не втрачено — у нас є правило ланцюга, і ми знаємо, що логарифм задовольняє рівнянню:
\ begin {вирівнювати*} х &= e^ {\ log x}\ end {вирівнювати*}
Оскільки обидві сторони рівняння є однаковою функцією, обидві сторони рівняння мають однакову похідну. Тобто ми використовуємо 4
\ begin {збирати*}\ текст {якщо} f (x) =g (x)\ текст {для всіх $x$, потім} f' (x) = g' (x)\ end {gather*}
Отже, тепер диференціюйте обидві сторони:
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx} х &=\ dfrac {d} {dx} e^ {\ журнал x}\\ кінець {вирівнювати*}
Ліва сторона проста, а праву частину ми можемо обробити за допомогою правила ланцюга з\(f(u)=e^u\) і\(u=\log x\text{.}\)
\ begin {вирівнювати*} 1 &=\ dfrac {df} {ду}\ cdot\ dfrac {ду} {dx}\ &= e^u\ cdot\ underbrace {\ dfrac {d} {dx}\ журнал x} _\ текст {що ми хочемо обчислити}\\ кінець {align*}
Нагадаємо, що\(e^u = e^{\log x} = x\text{,}\) так
\ begin {align*} 1 &= х\ cdot\ underbrace {\ dfrac {d} {dx}\ журнал x} _\ текст {тепер що?} \\\ кінець {вирівнювати*}
Тепер ми можемо просто переставити це рівняння, щоб зробити те, що ми хочемо предметом:
\ begin {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал х &=\ розрив {1} {x}\ end {align*}
Таким чином ми довели:
\ begin {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал х &=\ розрив {1} {x}\ end {align*}
де\(\log x\) - основа логарифма\(e\text{.}\)
Дозвольте\(f(x) = \log 3x\text{.}\) знайти\(f'(x)\text{.}\)
Є два способи підходу до цього - ми можемо спростити, то диференціювати, або диференціювати, а потім спростити. Ні важко.
- Спростити, а потім диференціювати:
\ begin {align*} f (x) &=\ log 3x &\ текст {журнал продукту}\\ &=\ журнал 3 +\ журнал x\\ f '(x) &=\ dfrac {d} {dx}\ журнал 3 +\ dfrac {d} {dx}\ журнал x\\ &=\ frac {1} {x}. \ end {вирівнювати*}
- Диференціація, а потім спростити:
\ begin {вирівнювати*} f' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ журнал (3x) &\ текст {правило ланцюга}\\ &=\ розриву {1} {3x}\ cdot 3\\ &=\ frac {1} {x}\ end {вирівнювати*}
Зверніть увагу, що ми можемо продовжити попередній приклад для будь-якої позитивної константи, а не лише 3. Нехай\(c\gt 0\) буде постійною, то
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал cx &=\ dfrac {d} {dx}\ ліворуч (\ журнал c +\ журнал х\ праворуч)\\ &=\ FRAC {1} {x}\ end {align*}
Ми можемо підштовхнути це ще далі. Нехай\(g(x) = \log | x |\text{,}\) тоді 5
- Якщо\(x \gt 0\text{,}\)\(|x|= x\) і так
\ begin {align*} g' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ журнал х =\ розрив {1} {x}\ end {align*}
- Якщо\(x\lt 0\) тоді\(|x|= -x\text{.}\) Якщо\(|h|\) суворо менше, ніж\(|x|\text{,}\) тоді у нас також є що\(x+h\lt 0\)\(X=|x|\) і\(|x+h|=-(x+h)=|x|-h\text{.}\) Write\(H=-h\text{.}\) and Then, за визначенням похідної,
\ почати {вирівнювати*} g' (x) &=\ lim_ {h\ стрілка вправо 0}\ frac {\ log|x+h |-\ log|x|} {h} =\ lim_ {h\ стрілка вправо 0}\ frac {\ журнал (|x|-h) -\ log|x|} {h}\ &=\ lim_ {H\\ правий рядок}\ frac {\ log (X+H) -\ журнал X} {-H} = -\ lim_ {H\ стрілка вправо 0}\ гідророзриву {\ лог (X+H) -\ журнал X} {H}\ &=-\ dfrac {d} {dX}\ журнал X =-\ гідророзриву {1} {X} = -\ frac {1} {|x|}\\ &= \ гідророзриву {1} {x}\ end {align*}
- Оскільки\(\log 0\) не визначено,\(g'(0)\) не існує.
Збираючи це разом, дає:
\ begin {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал | х | &=\ гідророзриву {1} {x}\ end {align*}
Відразу після слідства 2.6.17 ми сказали, що в майбутньому знайдемо похідну\(x^a\) для всіх дійсних чисел. Майбутнє тут. \(a\)Дозволяти\(x\gt 0\) і бути будь-яке дійсне число. Визначення обох сторін\(\log\big(x^a\big)=a\log x\) дає нам,\(x^a=e^{a\log x}\) а потім
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} x^a &=\ dfrac {d} {dx} e^ {a\ log x} = e^ {a\ log x}\ dfrac {d} {dx} (a\ log x) &\ текст {за правилом ланцюга}\\ &=\ frac {a} {x} e^ {a\ log} =\ гідророзриву {a} {x} x^a\\ &=a x^ {a-1}\ end {align*}
як очікувалося.
Ми можемо розширити теорему 2.10.1 для простого обчислення похідної логарифмів інших основ. Так як для будь-якого позитиву\(a \neq 1\text{:}\)
\ begin {align*}\ log_a x &=\ frac {\ log x} {\ log a} =\ frac {1} {\ журнал a}\ cdot\ журнал x &\ текст {оскільки $a$ є константою}\\ dfrac {d} {dx}\ log_a x &=\ frac {1} {\ журнал}\ cdot\ frac {1} {x}\ end {вирівнювати*}
Повернутися до\(\mathbf{\dfrac{d}{dx} a^x}\)
Тепер ми також можемо нарешті обійти обчислення похідної\(a^x\) (що ми почали робити ще в розділі 2.7).
\ begin {align*} f (x) &= a^x &\ text {взяти журнал з обох сторін}\\ log f (x) &= x\ log a &\ text {експонентувати обидві сторони бази $e$}\\ f (x) &= e^ {x\ log a} &\ text {правило ланцюга}\\ f' (x) &= e^ {x\ log a} &\ text {правило ланцюга}\\ f' (x) &= e^ {x\ log a}\ cdot\ увійти в\\ &= a^x\ cdot\ увійти в\ кінець {align*}
Зверніть увагу, що ми могли б також зробити наступне:
\ begin {align*} f (x) &= a^x &\ text {взяти журнал з обох сторін}\\ log f (x) &= x\ log a &\ text {диференціювати обидві сторони}\\ dfrac {d} {dx}\ left (\ журнал f (x)\ праворуч) &=\ log a\\ end {align*}
Потім обробляємо ліву сторону за допомогою правила ланцюга.
\ begin {align*} f' (x)\ cdot\ frac {1} {f (x)} &=\ журнал a\\ f' (x) &= f (x)\ cdot\ log a = a^x\ cdot\ журнал a\ end {align*}
\(\dfrac{d}{dx} \log f(x)\)Детальніше ми побачимо нижче в підрозділі «логарифмічна диференціація».
Щоб підсумувати наведені вище результати:
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} a^x &=\ увійти в\ cdot a^x &\ текст {для будь-якого $a\ gt 0$}\\ dfrac {d} {dx}\ log_a x &=\ frac {1} {x\ cdot\ журнал} &\ текст {для будь-якого $a\ gt 0, a\ neq 1$}\ end {вирівнювати*}
де\(\log x\) - натуральний логарифм.
Нагадаємо, що нам потрібен застереження,\(a \neq 1\) оскільки логарифм основи 1 недостатньо чітко визначена. Це тому, що\(1^x = 1\) для будь-якого\(x\text{.}\) Ми не потребуємо подібного застереження для похідної від експоненціальної, тому що ми знаємо (згадати приклад 2.7.1)
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} 1^x &=\ dfrac {d} {dx} 1= 0 &\ text {тоді як вищевказаний наслідок говорить нам}\\ &=\ log 1\ cdot 1^x = 0\ cdot 1 = 0. \ end {вирівнювати*}
Логарифмічна диференціація
Ми хочемо повернутися до деяких попередніх трохи брудних прикладів (Приклади 2.6.6 і 2.6.18) і тепер показати вам, як їх можна зробити легше.
Розглянемо ще раз похідну від добутку 3 функцій:
\ почати {вирівнювати*} P (x) &= F (x)\ cdot G (x)\ cdot H (x)\ кінець {вирівнювати*}
Почніть з логарифма обох сторін:
\ begin {align*}\ журнал P (x) &=\ журнал\ ліворуч (F (x)\ cdot G (x)\ cdot H (x)\ праворуч)\\ &=\ журнал F (x) +\ журнал G (x) +\ журнал H (x)\\ кінець {align*}
Зверніть увагу, що добуток функцій з правого боку став сумою функцій. Диференціювати суми набагато простіше, ніж диференціювати продукти. Отже, коли ми диференціюємо, ми маємо
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал P (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ журнал F (x) +\ dfrac {d} {dx}\ журнал G (x) +\ dfrac {d} {dx}\ журнал H (x)\\ кінець {align*}Швидке застосування правила ланцюга показує, що\(\dfrac{d}{dx}\log f(x) = f'(x) / f(x)\text{:}\)
\ begin {вирівнювати*}\ розриву {P '(x)} {P (x)} &=\ гідророзриву {F' (x)} {F (x)} +\ розриву {G (x)} {G (x)} {G (x)} +\ frac {H (x)} {H (x)}\\ end {align*}Помножити через\(P(x)=F(x)G(x)H(x)\text{:}\)
\ begin {align*} P '(x) &=\ лівий (\ frac {F' (x)} {F (x)} +\ frac {G' (x)} {G (x)} +\ frac {H (x)} {H (x)}\ праворуч)\ cdot F (x) G (x) H (x)\\ = F (x) (х) В (х) + Ф (х) Г' (х) В (х) + Ф (х) Г (х) В (х)\ кінець {вирівнювати*}що є те, що знайдено в прикладі 2.6.6 шляхом повторного застосування правила продукту. Вищезазначене узагальнює досить легко більш ніж 3 функції.
Цей самий трюк «взяти логарифм, а потім диференціювати» - або логарифмічна диференціація - спрацює будь-коли у вас є добуток (або співвідношення) функцій.
Давайте використаємо логарифмічну диференціацію функції з Прикладу 2.6.18:
\ почати {вирівнювати*} f (x) &=\ розрив {(\ sqrt {x} -1) (2-х) (1-x^2)} {\ sqrt {x} (3+2x)}\ end {align*}
Однак будьте обережні, що ми можемо взяти лише логарифм позитивних чисел, і\(f(x)\) це часто негативне. Наприклад, якщо\(1 \lt x \lt 2 \text{,}\) фактор\((1-x^2)\) у визначенні\(f(x)\) є негативним, тоді як всі інші фактори є позитивними, так що\(f(x)\lt 0 \text{.}\) жоден - менше, ми можемо використовувати логарифмічну диференціацію, щоб знайти,\(f'(x)\text{,}\) використовуючи спостереження, що\(\dfrac{d}{dx}\log|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}\text{.}\) (Щоб побачити це, використовуйте правило ланцюга і приклад 2.10.4.) Таким чином, ми беремо логарифм\(|f(x)|\) і розширюємо.
\ почати {вирівнювати*}\ журнал |f (x) | & =\ лог\ frac {|\ sqrt {x} -1|\, |2-x|\, |1-x^2|} {\ sqrt {x} |3+2x|}\\ & =\ log|\ sqrt {x}\! -\! 1| +\ журнал|2\! -\! x| +\ log|1\! -\! x^2| -\ підстроювання {\ log (\ sqrt {x})} _ {=\ frac {1} {2}\ журнал x} -\ log|3\! +\! 2x|\ кінець {вирівнювати*}
Тепер ми можемо по суті просто диференціювати термін за терміном:
\ почати {вирівнювати*}\ dfrac {d} {dx}\ журнал |f (x) | &=\ dfrac {d} {dx}\ Великий (\ log|\ sqrt {x} -1| +\ log|2-x|1-x^2|\\ &\ hskip2in-\ frac {1} {2}\ log|x| -\ log||3+2x|\ Великий)\\ розриву {f' (x)} {f (x)} &=\ розриву {1/ (2\ sqrt {x})} {\ sqrt {x} -1} +\ frac {2-х} +\ гідророзриву {-2x} {1-x^2} -\ frac {1} {2x} {2} {3+2x}\\ f '(x) &= f ( x)\ cdot\ ліворуч (\ FRAC {1} {2\ sqrt {x} (\ sqrt {x}\! -\! 1)} -\ гідророзриву {1} {2\! -\! x} -\ гідророзриву {2x} {1\! -\! x^2} -\ гідророзриву {1} {2x} -\ гідророзриву {2} {3\! +\! 2x}\ праворуч)\\ &=\ frac {(\ sqrt {x} -1) (2-х) (1-x^2)} {\ sqrt {x} (3+2x)}\ cdot\\ &\ hskip0.5in\ ліворуч (\ frac {1} {2\ sqrt {x} (\ sqrt {x} -1)} -\ frac {1} {2-х} -\ гідророзриву {2x} {1-x^2} -\ гідророзриву {1} {2x} -\ гідророзриву {2} {3+2x}\ праворуч)\ end {align*}
так само, як ми з'ясували раніше.
вправи
Нагадування: у цих примітках ми використовуємо,\(\log x\) щоб означати,\(\log_e x\text{,}\) що також зазвичай пишеться в іншому місці, як\(\ln x\text{.}\)
Етап 1
Гучність в децибелах (дБ) звуку задається за формулою:
\[ V(P)=10\log_{10}\left(\frac{P}{S}\right) \nonumber \]
де\(P\) - інтенсивність звуку і\(S\) інтенсивність стандартного базового звуку. (Тобто:\(S\) це якась постійна.)
Скільки шуму видадуть десять динаміків, якщо кожен динамік видає 3dB шуму? А як щодо ста спікерів?
Інвестиції в розмірі 1000 доларів з процентною ставкою 5% на рік зростають до
\[ A(t)=1000e^{t/20} \nonumber \]
доларів за\(t\) роками. Коли інвестиція подвоїться?
Який з наступних виразів, якщо такий є, еквівалентний\(\log\left(\cos^2 x\right)\text{?}\)
\ begin {align*} & (\ mbox {a})\ квад 2\ журнал (\ cos x) & & (\ mbox {b})\ квад 2\ log|\ cos x |& (\ mbox {c})\ квад\ log^2 (\ cos x)\\ & (\ mbox {d})\ quad\ журнал (\ cos x^2))\ кінець {align*}
Етап 2
диференціювати\(f(x)=\log(10x)\text{.}\)
диференціювати\(f(x)=\log(x^2)\text{.}\)
диференціювати\(f(x)=\log(x^2+x)\text{.}\)
диференціювати\(f(x)=\log_{10}x\text{.}\)
Знайдіть похідну від\(y=\dfrac{\log x}{x^3}\text{.}\)
Оцініть\(\displaystyle \dfrac{d}{d\theta} \log(\sec \theta)\text{.}\)
Диференціювати функцію\(f(x)=e^{\cos\left(\log x\right)}\text{.}\)
Оцініть похідну. Не потрібно спрощувати свою відповідь.
\[ y=\log(x^2+\sqrt{x^4+1}) \nonumber \]
диференціювати\(\sqrt{-\log(\cos x)}\text{.}\)
Обчислити і спростити похідну від\(\log\big(x+\sqrt{x^2+4}\big)\text{.}\)
Оцініть похідну від\(g(x)=\log (e^{x^2}+\sqrt{1+x^4})\text{.}\)
Оцінити похідну від наступної функції на\(x=1\text{:}\)\(g(x)=\log\Big(\dfrac{2x-1}{2x+1}\Big)\text{.}\)
Оцініть похідну функції\(f(x) = \log\left(\sqrt{\dfrac{(x^2+5)^3}{x^4+10}}\right)\text{.}\)
Оцініть\(f'(2)\), якщо\(f(x) = \log\big(g\big(xh(x)\big)\big)\text{,}\)\(h(2) = 2\text{,}\)\(h'(2) = 3\text{,}\)\(g(4) = 3\text{,}\)\(g'(4) = 5\text{.}\)
Диференціювати функцію
\[ g(x)=\pi^x+x^\pi. \nonumber \]
диференціювати\(f(x)=x^x\text{.}\)
Знайти,\(f'(x)\) якщо\(f(x) = x^x+\log_{10}x\text{.}\)
диференціювати\(f(x) = \sqrt[4]{\dfrac{(x^4+12)(x^4-x^2+2)}{x^3}}\text{.}\)
диференціювати\(f(x)=(x+1)(x^2+1)^2(x^3+1)^3(x^4+1)^4(x^5+1)^5\text{.}\)
диференціювати\(f(x) = \left(\dfrac{5x^2+10x+15}{3x^4+4x^3+5}\right)\left(\dfrac{1}{10(x+1)}\right)\text{.}\)
\(f(x) = (\cos x)^{\sin x}\text{,}\)Дозволити з доменом\(0 \lt x \lt \tfrac{\pi}{2}\text{.}\) Знайти\(f'(x)\text{.}\)
Знайти похідну від\((\tan(x))^x\text{,}\) коли\(x\) знаходиться в інтервалі\((0,\pi/2)\text{.}\)
Знайти,\(f'(x)\) якщо\(f(x)= (x^2+1)^{(x^2+1)}\)
диференціювати\(f(x)= (x^2+1)^{\sin(x)}\text{.}\)
\(f(x)= x^{\cos^3(x)}\text{,}\)Дозволити з доменом\((0,\infty)\text{.}\) Знайти\(f'(x)\text{.}\)
диференціювати\(f(x)= (3+\sin(x))^{x^2-3}\text{.}\)
Етап 3
\(g(x)\)Дозволяти\(f(x)\) і бути диференційованими функціями, з\(f(x) \gt 0\text{.}\) оцінювати\(\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left\{[f(x)]^{g(x)}\right\}\text{.}\)
\(f(x)\)Дозволяти функція, діапазон якої включає тільки позитивні числа. Показати, що криві\(y=f(x)\) і\(y=\log(f(x))\) мають горизонтальні дотичні лінії при однакових значеннях\(x\text{.}\)