2.3: Тлумачення похідної

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60602

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У попередніх розділах ми визначали похідну як нахил дотичної лінії, використовуючи певну межу. Це дозволяє обчислити «нахил кривої» ¹ і надає нам одну інтерпретацію похідної. Однак основне значення похідних не виходить з цього додатка. Натомість (можливо) це походить від тлумачення похідної як миттєвої швидкості зміни кількості.

Миттєва швидкість зміни

Насправді ми вже (таємно) використовували похідну для обчислення миттєвої швидкості зміни в розділі 1.2. Для вашої зручності ми розглянемо це обчислення тут, у прикладі 2.3.1, а потім узагальнити його.

Приклад 2.3.1 Швидкість як похідна.

Ви кидаєте м'яч з високого будинку. Через$t$ кілька секунд м'яч впав на відстань$s(t)=4.9 t^2$ метрів. Яка швидкість кулі через секунду після його скидання?

У часовому проміжку від$t=1$ до м'яча$t=1+h$ проїжджає відстань
\ begin {збирати*} s (1+h) -s (1) =4.9 (1+h) ^2 - 4,9 (1) ^2 =4,9\ великий [2h+h ^ 2\ big]\ end {збирати*}
Отже, середня швидкість за цей часовий проміжок
\ begin {align*} &\ text {середня швидкість від $t = 1$ до $t=1+h$}\\ &=\ frac {\ text {відстань пройдена від $t = 1$ до $t=1+h}} {\ text {довжина часу від $t = 1$ до $t=1+h}}\ &=\ frac {s (1+h) -s (1)} {h}\\ &=\ гідророзриву {4.9\ великий [2h+h^2\ big]} {h}\ &=4.9 [2+h]\ end {align*}
Миттєва швидкість в часі$t=1$ визначається як межа
\ begin {align*} &\ text {миттєва швидкість в час} t = 1\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ великий [\ текст {середня швидкість від $t = 1$ до $t=1+h}\ big]\\\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {s (1+hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {s +h) -s (1)} {h} = s' (1)\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ стрілка вправо 0} 4.9 [2+год]\\ &\ hskip0.5in= 9.8\ текст {m/ сек}\ кінець {вирівнювати*}
Зроблено висновок, що миттєва швидкість в часі,$t=1\text{,}$ яка є миттєвою швидкістю зміни відстані за одиницю часу часу,$t=1\text{,}$ є похідною.$s'(1)=9.8\text{m/sec}\text{.}$

Тепер припустимо, загалом, що ви гуляєте, і що, коли ви ходите, ви постійно вимірюєте деяку кількість, наприклад температуру, і що вимірювання в той час$t$ є$f(t)\text{.}$ Тоді

\ begin {align*} &\ text {середня швидкість зміни $f (t) $ від $t=a$ до $t=a+h$}\\ &\ hskip0.5in=\ frac {\ text {зміна $f (t) $ від $t=a$ до $t=a+h $}} {\ текст {тривалість часу від $t = a $ до $t=t=t$} {\ текст {тривалість часу від $t=a $ до $t=t=t$ a+h$}}\\ &\ hskip0.5in=\ розрив {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {вирівнювати*}

так що

\ begin {align*} &\ text {миттєва швидкість зміни $f (t) $ при $t=a$}\\ &\ hskip0.5in=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ big [\ text {середня швидкість зміни $f (t) $ від $t=a$ до $t=a+h $}\ big]\\ &\ hskip0.5inin =\ lim_ {h\ стрілка вправо 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\ &\ hskip0.5in= f '(a)\ end {align*}

Зокрема, якщо ви йдете вздовж$x$ осі —і ваша$x$ —координата в той час,$x(t)\text{,}$ то$t$$x'(a)$ це миттєва швидкість зміни (за одиницю часу) вашої$x$ —координати в той час,$t=a\text{,}$ яка є вашою швидкістю в часі$a\text{.}$ Якщо$v(t)$ ваша швидкість в часі,$t\text{,}$ то$v'(a)$ це миттєва швидкість зміни вашої швидкості в той час.$a\text{.}$ Це називається ваше прискорення в часі$a\text{.}$

Ухил

Припустимо, що$y=f(x)$ це рівняння кривої в$xy$ —площині. Тобто$y$ —координата точки на кривій,$f(x)$ чия$x$ —координата є$x\text{.}$ Тоді, як ми вже бачили,

\ begin {збирати*}\ великий [\ текст {нахил секансу через $\ big (a, f (a)\ великий) $ і $\ великий (a+h, f (a+h)\ великий) $}\ big] =\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\ end {gather*}

Це показано на малюнку 2.3.2 нижче.

Для того, щоб створити дотичну лінію (як ми це робили кілька разів зараз) ми стискаємо$h \to 0\text{.}$ Як ми робимо це, секанс через$\big(a,f(a)\big)$ і$\big(a+h,f(a+h)\big)$ наближається ² дотичної лінії до$y=f(x)$ at$x=a\text{.}$ Оскільки січна стає дотичною лінією в цій межі, нахил секанса стає нахилом дотичної і

\ begin {align*}\ big [\ text {нахил дотичної лінії до $\; y=f (x) $ при $x=a$}\ великий] &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}\\ &=f' (a). \ end {вирівнювати*}

Давайте підемо трохи далі і опрацюємо загальну формулу рівняння дотичної прямої до$y=f(x)$ at.$x=a\text{.}$ Ми знаємо, що дотична пряма

має ухил$f'(a)$ і
проходить через точку$\big(a, f(a)\big)\text{.}$

Існує кілька різних способів побудови рівняння дотичної прямої з цієї інформації. Один з них полягає в тому, щоб спостерігати, як на малюнку 2.3.3, що якщо$(x,y)$ будь-яка інша точка на дотичній лінії, то відрізок лінії від$\big(a,f(a)\big)$ до$(x,y)$ є частиною дотичної лінії, і тому також має нахил$f'(a)\text{.}$ Тобто

\ begin {gather*}\ frac {y- f (a)} {x-a} =\ big [\ text {нахил дотичної лінії}\ big] =f' (a)\ end {gather*}

Перехресне множення дає нам рівняння дотичної прямої:

\ begin {збирати*} y-f (a) = f' (a)\, (x-a)\ qquad\ text {або}\ qquad y=f (a) +f '(a)\, (x-a)\ end {збирати*}

**Малюнок 2.3.3.** Відрізок лінії дотичної лінії

Другий спосіб вивести те саме рівняння тієї ж дотичної лінії полягає в тому, щоб нагадати, що загальне рівняння для прямої, з кінцевим нахилом,$m$ є$y=mx+b\text{,}$ де нахил і$b$ є$y$ -перехоплення. Ми вже знаємо, що нахил - тому$m=f'(a)\text{.}$ для розробки$b$ ми використовуємо іншу інформацію -$(a,f(a))$ знаходиться на лінії. Так$(x,y)=(a,f(a))$ повинен вирішити$y=f'(a)\,x+b\text{.}$ Тобто,

\ begin {align*} f (a) &= f (a)\ cdot a + b &\ text {і так} &&B = f (a) - af' (a)\ end {align*}

Отже, наше рівняння, знову ж таки,

\ begin {align*} y &= f '(a)\ cdot x +\ left (f (a) -af' (a)\ праворуч) &&\ text {або, після невеликої перестановки,}\\ y &= f (a) + f' (a)\, (x-a)\ end {align*}

Це дуже корисна формула, тому, можливо, ми повинні зробити її теоремою.

Теорема 2.3.4 Дотична пряма.

Дотична лінія до кривої$y=f(x)$ в$x=a$ задається рівнянням

\ begin {вирівнювати*} y &= f (a) + f' (a)\, (x-a)\ end {align*}

за умови, що похідна$f'(a)$ існує.

Застереження в кінці вищезгаданої теореми є необхідним - звичайно, є випадки, коли похідна не існує, і тому нам потрібно бути обережними.

Приклад 2.3.5 Дотична лінія до кривої$y=\sqrt{x}$.

Знайти дотичну лінію до кривої$y=\sqrt{x}$ на$x=4\text{.}$

Замість того, щоб переробляти все з нуля, ми можемо, і для ефективності слід використовувати теорему 2.3.4. Щоб написати це належним чином, ми повинні переконатися, що ми розповімо читачеві, що ми робимо. Отже, щось на кшталт наступного:

За теоремою 2.3.4 дотична лінія до кривої$y=f(x)$$x=a$ при задана
\ begin {вирівнювати*} y &= f (a) + f' (a) (x-a)\ end {align*}
за умови$f'(a)$ існує.
У прикладі 2.2.9 ми виявили, що для будь-якої$a \gt 0\text{,}$ похідної$x=a$ від$\sqrt{x}$ at
\ begin {вирівнювати*} f' (a) &=\ frac {1} {2\ sqrt {a}}\ end {align*}
У поточному$a=4$ прикладі ми маємо
\ почати {вирівнювати*} f (a) &=f (4) =\ sqrt {x}\ big|_ {x=4} =\ sqrt {4} =2\\ текст {і}\ qquad f' (a) &=f (4) =\ frac {1} {2\ sqrt {a}}\ Big|_ {a=4} =\ frac {1}} {2\ sqrt {4}} =\ frac {1} {4}\ end {align*}
Таким чином, рівняння дотичної лінії до$y=\sqrt{x}$ at$x=4$
\ begin {збирати*} y= 2+\ frac {1} {4}\,\ великий (x-4\ великий)\ qquad\ текст {або}\ qquad y=\ frac {x} {4} +1\ кінець {збирати*}

Нам не потрібно записувати його за допомогою точок, як зазначено вище; ми використали їх тут, щоб допомогти окреслити кожен крок у процесі обчислення дотичної лінії.

Вправи

Етап 2

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо,$h(t)$ дає висоту під час$t$ води на греблі, де$t$ одиниці - години, а$h$ одиниці - метри.

Яка фізична інтерпретація нахилу січної лінії через точки$(0,h(0))$ і$(24,h(24))\text{?}$
Яка фізична інтерпретація нахилу дотичної лінії до кривої$y=h(t)$ в точці$(0,h(0))\text{?}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо,$p(t)$ це функція, яка дає прибуток, отриманий продажем$t$ віджетів. У чому полягає практичне тлумачення$p'(t)\text{?}$

Вправа$\PageIndex{3}$

$T(d)$дає температуру води в конкретному місці$d$ метрів нижче поверхні. Яка фізична інтерпретація Ви$T'(d)\text{?}$ очікуєте, що$T'(d)$ величина буде більшою, коли$d$ близько 0, або коли$d$ дуже велика?

Вправа$\PageIndex{4}$

$C(w)$дає калорії в$w$ грамах того чи іншого блюда. Що$C'(w)$ описує?

Вправа$\PageIndex{5}$

Швидкість рухомого об'єкта в часі$t$ задається$v(t)\text{.}$ What is$v'(t)\text{?}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Функція$T(j)$ дає температуру в градусах Цельсія чашки води після$j$ додання джоулів тепла. Що таке$T'(j)\text{?}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Популяція бактерій, залишених на фіксовану кількість часу при температурі,$T\text{,}$ розростається до$P(T)$ особин. Інтерпретувати$P'(T)\text{.}$

Етап 3

Вправа$\PageIndex{8}$

Ви забиваєте невеликий цвях в дерев'яне колесо вагона. $R(t)$дає кількість обертань, яке зазнав цвях$t$ секунд після того, як вагон почав котитися. Дайте рівняння того, як швидко обертається ніготь, вимірюється в градусах в секунду.

Вправа$\PageIndex{9}$

Популяція бактерій, залишених на фіксовану кількість часу при температурі,$T\text{,}$ розростається до$P(T)$ особин. Існує одна ідеальна температура, коли популяція бактерій зростає найбільше, і чим ближче зразок до цієї температури, тим більша популяція (якщо тільки температура не настільки екстремальна, що призводить до того, що всі бактерії гинуть шляхом заморожування або кипіння). Як$P'(T)$ скаже вам, холодніше ви чи гарячіше ідеальної температури?

Приклад 2.3.1 Швидкість як похідна.

Теорема 2.3.4 Дотична пряма.

Приклад 2.3.5 Дотична лінія до кривої\(y=\sqrt{x}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Етап 3

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)