1.23: Площа правильних багатокутників

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.22: Площа поверхні загальних твердих тіл
- 1.24: Обсяг загальних твердих речовин

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ви можете використовувати калькулятор у цьому модулі.

Будівля Пентагону охоплює $28.7$ гектари ( $116,000\text{ m}^2$ ) і включає в себе додаткові $5.1$ гектари ( $21,000\text{ m}^2$ ) як центральний двір. ^[1] П'ятикутник є прикладом правильного багатокутника.

$Будівля Пентагону$

Правильний багатокутник має всі сторони однакової довжини і всі кути однакової міри. Через цю симетрію коло може бути вписано - намальовано всередині багатокутника, торкаючись кожної сторони в одній точці, або описано - намальовано поза багатокутником, що перетинає кожну вершину. Ми зосередимося на вписаному колі в першу чергу.

Назвемо радіус вписаного кола малим $r$ регістрам; це відстань від центру багатокутника перпендикулярно одній зі сторін. ^[2]

коло всередині звичайного п'ятикутника. Коло стосується центру всіх п'яти сторін п'ятикутника. — Малюнок $\PageIndex{1}$ : (зліва) вписане коло (праворуч) вписане коло з радіусом.

регулярний п'ятикутник з окружністю всередині нього торкаючись центральної точки кожної сторони п'ятикутника, і радіус, проведений від центру прямо вниз до центру нижньої сторони, позначені рядковим r — Малюнок $\PageIndex{1}$ : (зліва) вписане коло (праворуч) вписане коло з радіусом.

Площа регулярного багатокутника (з радіусом, накресленим до центру однієї сторони) ^[3]

Для правильного багатокутника зі $n$ сторонами довжини $s$ та вписаним (внутрішнім) радіусом $r$ ,

$A=nsr\div2 \nonumber$

Примітка: Ця формула походить від поділу багатокутника на $n$ трикутники однакового розміру та об'єднання площ цих трикутників.

Вправи $\PageIndex{1}$

1. Обчисліть площу цього правильного шестикутника.

$правильний шестикутник зі стороною 51 дюйм і радіусом в одну сторону 45 дюймів$

2. Обчисліть площу цього правильного п'ятикутника.

$правильний п'ятикутник зі стороною 7,4 см і радіусом в одну сторону 5,1 см$

3. Знак зупинки має висоту $30$ inches, and each edge measures $12.5$ inches. Find the area of the sign.

$восьмикутний знак зупинки$

Відповідь

1. $6,900\text{ in}^2$

2. $94\text{ cm}^2$

3. $750\text{ in}^2$

Гаразд, але що робити, якщо ми знаємо відстань від центру до одного з кутів замість відстані від центру до краю? Нам потрібно буде уявити собі обведене коло.

Назвемо радіус описаного кола капіталом $R$ ; це відстань від центру багатокутника до однієї з вершин (кутів).

коло за межами регулярного п'ятикутника. Всі п'ять кутових точок п'ятикутника торкаються кола. — Малюнок $\PageIndex{2}$ : (ліворуч) обведене коло і (праворуч) обведені кола з великим колом.

регулярний п'ятикутник всередині кола з усіма п'ятьма кутовими точками на колі, і радіус від центру до однієї кутової точки позначені капітал R — Малюнок $\PageIndex{2}$ : (ліворуч) обведене коло і (праворуч) обведені кола з великим колом.

Площа правильного багатокутника (з радіусом, накресленим до вершини) ^[4]

Для правильного багатокутника зі $n$ сторонами довжини та $s$ обмеженим (зовнішнім) радіусом $R$ ,

$A=0.25ns\sqrt{4R^2-s^2} \nonumber$

або

$A=ns\sqrt{4R^2-s^2}\div4 \nonumber$

Примітка: Ця формула також походить від поділу багатокутника на $n$ трикутники однакового розміру та об'єднання площ цих трикутників. Ця формула включає квадратний корінь, оскільки вона включає теорему Піфагора.

Вправи $\PageIndex{1}$

4. Обчисліть площу цього правильного шестикутника.

$правильний шестигранник зі стороною 17 мм і радіусом до однієї вершини 17 дюймів$

5. Обчисліть площу цього правильного восьмикутника.

$восьмикутник зі стороною 10 см і радіусом до вершини 13 см$

6. Обчисліть площу цього правильного п'ятикутника.

$правильний п'ятикутник зі стороною 8,0 м і радіусом до однієї вершини 6,8 м$

Відповідь

4. $750\text{ mm}^2$

5. $480\text{ cm}^2$

6. $110\text{ m}^2$

Як відомо, складова фігура - це геометрична фігура, яка утворюється шляхом з'єднання двох і більше основних геометричних фігур. Давайте розглянемо складену фігуру, утворену колом і правильним багатокутником.

Вправа $\PageIndex{1}$

7. Шестигранна головка болта щільно вписується в круглий ковпачок з круглим отвором з внутрішнім діаметром $46\text{ mm}$ as shown in this diagram. Opposite sides of the bolt head are $40\text{ mm}$ apart. Find the total empty area in the hole around the edges of the bolt head.

$шестикутник з позначкою «болти r us», вписаний в коло$

Відповідь: $280\text{ mm}^2$ (Площа кола $\approx1,660\text{ mm}^2$ і площа шестикутника дорівнює $1,380\text{ mm}^2$ )

https://en.Wikipedia.org/wiki/The_Pentagon :05
Внутрішній радіус частіше називають апофемом і позначено $a$ , але ми намагаємося звести жаргон до мінімуму в цьому підручнику. م
Ця формула частіше записується як половина апофему, що помножується на периметр $A=\dfrac{1}{2}ap$ :
Ваш автор створив цю формулу, тому що в кожній іншій її версії використовується тригонометрія, яку ми не висвітлюємо в цьому підручнику. م

Вправи1.23.1\PageIndex{1}

Вправи1.23.1\PageIndex{1}

Вправа1.23.1\PageIndex{1}

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправи $\PageIndex{1}$

Вправа $\PageIndex{1}$