2.2: Визначення похідної

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60598

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тепер ми визначаємо «похідну» явно, виходячи з ідей граничного нахилу попереднього розділу. Потім ми бачимо, як обчислити деякі прості похідні.

Давайте тепер узагальнимо те, що ми зробили в останньому розділі так, щоб знайти «нахил кривої$y=f(x)$ на$(x_0,y_0)$» для будь-якої гладкої досить ¹ функції.$f(x)\text{.}$

Як і раніше, нехай$(x_0,y_0)$ буде будь-яка точка на кривій$y=f(x)\text{.}$ Так що ми повинні мати$y_0=f(x_0)\text{.}$ Тепер нехай$(x_1,y_1)$ буде будь-яка інша точка на тій же кривій. Отже,$y_1=f(x_1)$ і$x_1\ne x_0\text{.}$ подумайте про те$(x_1,y_1)$, щоб бути досить близьким,$(x_0,y_0)$ щоб різниця

\ begin {збирати*}\ Дельта x=x_1-x_0\ end {збирати*}

in$x$ —coordinates досить малий. З точки зору цього$\Delta x$ ми маємо

\ begin {збирати*} x_1=x_0+\ Дельта х\ qquad\ текст {і}\ qquad y_1=f\ великий (x_0+\ Дельта х\ великий)\ кінець {збирати*}

Ми можемо побудувати січну лінію через$(x_0,y_0)$ і так$(x_1,y_1)$ само, як ми зробили для параболи вище. Він має ухил

\ begin {збирати*}\ розрив {y_1-y_0} {x_1-x_0} =\ розрив {f\ великий (x_0+\ Дельта х\ великий) -f (x_0)} {\ Дельта х}\ кінець {збирати*}

Якщо$f(x)$ є розумно гладким ², то як$x_1$ підходи,$x_0\text{,}$ тобто як$\Delta x$ підходи,$0\text{,}$ ми очікуємо, що секанс наскрізь$(x_0,y_0)$ і наблизитися$(x_1,y_1)$ до дотичної лінії до кривої так$(x_0,y_0)\text{,}$ само, як це сталося$y=f(x)$ на малюнку 2.1.6. І що ще важливіше, нахил січної наскрізь$(x_0,y_0)$ і$(x_1,y_1)$ повинен наближатися до нахилу дотичної лінії до кривої$y=f(x)$ при$(x_0,y_0)\text{.}$

Таким чином, ми очікуємо, що ³ нахил дотичної лінії до кривої$y=f(x)$$(x_0,y_0)$ в бути

\ begin {збирати*}\ lim_ {\ Дельта х\ праворуч 0}\ frac {f\ big (x_0+\ Delta x\ big) -f (x_0)} {\ Дельта х}\ кінець {збирати*}

Коли ми говоримо про «нахил кривої» в точці, ми насправді маємо на увазі нахил дотичної лінії до кривої в цій точці. Так що «нахил кривої$y=f(x)$ в$(x_0,y_0)$» - це також межа ⁴, виражена у вищезгаданому рівнянні. Похідна від$f(x)$ at також$x=x_0$ визначається як ця межа. Що призводить ⁵ нас до найважливішого визначення в цьому тексті:

Визначення 2.2.1 Похідна в точці.

Дозволяти$a\in\mathbb{R}$ і нехай$f(x)$ будуть визначені на відкритому інтервалі ⁶, який містить$a\text{.}$

Похідна від$f(x)$ at$x=a$ позначається$f'(a)$ і визначається
\ begin {збирати*} f' (a) =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f\ big (a+h\ big) -f (a)} {h}\ end {gather*}
якщо ліміт існує.
Коли вищевказана межа існує, функція$f(x)$, як кажуть,$x=a\text{.}$ диференційована на Коли межа не існує, функція$f(x)$, як кажуть, не диференційована при$x=a\text{.}$
Ми можемо еквівалентно визначити похідну$f'(a)$ за межею
\ begin {збирати*} f' (a) =\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {х-а}. \ end {збирати*}
Щоб побачити, що ці два визначення однакові, ми встановлюємо,$x=a+h$ а потім межа, до якої$h$$0$ йде, еквівалентна межі, яка$x$ йде до$a\text{.}$

Давайте тепер обчислимо похідні деяких дуже простих функцій. Це наш перший крок до створення інструментарію для обчислення похідних складних функцій - цей процес буде дуже паралельно тому, що ми зробили в главі 1 з обмеженнями. Дві найпростіші функції, які ми знаємо, - це$f(x)=c$ і$g(x)=x\text{.}$

Приклад 2.2.2 Похідна від$f(x)=c$.

$a, c \in \mathbb{R}$Дозволяти бути константами. Обчислити похідну постійної функції$f(x) = c$ при$x=a\text{.}$

Обчислюємо потрібну похідну, просто підставляючи цікаву функцію в формальне визначення похідної.

\ begin {align*} f' (a) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (a+h) - f (a)} {h} &&\ текст {(визначення)}\\ &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {c - c} {h} &&\ text {(підставляється у функції)}\\ &=\\ lim_ {h\ to 0} 0 &&\ text {(спрощені речі)}\\ &= 0\ end {align*}

Це було легко! А як щодо наступної найскладнішої функції - можливо, це така:

Приклад 2.2.3 Похідна від$g(x)=x$.

Нехай$a\in \mathbb{R}$ і обчислити похідну від$g(x) = x$ at$x=a\text{.}$

Знову ж таки, ми обчислюємо похідну$g$, просто підставляючи цікаву функцію в формальне визначення похідної, а потім оцінюючи результуючу межу.

\ begin {align*} g' (a) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {g (a+h) - g (a)} {h} &&\ text {(визначення)}\\ &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {(a+h) - a} {h} &&\ text {(підставляється у функції)}\\ &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {h} {h} &&\ text {(спрощені речі)}\\ &=\ lim_ {h\ to 0} 1 &&\ text {( спрощено трохи більше)}\\ &= 1\ end {align*}

Це було трохи складніше, ніж перший приклад, але все ж досить прямо — почніть з визначення та застосуйте те, що ми знаємо про обмеження.

Завдяки цим двом прикладам ми маємо нашу першу теорему про похідні:

Теорема 2.2.4 Найпростіші похідні.

Дозволяти$a,c \in \mathbb{R}$ і нехай$f(x) = c$ буде постійною функцією, а$g(x) = x\text{.}$ потім

\ begin {вирівнювати*} f' (a) &= 0\\\ кінець {align*}

\ begin {вирівнювати*} g' (a) &= 1. \ end {вирівнювати*}

Щоб трохи збільшити труднощі трохи більше, давайте переробимо приклад, який ми вже робили кілька разів$f(x)=x^2\text{.}$ Щоб зробити це трохи цікавішим, давайте змінимо імена функції та змінної, щоб вона не була точно такою ж, як приклади 2.1.2 та 2.1.5.

Приклад 2.2.5 Похідна від$h(t)=t^2$.

Обчислити похідну від

\ begin {вирівнювати*} h (t) &= t^2 &\ текст {at} t = a\ end {align*}

Ця функція не зовсім схожа на ті, які ми бачили раніше - це функція,$t$ а не$x\text{.}$ згадати, що функція - це правило, яке присвоює кожному вхідному значенню вихідне значення. До цих пір, ми зазвичай називають$x\text{.}$ вхідне значення Але це «$x$» просто фіктивна змінна, що представляє загальне вхідне значення. Немає нічого поганого в тому, щоб викликати загальне вхідне значення$t$ замість цього. Дійсно, час від часу ви побачите функції, які не записуються як формули за участю,$x\text{,}$ але замість цього записуються як формули$t$ (наприклад, що представляють час - див. Розділ 1.2), або$z$ (наприклад, що представляють висоту), або інші символи.
Отже, напишемо визначення похідної.
\ begin {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {align*}
а потім перевести його в імена функцій і змінні під рукою:
\ begin {вирівнювати*} h '(a) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {h (a+h) -h (a)} {h}\ end {align*}
Але є проблема - «$h$» тут грає дві ролі - це і назва функції, і невелика кількість, яка збирається до нуля в нашій межі. Надзвичайно небезпечно, щоб символ представляв дві різні речі в одному обчисленні. Нам потрібно змінити одну з них. Отже, давайте перейменуємо невелику кількість, яка збирається до нуля в нашому ліміті від «$h$» до «$\Delta t$»:
\ begin {align*} h' (a) &=\ lim_ {\ Дельта t\ до 0}\ frac {h (a+\ Дельта t) -h (a)} {\ Дельта t}\ end {align*}
Тепер ми готові почати. Підставляючи в$h$ чому функція,
\ begin {вирівнювати*} h '(a) &=\ lim_ {\ Дельта t\ до 0}\ розрив {(a+\ Дельта t) ^2-a^2} {\ Дельта t}\\ дельта t\ to 0}\ frac {a^2+2a\,\ Дельта t+\ Дельта t^2-a^2} {\ Дельта т} &&\ великий (\ текст {просто в квадраті $ (a+\ Дельта т) ^2$}\ великий)\\ &=\ lim_ {\ Дельта t\ до 0}\ frac {2a\,\ Дельта t+\ Дельта t^2} {\ Дельта т}\\ &=\ lim_ {\ Дельта t\ до 0} (2a +\ Дельта т)\\ &= 2a\ end {вирівнювати*}
Ви повинні повернутися назад перевірити, що це те, що ми отримали в прикладі 2.1.5 - тільки деякі імена були змінені.

Важливий момент (і деякі позначення)

Зверніть увагу, що відповідь, яку ми отримуємо, залежить від нашого вибору$a$ - якщо ми хочемо знати похідну в$a=3$ ми можемо просто замінити$a=3$ в нашій відповіді,$2a$ щоб отримати нахил 6. Якщо ми хочемо знати на$a=1$ (як в кінці Розділу 1.1) ми підставляємо$a=1$ і отримуємо нахил 2. Тут важливо те, що ми можемо перейти від похідної, обчислюваної в певній точці, до похідної, яка є самою функцією - введіть будь-яке значення,$a$ і вона повертає нахил дотичної лінії до кривої в точці.$x=a\text{,}$$y=h(a)\text{.}$ Змінна$a$ є манекеном. змінна. Ми можемо$a$ перейменувати на все, що ми хочемо, як,$x\text{,}$ наприклад. Таким чином, ми можемо замінити кожен$a$ в

\ begin {align*} h '(a) &=2a &\ текст {по $x$, даючи} &&h' (x) &= 2x\ end {align*}

де все, що ми зробили,$a$ замінено символ символом$x\text{.}$

Ми можемо зробити це більш загальним і налаштувати похідну в певній точці,$a$ щоб отримати похідну як функцію$x\text{.}$ Ми замінюємо.

\ begin {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\ end {align*}

із

\ begin {вирівнювати*} f' (x) &=\ lim_ {h\ to 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\ end {align*}

що дає нам наступне визначення

Визначення 2.2.6 Похідна як функція.

$f(x)$Дозволяти бути функцією.

Похідне по відношенню$x$ до$f(x)$
\ begin {збирати*} f' (x) =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f\ big (x+h\ big) -f (x)} {h}\ end {gather*}
за умови, що ліміт існує.
Якщо похідна$f'(x)$ існує для всіх,$x \in (a,b)$ ми говоримо, що$f$ диференціюється на$(a,b)\text{.}$
Зауважте, що ми іноді будемо трохи неохайними з нашими дискусіями і просто пишемо «$f$є диференційованим», щоб означати «$f$диференціюється на інтервалі, який нас цікавить» або «$f$диференціюється скрізь».

Зверніть увагу, що ми більше не думаємо про дотичні лінії, скоріше це операція, яку ми можемо зробити на функції. Наприклад:

Приклад 2.2.7 Похідна від$f(x)=\tfrac{1}{x}$.

Нехай$f(x) = \frac{1}{x}$ і обчислити її похідну щодо$x$ — добре подумайте, де існує похідна.

Нашим першим кроком є запис визначення похідної — на цьому етапі ми не знаємо жодної іншої стратегії обчислення похідних.
\ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &&\ text {(визначення)}\ end {align*}
А тепер підставляємо в функції і обчислюємо межу.
\ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &\ текст {(визначення)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\ ліворуч [\ frac {1} {x+h} -\ frac {1} {x}\ право] &&\ текст {(підставляється у функції)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\\ frac {x- (x+h)} {x (x+h)} &&\ текст {( написано над спільним знаменником)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\\ frac {-h} {x (x+h)} &&\ текст {(розпочато очищення)}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {-1} {x (x+h)}\\ &=\\ гідророзриву {1} {x^2}\ end {align*}
Зверніть увагу, що вихідна функція не$f(x)=\frac{1}{x}$ була визначена в$x=0$ і похідна також не визначена в$x=0\text{.}$ Це відбувається більш загально - якщо$f(x)$ не визначено в певній точці,$x=a\text{,}$ то похідна також не буде існувати в цій точці.

Отже, тепер у нас є дві дещо різні ідеї похідних:

Похідна$f'(a)$ в певній$x=a\text{,}$ точці є нахилом дотичної лінії до кривої в$x=a\text{,}$ і
Похідна як функція,$f'(x)$ визначена у Визначенні 2.2.6.

Звичайно, якщо ми маємо,$f'(x)$ то ми завжди можемо відновити похідну в певній точці, підставляючи$x=a\text{.}$

Як ми відзначали на початку глави, похідна була виявлена самостійно Ньютоном і Лейбніцем в кінці$17^{\rm th}$ століття. Оскільки їх відкриття були незалежними, Ньютон і Лейбніц не мали абсолютно однакових позначень. Виходячи з цього, і з багатьох різних контекстів, в яких використовуються похідні, існує досить багато альтернативних позначень для похідної:

Визначення 2.2.8.

Наступні позначення використовуються для «похідної по$f(x)$ відношенню до$x$»

\ почати {збирати*} f' (x)\ quad\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}\ квад\ frac {\ mathrm {d} f (x)} {\ математика {d} x}\ квадрат {f} (x)\ квадрат Df (x)\ квадрат D_x (x),\ end {збирати*}

тоді як наступні позначення використовуються для «похідної від$f(x)$ at$x=a$»

\ begin {збирати*} f' (a)\ qquad\ frac {\ mathrm {d} f (a)} {\ mathrm {d} x}\ qquad\ frac {d} f (x)} {\ mathrm {d} x}\ big|_ {x = a}\ quad\ точка {f} (a)\ qquad {f} (a)\ qquad Df (a)\ qquad D_x f (a). \ end {збирати*}

Деякі речі, які слід зазначити щодо цих позначень:

Як правило, ми будемо використовувати перші три, але ви повинні розпізнати їх усі. Позначення$f'(a)$ зобов'язані Лагранжу, в той час як позначення$\frac{\mathrm{d} f(a)}{\mathrm{d} x}$ зобов'язані Лейбніцу. Вони обидва дуже корисні. Жоден не може вважатися «кращим».
Позначення Лейбніца пише похідну як «дріб» - однак це, безумовно, не дріб і не слід думати таким чином. Це просто стенографія, яка читається як «$f$похідна по відношенню до$x$».
Ви читаєте$f'(x)$ як «$f$—prime of$x$», і$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ як «dee—$f$ —dee—$x$», і$\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}$ як «dee-by-dee—$x$ of$f$».
Аналогічно ви читаєте$\frac{\mathrm{d} f(a)}{\mathrm{d} x}$ як «$f$dee— —dee—$x$ at$a$», і$\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\,\bigg|_{x=a}$ як «dee-by-dee-$x$$f$ з$x$ на$x$ рівних$a$».
Позначення$\dot f$ обумовлено Ньютоном. У фізиці прийнято використовувати для$\dot f(t)$ позначення похідної по$f$ відношенню до часу.

Назад до Обчислення деяких похідних

На цьому етапі ми могли б спробувати розпочати розробку того, як похідні взаємодіють з арифметикою, і зробити теорему «Арифметика похідних» так само, як та, яку ми бачили для меж (Теорема 1.4.3). Ми отримаємо туди незабаром, але перед цим важливо, щоб нам стало зручніше обчислювати похідні за допомогою лімітів, а потім зрозуміти, що насправді означає похідна. Отже — більше прикладів.

Приклад 2.2.9$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{x}$.

Обчислити$f'(a)\text{,}$ похідну функції$f(x)=\sqrt{x}$ в точці$x=a$ для будь-якого$a \gt 0\text{.}$

Отже, знову почнемо з визначення похідної і йдемо звідти:
\ почати {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x) -f (a)} {х-а} =\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\ end {align*}
Як$x$ правило,$a\text{,}$ до чисельника і знаменника обидва прагнуть до нуля. Але$\tfrac{0}{0}$ не визначено. Отже, щоб отримати чітко визначену межу, нам потрібно показати скасування між чисельником та знаменником - так само, як ми бачили в прикладах 1.4.12 та 1.4.17. Тепер є два рівнозначних способи, щоб виходити звідси, обидва засновані на подібній «хитрості».
Для першого перегляньте приклад 1.4.17, який стосувався взяття межі за участю квадратних коренів, і нагадаємо, що ми використовували там «множення на сполучений»:
\ begin {align*} &\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\\ &=\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}} {x-a}} {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}}\ текст {множення на $1=\ frac {\ текст {сполучений}} {\ текст {сполучений}} $}\ Великий)\\ &=\ frac {(\ sqrt {x} -\ sqrt {a}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} {(x-a) (\ sqrt {x})\\ &=\ розрив {х-а} {(х-а) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} &&\ великий (\ текст {з $ (А-Б) (A+B) = A^2-B^2$)}\,\ великий)\\ &=\ frac {1} {\ sqrt {x} +\ sqrt {a}}\ кінець {align*}
Крім того, ми можемо прийти до,$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}$ використовуючи майже той самий трюк, щоб зарахувати знаменник. Просто встановіть$A=\sqrt{x}$ і$B=\sqrt{a}$ в$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $, щоб отримати
\ почати {вирівнювати*} х - a &= (\ sqrt {x} -\ sqrt {a}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})\ end {align*}
а потім підставляємо цей маленький факт у наш вираз
\ begin {align*}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {х-а} &=\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {(\ sqrt {x}) (\ sqrt {x} +\ sqrt {a})} &\ текст {(тепер скасувати загальні фактори)}\ &&=\ frac {1} {(\ sqrt {x} +\ sqrt {a})}\ кінець {align*}
Як тільки ми$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\text{,}$ дізнаємося, що можемо взяти необхідну нам межу:
\ почати {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {x\ rightarrow a}\ frac {\ sqrt {x} -\ sqrt {a}} {x-a}\ & =\ lim_ {x\\ rightarrow a}\ frac {1} {\ sqrt {a}}\\ & =\ frac {1} {\ sqrt {a}}\\ & =\ frac {1} {\ sqrt {a}}\ кінець {вирівнювати*}
Ми повинні думати про область$f'$ тут — тобто, для яких значень$a$$f'(a)$ визначено? Початкова функція$f(x)$ була визначена для всіх,$x \geq 0\text{,}$ однак похідна$f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$ не визначена при$a = 0\text{.}$
Якщо ми намалюємо ретельну картину$\sqrt{x}$ навколо,$x=0$ ми можемо зрозуміти, чому це має бути так. На малюнку нижче показані три різні дотичні лінії до графіка$y=f(x)=\sqrt{x}\text{.}$ Коли точка дотику рухається все ближче і ближче до початку, дотична лінія стає крутішою і крутішою. Нахил дотичної лінії при$\big(a,\sqrt{a}\big)$ вибухах як$a\to 0\text{.}$

Приклад 2.2.10$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{ |x| \right\}$.

Обчислити$f'(a)\text{,}$ похідну функції$f(x)=|x|$ в точці$x=a\text{.}$

Ми повинні почати цей приклад, згадавши визначення$|x|$ (ми бачили це ще в прикладі 1.5.6):
\ begin {align*} |x| &=\ begin {випадки} -x &\ text {якщо} x\ lt 0\\ 0 &\ текст {якщо} x = 0\ x &\ text {якщо} x\ gt 0. \ end {випадки}\ end {align*}

Це точно не просто «відрубати знак мінус».
Це розбиває наше обчислення похідної на 3 випадки залежно від того,$x$ позитивний, негативний чи нуль.
Припустимо$x \gt 0\text{.}$, тоді
\ почати {вирівнювати*}\ розрив {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\ &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {|x+h ||x|} {h}\\\ кінець {вирівнювати*}

Так як$x \gt 0$ і ми зацікавлені в поведінці цієї функції, як$h \to 0$ ми можемо припустити,$h$ набагато менше, ніж$x\text{.}$ Це означає$x+h \gt 0$ і так.$|x+h|=x+h\text{.}$
\ begin {вирівнювати*} &=\ lim_ {h\ to0}\ розрив {x+h-x} {h}\ &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {h} {h} = 1 &\ text {як очікувалося}\ кінець {align*}

Припустимо$x \lt 0\text{.}$, тоді
\ почати {вирівнювати*}\ розрив {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}\ &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {|x+h ||x|} {h}\\\ кінець {вирівнювати*}

Так як$x \lt 0$ і ми зацікавлені в поведінці цієї функції, як$h \to 0$ ми можемо припустити,$h$ набагато менше, ніж$x\text{.}$ Це означає$x+h \lt 0$ і так.$|x+h|=-(x+h)\text{.}$
\ почати {вирівнювати*} &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {- (x+h) - (-х)} {h}\ &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {-h} {h} = -1\ кінець {вирівнювати*}
Коли у$x=0$ нас є
\ почати {вирівнювати*} f' (0) &=\ lim_ {h\ to0}\ розриву {f (0+h) -f (0)} {h}\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|0+h |} {h}\\ &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {|h|} {h}}\ end {вирівнювати*}
Щоб продовжити, нам потрібно знати,$h \gt 0$ чи$h \lt 0\text{,}$ так ми повинні використовувати односторонні обмеження. Межа зверху становить:
\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {h\ to 0^+}\ розрив {|h|} {h} &=\ lim_ {h\ to 0^+}\ frac {h} {h} &\ текст {так} h\ gt 0, |h|=h\\ &= 1\\\ кінець {align*}

Тоді як межа знизу:
\ begin {align*}\ lim_ {h\ to 0^-}\ frac {|h|} {h} &=\ lim_ {h\ to 0^-}\ frac {-h} {h} &\ text {оскільки} h\ lt 0, |h|= -h\\ &= -1\ end {align*} Оскільки односторонні межі відрізняються, обмеження як$h\to 0$ не існує. І таким чином похідна не існує як$x=0\text{.}$

Підсумовуючи:

\ begin {align*}\ розрив {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} |x| &=\ почати {випадки} -1 &\ текст {якщо} x\ lt 0\\ DNE &\ текст {якщо} x\ 1 &\ text {якщо} x\ gt 0\ кінець {випадки}\ кінець {end {align*}

Де похідна невизначена?

Згідно з визначенням 2.2.1, похідна$f'(a)$ існує саме тоді, коли межа$\lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ існує. Ця межа також є нахилом дотичної лінії до кривої$y=f(x)$ на цій межі не існує$x=a\text{.}$, коли крива$y=f(x)$ не має дотичної лінії$x=a$ або коли крива має дотичну лінію, але дотична лінія має нескінченний нахил. Деякі приклади цього ми вже бачили.

У прикладі 2.2.7 ми розглянули функцію$f(x)=\frac{1}{x}\text{.}$ Ця функція «вибухає» (тобто стає нескінченною) при$x=0\text{.}$ Вона не має дотичної лінії at$x=0$ і її похідна не існує на$x=0\text{.}$
У прикладі 2.2.10 ми розглянули функцію$f(x)=|x|\text{.}$ Ця функція не має дотичної лінії,$x=0\text{,}$ оскільки на графіку at є гострий кут$x=0\text{.}$ (Подивіться на графік у прикладі 2.2.10.)$y=|x|$ Таким чином,$f(x)=|x|$ похідне не існує при$x=0\text{.}$

Ось ще кілька прикладів.

Приклад 2.2.11 Похідна при розриві.

Візуально функція

$H(x) = \begin{cases} 0 & \text{if }x \le 0 \\ 1 & \text{if }x \gt 0 \end{cases}$

не має дотичної лінії в$(0,0)\text{.}$ Не дивно, коли$a=0$ і$h$ має тенденцію до$0$ з$h \gt 0\text{,}$

\ begin {збирати*}\ розриву {H (a+h) -H (a)} {h} =\ frac {H (h) -H (0)} {h} =\ frac {1} {h}\ end {gather*}

вибухає. Той самий вид обчислень показує, що$f'(a)$ не може існувати, коли функція не$f$ є безперервною на$a\text{.}$ Ми формалізуємо і доведемо, це твердження в теоремі 2.2.14, нижче.

Приклад 2.2.12$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{1/3}$.

Візуально це виглядає як$f(x) = x^{1/3}\text{,}$ намальована нижче функція (це може бути хорошим моментом, щоб нагадати, що кубічні корені від'ємних чисел є негативними - наприклад, оскільки$(-1)^3=-1\text{,}$ корінь куба$-1$ є$-1$),

має$y$ вісь —як свою дотичну лінію в$(0,0)\text{.}$ Отже, ми очікуємо, що цього$f'(0)$ не існує. Давайте перевіримо. З$a=0\text{,}$

\ почати {вирівнювати*} f' (a) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h} =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (h) -f (0)} {h} =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {h ^ {1/3} {h}\\ &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h^ {2/3}} =DNE\ end {align*}

як очікувалося.

Приклад 2.2.13$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{\left | x \right |}$.

Ми вже розглядали похідну функції$\sqrt{x}$ в прикладі 2.2.9. Тепер ми розглянемо функцію$f(x) = \sqrt{|x|}\text{.}$ Recall, з прикладу 2.2.10, визначення$|x|\text{.}$

Коли у$x \gt 0\text{,}$ нас$f(x)$ є$|x|=x$ і ідентичний$\sqrt{x}\text{.}$ Коли у$x \lt 0\text{,}$ нас є$|x|=-x$ і$f(x)=\sqrt{-x}\text{.}$ Так до графіка,$y=\sqrt{|x|}$ коли$x \lt 0\text{,}$ вам просто потрібно граф$y=\sqrt{x}$ для$x \gt 0$ а потім відправити$x\rightarrow -x$ - тобто відображати графік на$y$ осі —. Ось графік.

Гострий річ біля походження називається cusp. Графік$y=f(x)$ не має дотичної лінії при$(0,0)$ і, відповідно,$f'(0)$ не існує, оскільки

\ почати {збирати*}\ lim_ {h\ стрілка вправо 0^+}\ frac {f (h) -f (0)} {h} =\ lim_ {h\ rightarrow 0^+}\ frac {\ sqrt {|h|}} {h} =\ lim_ {h\ правий 0^+}\ frac {1} {\ sqrt {h}} =DNE\ кінець {збирати*}

Теорема 2.2.14.

Якщо функція$f(x)$ диференційовна на$x=a\text{,}$ потім$f(x)$ також безперервна при$x=a\text{.}$

Доказ.

Функція$f(x)$ є безперервною,$x=a$ якщо і тільки якщо межа

\ begin {збирати*} f (a+h) - f (a) =\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ h\ end {збирати*}

як$h\rightarrow 0$ існує і дорівнює нулю. Але якщо$f(x)$ диференційовний,$x=a\text{,}$ то, як$h\rightarrow 0\text{,}$ перший фактор,$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ сходиться до другого$f'(a)$ коефіцієнта,$h\text{,}$ сходиться до нуля. Таким чином, добуток забезпечення нашої арифметики меж Теорема 1.4.3 означає, що твір$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ h$ сходиться до$f'(a)\cdot 0=0$ теж.

Зверніть увагу, що, хоча ця теорема корисна, як зазначено, вона (можливо) частіше застосовується у своїй контрапозитивній формі ⁷:

Теорема 2.2.15 Контрапозитив теореми 2.2.14.

Якщо не$f(x)$ є безперервним,$x=a$ то він не диференційований при$x=a\text{.}$

Як ілюструють наведені вище приклади, це твердження не говорить нам, що відбувається, якщо$f$ це безперервно$x=a$ - ми повинні думати!

вправи

Етап 1

Вправа$\PageIndex{1}$

Функція$f(x)$ показана. Виберіть всі варіанти нижче, які описують його похідну,$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}$

(а) постійна
(б) збільшення
(c) зменшення
(г) завжди позитивний
(е) завжди негативний

Вправа$\PageIndex{2}$

Функція$f(x)$ показана. Виберіть всі варіанти нижче, які описують його похідну,$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}$

(а) постійна
(б) збільшення
(c) зменшення
(г) завжди позитивний
(е) завжди негативний

Вправа$\PageIndex{3}$

Функція$f(x)$ показана. Виберіть всі варіанти нижче, які описують його похідну,$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\text{:}$

(а) постійна
(б) збільшення
(c) зменшення
(г) завжди позитивний
(е) завжди негативний

Вправа$\PageIndex{4}$(✳)

Держава, з точки зору межі, що це означає для того,$f(x) = x^3$ щоб бути диференційованим на$x = 0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Для яких значень$x$$f'(x)$ не існує?

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо$f(x)$, це функція, визначена в$x=a$ with

\[ \lim_{h \to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=1. \nonumber \]

Правда чи брехня:$f'(a)=1\text{.}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо$f(x)$, це функція, визначена в$x=a$ with

\[ \lim_{x \to a^-}f'(x)=\lim_{x \to a^+}f'(x)=1. \nonumber \]

Правда чи брехня:$f'(a)=1\text{.}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо,$s(t)$ це функція,$t$ вимірюється в секундах і$s$ вимірюється в метрах. Які бувають одиниці$s'(t)\text{?}$

Етап 2

Вправа$\PageIndex{9}$

Використовуйте визначення похідної, щоб знайти рівняння дотичної лінії до кривої$y(x)=x^3+5$ в точці$(1,6)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Використовуйте визначення похідної, щоб знайти похідну$f(x)=\frac{1}{x}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{11}$(✳)

Нехай$f(x) = x|x|\text{.}$ Використовуючи визначення похідної, показати, що$f(x)$ диференційовний при$x = 0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{12}$(✳)

Використовуйте визначення похідної для обчислення похідної функції$f(x)=\frac{2}{x+1}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{13}$(✳)

Використовуйте визначення похідної для обчислення похідної функції$f(x)=\frac{1}{x^2+3}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Використовуйте визначення похідної, щоб знайти нахил дотичної лінії до кривої$f(x)=x\log_{10}(2x+10)$ в точці$x=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{15}$(✳)

Обчислити похідну$f(x)=\frac{1}{x^2}$ безпосередньо з визначення.

Вправа$\PageIndex{16}$(✳)

Знайти значення констант$a$ і$b$ для яких

\ begin {align*} f (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {lc} x ^ 2 & x\ le 2\\ ax+ b & x\ gt 2\ end {масив}\ справа. \ end {вирівнювати*}

диференційований скрізь.

Зауваження: У тексті ви вже дізналися похідні$x^2$ і$ax+b\text{.}$ У цьому питанні вас просять лише знайти значення$a$ і$b$ - не виправдати, як ви їх отримали, тому вам не доведеться використовувати визначення похідної. Однак на іспиті вас можуть попросити обґрунтувати свою відповідь, і в цьому випадку ви показуєте, як диференціювати дві гілки$f(x)$ використання визначення похідної.

Вправа$\PageIndex{17}$(✳)

Використовуйте визначення похідної для обчислення,$f'(x)$ якщо$f(x) = \sqrt{1 + x}\text{.}$ Де$f'(x)$ існує?

Етап 3

Вправа$\PageIndex{18}$

Використовуйте визначення похідної, щоб знайти швидкість об'єкта, положення якого задається функцією$s(t)=t^4-t^2\text{.}$

Вправа$\PageIndex{19}$(✳)

Визначте, чи існує похідна від наступної функції на$x=0\text{.}$

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} х\ cos x &\ text {якщо} x\ ge 0\\ sqrt {x^2+x^4} &\ text {якщо} x\ lt 0\ end {випадки}\ end {align*}

Ви повинні обґрунтувати свою відповідь, використовуючи визначення похідної.

Вправа$\PageIndex{20}$(✳)

Визначте, чи існує похідна від наступної функції$x=0$

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} х\ cos x &\ text {якщо} x\ le 0\\ sqrt {1+x} -1 &\ text {якщо} x\ gt 0\ end {випадки}\ end {align*}

Ви повинні обґрунтувати свою відповідь, використовуючи визначення похідної.

Вправа$\PageIndex{21}$(✳)

Визначте, чи існує похідна від наступної функції$x=0$

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} x^3-7x^2 &\ текст {якщо} x\ le 0\ x^3\ cos\ cos\ left (\ frac {1} {x}\ праворуч) &\ текст {якщо} x\ gt 0\ end {випадки}\ кінець {align*}

Ви повинні обґрунтувати свою відповідь, використовуючи визначення похідної.

Вправа$\PageIndex{22}$(✳)

Визначте, чи існує похідна від наступної функції$x=1$

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} 4x^2-8x+4 &\ текст {якщо} х\ ле 1\\ (x-1) ^2\ sin\ ліворуч (\ dfrac {1} {x-1}\ праворуч) &\ text {якщо} x\ gt 1\ end {випадки}\ end {align*}

Ви повинні обґрунтувати свою відповідь, використовуючи визначення похідної.

Вправа$\PageIndex{23}$

$f(x)$Намалюйте функцію$f'(0)=-1$, яка приймає такі значення:

$\mathbf{x}$	$-1$	$-\frac{1^{ }}{2_{ }}$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$
$\mathbf{f(x)}$	$-1$	$-\frac{1^{ }}{2_{ }}$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$

Зауваження: ви не завжди можете вгадати поведінку функції з її точок, навіть якщо точки, здається, роблять чіткий шаблон.

Вправа$\PageIndex{24}$

Нехай$p(x)=f(x)+g(x)\text{,}$ для деяких функцій$f$ і$g$ чиї похідні існують. Використовуйте граничні закони та визначення похідної, щоб показати, що$p'(x)=f'(x)+g'(x)\text{.}$

Зауваження: це називається правилом суми, і ми дізнаємося більше про нього в Lemma 2.4.1.

Вправа$\PageIndex{25}$

Нехай$f(x)=2x\text{,}$$g(x)=x\text{,}$ і$p(x)=f(x) \cdot g(x)\text{.}$

Знайти$f'(x)$ і$g'(x)\text{.}$
Знайти$p'(x)\text{.}$
Є$p'(x)=f'(x) \cdot g'(x)\text{?}$

У теоремі 2.4.3 ви дізнаєтеся правило обчислення похідної добутку двох функцій.

Вправа$\PageIndex{26}$(✳)

Є дві різні прямі, які проходять через точку$(1,-3)$ і дотичні до кривої$y = x^2\text{.}$ Знайти рівняння для цих двох ліній.

Зауваження: точка$(1,-3)$ не лежить на кривій$y=x^2\text{.}$

Вправа$\PageIndex{27}$(✳)

Для яких значень of$a$ є функцією

\[ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} 0 & x\le 0\\ x^a \sin\frac{1}{x} & x \gt 0\end{array}\right. \nonumber \]

диференційований при 0?

\(\mathbf{x}\)	\(-1\)	\(-\frac{1^{ }}{2_{ }}\)	\(-\frac{1}{4}\)	\(-\frac{1}{8}\)	\(0\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)
\(\mathbf{f(x)}\)	\(-1\)	\(-\frac{1^{ }}{2_{ }}\)	\(-\frac{1}{4}\)	\(-\frac{1}{8}\)	\(0\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)

Визначення 2.2.1 Похідна в точці.

Приклад 2.2.2 Похідна від\(f(x)=c\).

Приклад 2.2.3 Похідна від\(g(x)=x\).

Теорема 2.2.4 Найпростіші похідні.

Приклад 2.2.5 Похідна від\(h(t)=t^2\).

Важливий момент (і деякі позначення)

Визначення 2.2.6 Похідна як функція.

Приклад 2.2.7 Похідна від\(f(x)=\tfrac{1}{x}\).

Визначення 2.2.8.

Назад до Обчислення деяких похідних

Приклад 2.2.9\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{x}\).

Приклад 2.2.10\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{ |x| \right\}\).

Де похідна невизначена?

Приклад 2.2.11 Похідна при розриві.

Приклад 2.2.12\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^{1/3}\).

Приклад 2.2.13\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{\left | x \right |}\).

Теорема 2.2.14.

Теорема 2.2.15 Контрапозитив теореми 2.2.14.

вправи

Етап 1

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Етап 2

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{12}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{13}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{16}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{17}\)(✳)

Етап 3

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{20}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{21}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{22}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Вправа\(\PageIndex{26}\)(✳)

Вправа\(\PageIndex{27}\)(✳)