2.11: Неявна диференціація

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60603

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Неявна диференціація - це простий трюк, який використовується для обчислення похідних функцій або

коли ви не знаєте явної формули для функції, але ви знаєте рівняння, що функція підпорядковується або
навіть якщо у вас є явна, але складна формула для функції, і функція підпорядковується простому рівнянню.

Хитрість полягає лише в тому, щоб диференціювати обидві сторони рівняння, а потім вирішити для похідної, яку ми шукаємо. Насправді ми вже зробили це, не використовуючи назву «неявна диференціація», коли ми знайшли похідну від$\log x$ у попередньому розділі. Там ми знали, що функція$f(x)=\log x$ задовольняє рівняння$e^{f(x)}=x$ для всіх$x\text{.}$ Тобто функції$e^{f(x)}$ і$x$ насправді однакові функції і так мають однакову похідну. Таким чином, ми мали

\ почати {збирати*}\ dfrac {d} {dx} e^ {f (x)} =\ dfrac {d} {dx} x = 1\ кінець {збирати*}

Потім ми використали правило ланцюга, щоб отримати,$\dfrac{d}{dx}e^{f(x)}=e^{f(x)}f'(x)\text{,}$ який сказав нам, що$f'(x)$ підпорядковується рівнянню.

\ begin {align*} e^ {f (x)} f' (x) &=1 &\ текст {і тепер ми можемо вирішити для $f' (x) $}\\ f' (x) &= e^ {-f (x)} = e^ {-\ log x} =\ frac {1} {x}. \ end {вирівнювати*}

Типовим способом звикання до неявної диференціації є гра з проблемами, пов'язаними з дотичними лініями до кривих. Ось кілька прикладів знаходження рівнянь дотичних ліній до кривих. Нагадаємо, з теореми 2.3.4, що, в цілому, дотична лінія до кривої$y=f(x)$ при$\big(x_0,y_0\big)$ дорівнює$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\text{.}$

Приклад 2.11.1 Пошук дотичної лінії за допомогою неявної диференціації.

Знайти рівняння дотичної прямої до$y=y^3+xy+x^3$ at$x=1\text{.}$

Це дуже стандартний приклад звучання, але дещо ускладнений тим, що крива задається кубічним рівнянням - а це означає, що ми не можемо вирішити безпосередньо для з$y$ точки зору$x$ або навпаки. Тому нам дійсно потрібна неявна диференціація.

Спочатку$x=1$ зауважте, що коли рівняння,$y=y^3+xy+x^3\text{,}$ кривої спрощується$y=y^3+y+1$ або$y^3=-1\text{,}$ яку ми можемо вирішити ¹:$y=-1\text{.}$ Отже, ми знаємо, що крива проходить,$(1,-1)$ коли$x=1\text{.}$
Тепер, щоб знайти нахил дотичної лінії на$(1,-1)\text{,}$ вигляд, що наша крива$y=f(x)$ так, що$f(x)$ підкоряється
\ begin {вирівнювати*} f (x) &= f (x) ^3+ х f (x) + x^3\ end {вирівнювати*}
для всіх$x\text{.}$ Диференціація обох сторін дає
\ begin {збирати*} f' (x) =3f (x) ^2f' (x) +f (x) +xf' (x) +3x^2\ end {збирати*}
У цей момент ми могли б виділити$f'(x)$ і написати його з точки зору$f(x)$ і,$x\text{,}$ але оскільки ми хочемо відповідей лише тоді, коли$x=1\text{,}$ давайте підставимо в$x=1$ і$f(1)=-1$ (оскільки крива проходить$(1,-1)$) і очистити речі, перш ніж робити що-небудь інше.
Підбинг в$x=1,\ f(1)=-1$ дає
\ begin {align*} f' (1) &=3f' (1) -1+f' (1) +3 &\ текст {і так} f' (1) =-\ розрив {2} {3}\ end {align*}}
Рівняння дотичної прямої дорівнює
\ begin {збирати*} y=y_0+f' (x_0) (x-x_0) =-1-\ розрив {2} {3} (x-1) =-\ розрив {2} {3} {3} x-\ frac {1} {3}\ кінець {збирати*}}

Ми можемо додатково очистити рівняння рядка, щоб записати його як$2x+3y=-1\text{.}$

У попередньому прикладі ми$y$ замінюємо на$f(x)$ в середині обчислення. Ми насправді не повинні цього робити. Коли ми виписуємо наше рішення, ми можемо пам'ятати, що$y$ це функція$x\text{.}$ Отже, ми можемо почати з

\ begin {вирівнювати*} y &=y^3+xy+x^3 &\\\ кінець {вирівнювати*}

і диференціювати, пам'ятаючи, що$y\equiv y(x)$

\ begin {вирівнювати*} y' &= 3 y^2 y' + xy' + y + 3x^2\\ end {вирівнювати*}

А тепер підставляємо$x=1, y=-1$, щоб отримати

\ begin {align*} y' (1) &= 3\ cdot y' (1) + y' (1) - 1 + 3 &\ текст {і так}\ y' (1) &= -\ frac {2} {3}\ end {align*}}

Наступний одночасно трохи простіше (тому що він квадратичний) і трохи складніше (тому що нас просять дотичну в загальній точці на кривій, а не конкретній).

Приклад 2.11.2 Інша дотична пряма через неявну диференціацію.

$(x_0,y_0)$Дозволяти точка на еліпсі$3x^2+5y^2=7\text{.}$ Знайти рівняння для дотичних ліній, коли$x=1$ і$y$ є додатним. Потім знайдіть рівняння для дотичної лінії до еліпса в загальній точці.$(x_0,y_0)\text{.}$

Оскільки нам не дано конкретного пункту,$x_0$ нам доведеться бути обережними з другою половиною цього питання.

Коли$x=1$ рівняння спрощує
\ почати {вирівнювати*} 3 + 5y^2 &= 7\\ 5y^2 &= 4\\ y &=\ pm\ frac {2} {\ sqrt {5}}. \ end {вирівнювати*}
Нас цікавить лише позитив$y\text{,}$, тому наша точка на кривій$(1,2/\sqrt{5})\text{.}$
Тепер ми використовуємо неявну диференціацію, щоб знайти$\dfrac{dy}{dx}$ в цій точці. Спочатку ми робимо вигляд, що ми розв'язали криву явно, для деякого інтервалу з$x$, як$y=f(x)\text{.}$ рівняння стає
\ begin {вирівнювати*} 3x^2 + 5f (x) ^2 &= 7 &\ текст {тепер диференціювати}\\ 6x + 10 f (x) f' (x) &= 0\\ f' (x) &= -\ frac {3x} {5f (x)}\ кінець {вирівняй*}
Коли$x=1, y= 2/\sqrt{5}$ це стає
\ почати {вирівнювати*} f' (1) &= -\ frac {3} {5\ cdot 2/\ sqrt {5}} = -\ frac {3} {2\ sqrt {5}}\ end {align*}
Отже, дотична лінія проходить$(1,2/\sqrt{5})$ і має нахил,$- \frac{3}{2\sqrt{5}}\text{.}$ отже, дотична лінія має рівняння.
\ begin {align*} y &=y_0+f' (x_0) (x_x_0)\\ &=\ frac {2} {\ sqrt {5}} -\ frac {3} {2\ sqrt {5}} (x-1)\ &=\ frac {7 - 3x} {2\ sqrt {5}} &\ текст {або еквівалентно}\\ 3x + 2\ sqrt {5} y&= 7\ кінець {вирівнювати*}

Тепер ми повинні повернутися назад і зробити те ж саме, але для загальної точки на кривій.$(x_0,y_0)\text{:}$

Хорошим першим кроком тут є ескіз кривої. Оскільки це еліпс, він досить прямий вперед.

Зверніть увагу, що на еліпсі є дві точки - крайня права і ліва точки$(x_0,y_0)=\pm\big(\sqrt{\frac{7}{3}},0\big)$ - в яких дотична лінія вертикальна. У цих двох випадках дотична лінія просто$x=x_0\text{.}$
Оскільки це квадратично,$y\text{,}$ ми могли б вирішити це явно, щоб отримати
\ begin {вирівнювати*} y &=\ pm\ sqrt {\ frac {7-3x^2} {5}}\ end {align*}

і вибрати позитивну або негативну гілку відповідно. Тоді ми могли б диференціювати, щоб знайти нахил і скласти речі разом, щоб отримати дотичну лінію.

Але навіть у цьому відносно легкому випадку він обчислювально-чистіший, а отже, менш вразливий до механічних помилок, використовувати неявну диференціацію. Так ось що ми і будемо робити.
Тепер ми могли б знову «зробити вигляд», що ми вирішили рівняння для еліпса для$y=f(x)$ ближнього,$(x_0,y_0)\text{,}$ але давайте не будемо цього робити. Замість цього (як ми робили безпосередньо перед цим прикладом) просто пам'ятайте, що коли ми диференціюємо$y$ це дійсно функція$x\text{.}$ Так починаючи з
\ begin {вирівнювати*} 3x^2 + 5y^2 &=7 &\ текст {диференціювання дає}\\ 6x + 5\ cdot 2y\ cdot y' &= 0\ end {align*}
Потім ми можемо вирішити це для$y'\text{:}$
\ begin {вирівнювати*} y' &= -\ розрив {3x} {5y}\ кінець {вирівнювати*}
де$y'$ і$y$ є обидві функції$x\text{.}$
Отже, в точці$(x_0,y_0)$ ми маємо
\ begin {align*}\ ліворуч. y'\ right|_ {(x_0, y_0)} &= -\ розрив {3x_0} {5y_0}\ end {align*}
Це нахил дотичної лінії при$(x_0,y_0)$ і тому її рівняння
\ begin {align*} y &=y_0+y'\ cdot (х-х_0)\\ &= y_0 -\ розриву {3x_0} {5y_0} (x-x_0)\\ end {align*}

Ми можемо спростити це, помноживши на,$5y_0$ щоб отримати
\ begin {вирівнювати*} 5y_0 y &= 5y_0^2-3x_0x +3x_0x\\\ кінець {align*}
Ми можемо очистити це більше, перемістивши всі терміни, які містять$x$ або$y$ ліворуч, а все інше вправо:
\ begin {align*} 3x_0x+5y_0y &=3x_0^2+5y_0^2\\ end {align*}
Але є ще одна річ, яку ми можемо зробити, наше початкове рівняння$3x^2+5y^2=7$ для всіх точок на кривій, тому ми знаємо, що$3x_0^2+5y_0^2=7\text{.}$ Це очищає правий бік.
\ begin {вирівнювати*} 3x_0x+5y_0y &=7\ end {вирівнювати*}
При отриманні цієї формули для дотичної лінії в$(x_0,y_0)$ ми припустили, що$y_0\ne 0\text{.}$ Але насправді остаточна відповідь трапляється також працювати, коли$y_0=0$ (що означає$x_0=\pm\sqrt{\frac{7}{3} }$), так що дотична лінія$x=x_0\text{.}$

Ми також можемо перевірити, що наша відповідь для загального$(x_0,y_0)$ зводиться до нашої відповіді на$x_0=1\text{.}$

Коли$x_0=1$ ми розробили це$y_0=2/\sqrt{5}\text{.}$
Підключення цього до нашої відповіді вище дає
\ почати {align*} 3x_0x+5y_0y &=7 &\ текст {суб в $ (x_0, y_0) = (1,2/\ sqrt {5}) $}:\ 3 x + 5\ frac {2} {\ sqrt {5}} y &= 7 &\ текст {трохи очистити}\\ 3x + 2\ sqrt {5}} y &=7\ кінець {вирівнювати*}
як потрібно.

Приклад 2.11.3 Більш залучений приклад.

У яких точках крива$x^2-xy+y^2=3$ перетинає$x$ вісь —? Чи паралельні дотичні лінії до кривої в цих точках?

Це питання 2 частини - спочатку$x$ -перехоплення, а потім нам потрібно вивчити дотичні лінії.

Знаходження, де крива перетинає$x$ -вісь прямо вперед. Це робиться, коли$y=0\text{.}$ Це означає, що$x$ задовольняє
\ почати {вирівнювати*} x^2-x\ cdot 0+0^2&=3 &\ текст {так $x =\ pm\ sqrt {3} $}. \ end {вирівнювати*}
Таким чином, крива перетинає$x$ вісь —у двох точках$\big(\pm\sqrt{3}\,,\,0\big)\text{.}$
Тепер нам потрібно знайти дотичні лінії в цих точках. Але нам насправді не потрібні лінії, тільки їх нахили. Знову ж таки, ми можемо зробити вигляд, що біля однієї з цих точок крива$y=f(x)\text{.}$ Застосовується$\dfrac{d}{dx}$ до обох сторін$x^2-xf(x)+f(x)^2=3$ дає.
\ begin {вирівнювати*} 2x-f (x) -xf' (х) +2f (x) f' (x) &= 0\ кінець {вирівнювати*}
і т.д.
Але давайте припинимо «прикидатися». Просто переконайтеся, що ми пам'ятаємо, що$y$ це функція,$x$ коли ми диференціюємо:
\ begin {align*} x^2-xy+y^2 &= 3 &\ text {почати з кривої і диференціювати}\\ 2x - xy' -y + 2yy' &=0 &\ end {align*}
Тепер підставляємо в першому пункті,$x=+\sqrt{3}, y=0\text{:}$
\ почати {вирівнювати*} 2\ sqrt {3} -\ sqrt {3} y' + 0 &=0\ y' &= 2\ end {align*}
А тепер робимо другий пункт.$x=-\sqrt{3}, y=0\text{:}$
\ почати {вирівнювати*} -2\ sqrt {3} +\ sqrt {3} y' + 0 &=0\ y' &= 2\ end {align*}
При цьому нахил однаковий,$x=\sqrt{3}$$x=-\sqrt{3}$ а дотичні лінії паралельні.

Гаразд - давайте підемо від кривих і зробимо щось дещо інше.

Приклад 2.11.4 Груба гра в бейсбол.

Ви стоїте біля походження. Під час нуль глечик кидає м'яч у вашу голову ².

Положення (центр) м'яч в той час,$x(t)=d-vt\text{,}$ де$t$$d$ знаходиться відстань від голови до кургану глечика і$v$ швидкість м'яча. Ваше око бачить кульку, що заповнює ³ кута$2\theta(t)$ з

\ begin {збирати*}\ гріх\ великий (\ тета (t)\ великий) =\ frac {r} {d-vt}\ end {gather*}

де$r$ - радіус бейсболу. Питання «Як швидко$\theta$ росте в часі$t\text{?}$» Тобто, що таке$\dfrac{d\theta}{dt}\text{?}$

Ми не знаємо (поки), як вирішити це рівняння, щоб знайти$\theta(t)$ явно. Тому ми використовуємо неявну диференціацію.
Для цього ми$\dfrac{d}{dt}$ застосовуємо обидві сторони нашого рівняння. Це дає
\ begin {збирати*}\ cos\ big (\ тета (t)\ великий)\ cdot\ theta' (t) =\ frac {rv} {(d-vt) ^2}\ кінець {збирати*}
Тоді вирішуємо для$\theta'(t)\text{:}$
\ begin {збирати*}\ theta' (t) =\ frac {rv} {(d-vt) ^2\ cos\ big (\ theta (t)\ великий)}\ end {збирати*}
Як це часто буває, при використанні неявної диференціації ця відповідь не дуже задовольняє, оскільки вона містить,$\theta(t)\text{,}$ для якої ми досі не маємо явної формули. Однак у цьому випадку ми можемо отримати явну формулу для$\cos\big(\theta(t)\big)\text{,}$ без явної формули,$\theta(t)\text{,}$ просто подивившись на прямокутний трикутник на малюнку 2.11.5, вище.
Гіпотенуза цього трикутника має довжину$d-vt\text{.}$ За Піфагором довжина сторони трикутника, прилеглої до кута$\theta(t)$,$\sqrt{(d-vt)^2-r^2}\text{.}$ дорівнює
\[ \cos\big(\theta(t)\big)=\frac{\sqrt{(d-vt)^2-r^2}}{d-vt} \nonumber \]
і
\ begin {збирати*}\ тета '(t) =\ frac {rv} {(d-vt)\ sqrt {(d-vt) ^2-r^2}}\ end {збирати*}

Гаразд - лише ще один приклад дотичної до кривої, а потім ми перейдемо до чогось іншого.

Приклад 2.11.6 Астроїд (ні, що не є помилкою).

$(x_0,y_0)$Дозволяти бути точкою на астроїді ⁴ ⁵

\ begin {збирати*} x^ {\ розриву {2} {3}} +y^ {\ гідророзриву {2} {3}} =1. \ end {збирати*}

Знайти рівняння для дотичної прямої до астроїда при$(x_0,y_0)\text{.}$

Як це було в прикладах вище, ми можемо переписати рівняння астроїда поблизу$(x_0,y_0)$ у формі$y=f(x)\text{,}$ з явним$f(x)\text{,}$ шляхом вирішення рівняння$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1\text{.}$ Але знову ж таки, він обчислювально-чистіший, а отже, менш вразливий до механічних помилок, використовувати неявну диференціацію. Так ось що ми і будемо робити.
По-перше, так як$(x_0,y_0)$ лежить на кривій, вона задовольняє
\ begin {збирати*} x_0^ {\ розрив {2} {3}} +y_0^ {\ розрив {2} {3}} =1. \ end {збирати*}
Тепер, не прикидаючись, що$y=f(x)\text{,}$ цього разу - просто переконайтеся, що ми пам'ятаємо, коли ми диференціюємо, що$y$ змінюється$x\text{.}$
\ begin {вирівнювати*} x^ {\ розриву {2} {3}} +y^ {\ гідророзриву {2} {3}} &=1\\ end {align*}

Почніть з кривої, а потім диференціюйте
\ begin {вирівнювати*}\ розрив {2} {3} x^ {-\ розриву {1} {3}} +\ гідророзриву {2} {3} y^ {-\ гідророзриву {1} {3}} y' &=0\ end {align*}}
Зверніть увагу, похідні$x^{\frac{2}{3}}\text{,}$ саме$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\text{,}$ і похідні від$y^{\frac{2}{3}}\text{,}$ а саме$\frac{2}{3} y^{-\frac{1}{3}}y'\text{,}$ визначаються тільки тоді, коли$x\ne 0$ і$y\ne 0\text{.}$ Ми зацікавлені в$y=y_0\text{.}$ тому випадку, що$x=x_0$ і Тому ми краще припустити, що$x_0\ne 0$ і$y_0\ne 0\text{.}$ Напевно щось дивне відбувається, коли $x_0=0$або$y_0=0\text{.}$ ми повернемося до цього найближчим часом.
Щоб продовжити далі, ми встановлюємо$x=x_0, y=y_0$ в рівнянні вище, а потім вирішуємо для$y'\text{:}$
\[ \frac{2}{3}x_0^{-\frac{1}{3}} +\frac{2}{3} y_0^{-\frac{1}{3}} y'(x)=0 \implies y'(x_0)= -\left( \frac{y_0}{x_0} \right)^{\frac{1}{3}} \nonumber \]
Це нахил дотичної лінії і її рівняння дорівнює
\[ y=y_0+f'(x_0)(x-x_0) = y_0 -\left(\frac{y_0}{x_0}\right)^{\frac{1}{3}}(x-x_0) \nonumber \]

Тепер давайте трохи подумаємо про те, що$-\root{3}\of {\frac{y_0}{x_0}}$ говорить нам про астроїд нахил дотичної лінії.

По-перше, в якості попереднього спостереження зверніть увагу, що оскільки$x_0^{\frac{2}{3}}\ge0$ і$y_0^{\frac{2}{3}}\ge0$ рівняння$x_0^{\frac{2}{3}}+y_0^{\frac{2}{3}}=1$ астроїдних сил$0\le x_0^{\frac{2}{3}},y_0^{\frac{2}{3}} \le 1$ і, отже,$-1\le x_0,y_0\le 1\text{.}$
Для всього$x_0,y_0 \gt 0$ нахилу$-\root{3}\of {\frac{y_0}{x_0}} \lt 0\text{.}$ Так у всіх точках астроїда, які знаходяться в першому квадранті, дотична лінія має негативний нахил, тобто «нахиляється назад».
Як$x_0$ прагне до нуля,$y_0$ прагне до$\pm 1$ і нахил дотичної лінії прагне до нескінченності. Так в точках на астроїді$(0,\pm 1)\text{,}$ біля дотичної лінії майже вертикально.
Як$y_0$ прагне до нуля,$x_0$ прагне до$\pm 1$ і нахил дотичної лінії прагне до нуля. Так що в точках на астроїді$(\pm 1,0)\text{,}$ біля дотичної лінії майже горизонтально.

Ось малюнок, що ілюструє все це.

Звичайно, як ми спекулювали раніше, щось дивне відбувається з астроїдом, коли$x_0$ або$y_0$ дорівнює нулю. Астроїд загострений, і не має там дотичної.

Вправи

Етап 1

Вправа$\PageIndex{1}$

Якщо ми неявно$x^2+y^2=1\text{,}$ диференціюємо, ми отримаємо рівняння$2x+2yy'=0\text{.}$ На кроці, де ми диференціюємо,$y^2$ щоб отримати,$2yy'\text{,}$ яке правило (и) нижче ми використовуємо? (a) правило влади, (b) правило ланцюга, (c) часткове правило, (d) похідні експоненціальних функцій

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуючи малюнок нижче, оцініть$\displaystyle\dfrac{dy}{dx}$ у трьох точках, де крива перетинає$y$ вісь -.

Зауваження: для цієї кривої одне значення$x$ може відповідати декільком значенням$y\text{.}$ Отже, ми не можемо виразити цю криву, як$y=f(x)$ для будь-якої функції.$x\text{.}$ Це одна типова ситуація, коли ми можемо використовувати неявну диференціацію.

Вправа$\PageIndex{3}$

Розглянемо одиничну окружність, утворену всіма точками$(x,y)$, які задовольняють$x^2+y^2=1\text{.}$

Чи існує$f(x)$ така функція, яка$y=f(x)$ повністю описує одиничне коло? Тобто, так що точки,$(x,y)$ які роблять рівняння$y=f(x)$ істинним, є точно такими ж точками, які роблять рівняння$x^2+y^2=1$ істинним?
Чи існує$f'(x)$ така функція, яка$y=f'(x)$ повністю описує нахил одиничного кола? Тобто так, щоб для кожної точки$(x,y)$ на одиничному колі нахил дотичної лінії до кола в цій точці задається$f'(x)\text{?}$
Використовуйте неявну диференціацію, щоб знайти вираз для$\displaystyle\dfrac{dy}{dx}\text{.}$ Simplify, поки вираз не є функцією з точки зору$x$ only (not$y$), або поясніть, чому це неможливо.

Етап 2

Вправа$\PageIndex{4}$ (✳)

Знайти,$\displaystyle\dfrac{dy}{dx}$ якщо$xy + e^x + e^y = 1\text{.}$

Вправа$\PageIndex{5}$ (✳)

Якщо$e^y=xy^2+x\text{,}$ обчислити$\displaystyle\dfrac{dy}{dx}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{6}$ (✳)

Якщо$x^2\tan(\pi y/4)+2x\log(y) = 16\text{,}$ потім знайти$y'$ в точках, де$y=1\text{.}$

Вправа$\PageIndex{7}$ (✳)

Якщо$x^3+y^4 = \cos(x^2+y)$ обчислити$\dfrac{dy}{dx}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{8}$ (✳)

Якщо$x^2e^y + 4x\cos(y) = 5\text{,}$ потім знайти$y'$ в точках, де$y=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{9}$ (✳)

Якщо$x^2+y^2 = \sin(x+y)$ обчислити$\dfrac{dy}{dx}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{10}$ (✳)

Якщо$x^2\cos(y)+2xe^y = 8\text{,}$ потім знайти$y'$ в точках, де$y=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{11}$

В яких точках на$x^2+3y^2=1$ еліпсі розташовується дотична лінія, паралельна прямій$y=x\text{?}$

Вправа$\PageIndex{12}$ (✳)

Для кривої, визначеної рівнянням,$\sqrt{xy} = x^2y-2\text{,}$ знайти нахил дотичної лінії в точці.$(1, 4)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{13}$ (✳)

Якщо$x^2y^2+x\sin(y)=4\text{,}$ знайти$\displaystyle\dfrac{dy}{dx}\text{.}$

Етап 3

Вправа$\PageIndex{14}$ (✳)

Якщо$x^2+(y+1)e^y = 5\text{,}$ потім знайти$y'$ в точках, де$y=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{15}$

Для яких значень$x$ кола$x^2+y^2=1$ та еліпса$x^2+3y^2=1$ мають паралельні дотичні лінії?

Етап 1

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Етап 2

Вправа\(\PageIndex{4}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{5}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{6}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{7}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{8}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{9}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{10}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{13}\) (✳)

Етап 3

Вправа\(\PageIndex{14}\) (✳)

Вправа\(\PageIndex{15}\)