1.29: Ймовірність

Імовірність - це ймовірність того, що настане якась подія. Якщо подія відбувається, ми називаємо це успішним результатом. Сукупність всіх можливих подій (або результатів) називається зразковим простором події. Ми обмежимо свою увагу самостійними подіями, які не впливають один на одного. Наприклад, якщо ми катаємо 5 на одній матриці, це не впливає на ймовірність прокатки 5 на іншу матрицю. (Ми не будемо вивчати залежні події, які впливають один на одного.)

Якщо ми працюємо з чимось простим, як кістки, карти або сальто монет, де ми знаємо всі можливі результати, ми можемо обчислити теоретичну ймовірність події. Для цього ділимо кількість способів події на загальну кількість можливих результатів. Ми можемо вибрати, щоб записати ймовірність як дріб, десятковий або відсоток залежно від того, яка форма здається найбільш корисною.

Теоретична ймовірність події:

$P(\text{event})=\dfrac{\text{number of favorable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}$

Припустимо, два шестигранних кубика, пронумеровані$1$ наскрізь$6$, прокатані. $6\cdot6=36$Можливі результати в просторі вибірки. Якщо ми граємо в гру, де ми беремо суму кубиків, єдині можливі результати -$2$ через$12$. Однак, як показує наступна таблиця, ці результати не всі однаково вірогідні. Наприклад, є два різних способи згортання$3$, але тільки один спосіб прокатки$2$.

	1	2	3	4	5	6
1	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
2	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
3	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
4	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
5	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
6	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

Вправи$\PageIndex{1}$

Два шестигранних кубика пронумеровані$1$ наскрізь$6$ прокочуються. Знайдіть ймовірність виникнення кожної події.

1. Сума кубиків дорівнює$7$.

2. Сума кубиків дорівнює$11$.

3. Сума кубиків дорівнює$7$ або$11$.

4. Сума кубиків більше$1$.

5. Сума кубиків дорівнює$13$.

Відповідь

1. $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

2. $\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

3. $\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}$

4. $\dfrac{36}{36}=1$

5. $\dfrac{0}{36}=0$

Деякі речі, щоб помітити...

Якщо подія неможлива, його ймовірність -$0\%$ або$0$.

Якщо подія напевно трапиться, її ймовірність є$100\%$ або$1$.

Якщо буде нудно підраховувати всі сприятливі результати, може бути простіше підрахувати несприятливі результати і відняти від загальної суми.

Вправи$\PageIndex{1}$

Два шестигранних кубика пронумеровані$1$ наскрізь$6$ прокочуються. Знайдіть ймовірність виникнення кожної події.

6. Сума кубиків дорівнює$5$.

7. Суми кубиків немає$5$.

8. Сума кубиків більше$9$.

9. Сума кубиків -$9$ або нижче.

Відповідь

6. $\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$

7. $\dfrac{32}{36}=\dfrac{8}{9}$

8. $\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

9. $\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$

Сукупність результатів, в яких подія не відбувається, називається доповненням події. Подія «сума не 5» є доповненням «сума дорівнює 5». Два доповнення завершують простір зразка.

Якщо ймовірність того, що подія$p$ трапиться є, ймовірність доповнення є$1-p$.

Вправи$\PageIndex{1}$

Чаша$60$ Tootsie Rolls Fruit Chews містить наступне:$15$ вишня,$14$ лимон,$13$ лайм,$11$ апельсин,$7$ ваніль.

10. Якщо з чаші випадковим чином обраний один Tootsie Roll, яка ймовірність, що це вишня?

11. Яка ймовірність того, що випадково обраний Tootsie Roll - це або лимон, або лайм?

12. Яка ймовірність того, що випадково обраний Tootsie Roll не помаранчевий або ванільний?

Відповідь

10. $\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}$

11. $\dfrac{27}{60}=\dfrac{9}{20}$

12. $\dfrac{42}{60}=\dfrac{7}{10}$

Ось де ми намагаємося згустити основи генетичних схрещувань в один абзац.

Кожен батько дає один алель своїй дитині. Алель для карих очей - В, а алель для блакитних очей - б. Якщо у двох батьків є генотип Bb, наведена нижче таблиця (яку біологи називають квадратом Пуннетта) показує, що існує чотири однаково ймовірні результати: BB, Bb, Bb, bb. Алель для карих очей, В, домінує над геном для блакитних очей, b, а це означає, що якщо у дитини є будь-які алелі В, у них будуть карі очі. Єдиний генотип, для якого у дитини будуть блакитні очі - bb.

	Б	б
Б	BB	Б б
б	Б б	бб

Вправи$\PageIndex{1}$

Двоє батьків мають генотипи Bb і Bb. (B = коричневий, b = синій)

13. Яка ймовірність того, що у їх дитини з'являться блакитні очі?

14. Яка ймовірність того, що у їх дитини з'являться карі очі?

Відповідь

13. $\dfrac{1}{4}=25\%$

14. $\dfrac{3}{4}=75\%$

Тепер припустимо, що один з батьків має генотип Bb, а інший батько має генотип bb. Квадрат Паннетта буде виглядати наступним чином.

	Б	б
б	Б б	бб
б	Б б	бб

Вправи$\PageIndex{1}$

Двоє батьків мають генотипи Bb і bb. (B = коричневий, b = синій)

15. Яка ймовірність того, що у їх дитини з'являться блакитні очі?

16. Яка ймовірність того, що у їх дитини з'являться карі очі?

Відповідь

15. $\dfrac{2}{4}=50\%$

16. $\dfrac{2}{4}=50\%$

---

Попередні методи працюють, коли ми знаємо загальну кількість результатів, і ми можемо припустити, що всі вони однаково вірогідні. (Кістки не завантажуються, наприклад.) Однак життя зазвичай складніше, ніж гра в кістки або чаша Tootsie Rolls. У багатьох ситуаціях ми повинні спостерігати за тим, що сталося в минулому, і використовувати ці дані для прогнозування того, що може статися в майбутньому. Якщо хтось прогнозує, що рейс авіакомпанії Alaska Airlines має$95.5\%$ прибуття вчасно, це, звичайно, базується на минулому темпі успіху Аляски. ^[1] Коли ми обчислюємо ймовірність таким чином, шляхом спостереження ми називаємо це емпіричною ймовірністю.

Емпірична ймовірність події:

$P(\text{event})=\dfrac{\text{number of favorable observations}}{\text{total number of observations}}$

Хоча формулювання може здатися складним, ми все ще тільки думаємо про$\dfrac{\text{part}}{\text{whole}}$.

Вправи$\PageIndex{1}$

Ксерокс робить$250$ копії, але$8$ з них неприпустимі, оскільки на них нанесений тонер.

17. Яка емпірична ймовірність того, що копія буде неприйнятною?

18. Яка емпірична ймовірність того, що копія буде прийнятною?

19. З наступних$1,000$ копій, скільки ми повинні очікувати, щоб бути прийнятними?

Аудитор вивчив$200$ податкові декларації та виявив помилки$44$ в них.

20. Який відсоток податкових декларацій містив помилки?

21. Скільки наступних$1,000$ податкових декларацій ми повинні очікувати, щоб містити помилки?

22. Яка ймовірність того, що дана податкова декларація, обрана навмання, буде містити помилки?

Відповідь

17. $\dfrac{8}{250}=3.2\%$

18. $\dfrac{242}{250}=96.8\%$

19. слід очікувати, що$968$ копії будуть прийнятними

20. $\dfrac{44}{200}=22\%$

21. слід очікувати, що$220$ податкові декларації матимуть помилки

22. $22\%=0.22$

Раніше в цьому модулі говорилося, що незалежні події не мають ніякого впливу один на одного. Деякі приклади:

• Прокатка двох кубиків - це самостійні події, тому що результат першого кубика не впливає на ймовірність того, що станеться з другою загибеллю.
• Якщо ми перевернемо монету десять разів, кожен фліп не залежить від попереднього фліпа, оскільки монета не пам'ятає, як вона приземлилася раніше. Імовірність голів або хвостів залишається$\dfrac{1}{2}$ для кожного сальто.
• Малювання мармуру з сумки є незалежними подіями, лише якщо ми покладемо перший мармур назад у сумку, перш ніж малювати другий мармур. Якщо ми малюємо відразу два кульки, або малюємо другий мармур, не замінюючи перший мармур, це залежні події, які ми не вивчаємо в цьому курсі.
• Вилучення двох карт з колоди$52$ карт є незалежними подіями, тільки якщо ми покладемо першу карту назад в колоду перед тим, як витягнути другу карту. Якщо ми витягуємо другу карту, не замінюючи першу карту, це залежні події; ймовірності змінюються, оскільки на другому розіграші доступні лише$51$ карти.

Якщо дві події незалежні, то ймовірність того, що відбуваються обидві події можна дізнатися, помноживши ймовірність того, що кожна подія відбувається окремо.

Якщо$A$ і$B$ є самостійними заходами, то$P(A\text{ and }B)=P(A)\cdot{P(B)}$.

Примітка: Це може бути розширено до трьох або більше подій. Просто помножте всі ймовірності разом.

Вправи$\PageIndex{1}$

Аудитор вивчив$200$ податкові декларації та виявив помилки$44$ в них.

23. Яка ймовірність того, що наступні дві податкові декларації містять помилки?

24. Яка ймовірність того, що наступні три податкові декларації містять помилки?

25. Яка ймовірність того, що наступна податкова декларація містить помилки, а в тій, що після неї немає?

26. Яка ймовірність того, що наступна податкова декларація не містить помилок, а після неї?

27. Яка ймовірність того, що жодна з наступних двох податкових декларацій не містить помилок?

28. Яка ймовірність того, що жодна з наступних трьох податкових декларацій не містить помилок?

29. Яка ймовірність того, що хоча б одна з наступних трьох податкових декларацій містить помилки? (Цей складний!)

Відповідь

23. $(0.22)^2\approx4.8\%$

24. $(0.22)^3\approx1.1\%$

25. $0.22\cdot0.78\approx17.2\%$

26. $0.78\cdot0.22\approx17.2\%$

27. $(0.78)^2\approx60.8\%$

28. $(0.78)^3\approx47.5\%$

29. $1-(0.78)^3\approx52.5\%$

---

1. pdf файл: [1]https://www.transportation.gov/sites/dot.gov/files/2020-08/July%202020%20ATCR.pdf