5.2: Диплоїдна генетика
- Page ID
- 66682
Більшість статево розмножуються видів - диплоїдні. Зокрема, наш вид Homo sapiens є диплоїдним за двома винятками: ми гаплоїдні на стадії гамети (сперма і незапліднена яйцеклітина); а самці - гаплоїдні для більшості генів на незрівнянних\(X\) і\(Y\) статевих хромосомах (самки бувають\(X X\) і диплоїдні). Цей останній, здавалося б, невинний факт має велике значення для чоловіків, які страждають генетичними захворюваннями через Х-зв'язану рецесивну мутацію, успадковану від матері. Самки, які успадковують цю мутацію, швидше за все, не хворіють через функціональний ген, успадкований від батька.
Поліморфний ген з алелями\(A\) і\(a\) може з'являтися в диплоїдному гені у вигляді трьох різних генотипів:\(A A, A a\) і\(a a\). Умовно позначаємо як\(A\) аллель дикоготипу і\(a\) алель мутанта. У таблиці\(5.4\) представлена термінологія диплоїди.
Що стосується гаплоїдної генетики, ми визначимо еволюційні рівняння для частот алелів та/або генотипів. Щоб розробити відповідні визначення і відносини, ми спочатку припускаємо чисельність популяції\(N\) (яку згодом будемо вважати нескінченною), і припускаємо, що кількість особин з генотипами\(A A, A a\) і\(a a\) є\(N_{A A}\), \(N_{A a}\)А\(N_{a a} .\) тепер,\(N=N_{A A}+N_{A a}+N_{a a}\). Визначте\(P, Q\) частоти генотипу і\(R\) як
\[P=\frac{N_{A A}}{N}, \quad Q=\frac{N_{A a}}{N}, \quad R=\frac{N_{a a}}{N} \nonumber \]
так що\(P+Q+R=1\). Також буде корисно визначити частоти алелів. \(n_{A}\)\(n_{a}\)Дозволяти і бути кількістю алелей\(A\) і\(a\) в популяції,\(n=n_{A}+n_{a}\) із загальною кількістю алелей. Оскільки популяція має розмір\(N\) і диплоїдність,\(n=2 N\); і оскільки кожна гомозигота містить два однакових алелі, і кожна гетерозигота містить один з кожного алеля,\(n_{A}=2 N_{A A}+N_{A a}\) і\(n_{a}=2 N_{a a}+N_{A a} .\) Визначення частот алелів \(p\)і\(q\), як і раніше,
\[\begin{aligned} p &=n_{A} / n \\[4pt] &=\frac{2 N_{A A}+N_{A a}}{2 N} \\[4pt] &=P+\frac{1}{2} Q \end{aligned} \nonumber \]
і аналогічно
\[\begin{aligned} q &=n_{a} / n \\[4pt] &=\frac{2 N_{a a}+N_{A a}}{2 N} \\[4pt] &=R+\frac{1}{2} Q . \end{aligned} \nonumber \]
З п'ятьма\(P, Q, R, p, q\) частотами та чотирма обмеженнями\(P+Q+R=1, p+q=1\)\(p=P+Q / 2, q=R+Q / 2\), скільки незалежних частот існує? Насправді, є два, тому що одне з чотирьох обмежень лінійно залежить. Ми можемо вибрати будь-які дві частоти, крім вибору,\(\{p, q\}\) як наш лінійно незалежний набір. Наприклад, один вибір є\(\{P, p\}\); потім,
\[q=1-p, \quad Q=2(p-P), \quad R=1+P-2 p \nonumber \]
Аналогічно, інший вибір\(\{P, Q\}\); потім
\[R=1-P-Q, \quad p=P+\frac{1}{2} Q, \quad q=1-P-\frac{1}{2} Q \nonumber \]
статеве розмноження
Диплоїдне розмноження може бути статевим або безстатевим, а статеве розмноження може бути різного типу (наприклад, випадкове спарювання, самоврядування, спарювання брат-сестра та різні інші види асортативного спарювання). Два найпростіших типи для моделювання точно - це випадкове спаровування та самообслуговування. Ці системи спарювання корисні для протиставлення біології як аутбридингу, так і інбридингу.
Випадкове спаровування
Випадкове спаровування - це, мабуть, найпростіша система спарювання для моделі. Тут ми припускаємо добре змішану популяцію особин, які мають однакову ймовірність спарювання з кожною іншою особиною. Частоти генотипу зигот (запліднені яйцеклітини) ми визначимо за частотами алелів, використовуючи два підходи: (1) підхід генофонду та (2) підхід таблиці спаровування.
| спаровування | частоти | АА | Аа | аа |
|---|---|---|---|---|
| \(A A \times A A\) | \(P^{2}\) | \(P^{2}\) | 0 | 0 |
| \(A A \times A a\) | \(2 P Q\) | \(P Q\) | \(P Q\) | 0 |
| \(A A \times a a\) | \(2 P R\) | 0 | \(2 P R\) | 0 |
| \(A a \times A a\) | \(Q^{2}\) | \(\frac{1}{4} Q^{2}\) | \(\frac{1}{2} Q^{2}\) | \(\frac{1}{4} Q^{2}\) |
| \(A a \times a a\) | \(2 Q R\) | 0 | \(Q R\) | \(Q R\) |
| \(a a \times a a\) | \(R^{2}\) | 0 | 0 | \(R^{2}\) |
| Підсумки | \((P+Q+R)^{2}\) | \(\left(P+\frac{1}{2} Q\right)^{2}\) | \(2\left(P+\frac{1}{2} Q\right)\left(R+\frac{1}{2} Q\right)\) | \(\left(R+\frac{1}{2} Q\right)^{2}\) |
| \(=1\) | \(=p^{2}\) | \(=2 p q\) | \(=q^{2}\) |
Підхід до генофонду моделює статеве розмноження, припускаючи, що чоловіки та жінки випускають свої гамети в басейни. Генотипи потомства визначаються шляхом випадкового об'єднання однієї гамети з чоловічого басейну і однієї гамети з жіночого басейну. Оскільки ймовірність випадкової гамети, що містить алель\(A\) або\(a\) дорівнює частоті популяції алеля\(p\) або\(q\), відповідно, ймовірність існування потомства\(A A\) становить\(p^{2}\), буття\(A a\) є\(2 p q\) (чоловічий\(A\)\(a+\) жіночий\(A\) самець\(\left.a\right)\), а буття\(a a\) є\(q^{2}\). Тому після одиничного покоління випадкового спаровування частоти генотипу можуть бути задані в терміні частот алелів
\[P=p^{2}, \quad Q=2 p q, \quad R=q^{2} \nonumber \]
Це знаменитий закон Харді-Вайнберга. Зверніть увагу, що за припущенням випадкового спаровування зараз існує лише одна незалежна частота, що значно спрощує математичне моделювання. Наприклад, якщо\(p\) береться за незалежну частоту, то
\[q=1-p, \quad P=p^{2}, \quad Q=2 p(1-p), \quad R=(1-p)^{2} \nonumber \]
Більшість моделювання проводиться за умови випадкового спаровування, якщо на досліджувану біологію не впливає інбридинг.
Другий підхід використовує таблицю в'язки (див. Таблицю 5.5). Такий підхід до моделювання статевого розмноження носить більш загальний характер і може бути застосований до інших систем спарювання. Пояснюємо такий підхід розглядом в'язки\(A A \times A a\). Генотипи\(A a\) мають\(A A\) і\(P\) частоти і\(Q\), відповідно. Частота спарювання\(A A\) самців з\(A a\) самками є\(P Q\) і є такою ж, як і\(A A\) самки, що\(A a\) спарюються з самцями, тому сума є\(2 P Q\). Половина потомства складе\(A A\) і половина\(A a\), а частоти\(P Q\) позначаються під частотою потомства. Суми всіх частот потомства наведені в рядку Totals, а результати випадкового спаровування відновлюються при використанні зв'язку між частотами генотипу та алелів.
Селфінг
Мабуть, наступний найпростіший тип системи спарювання - самозапліднення, або самозапліднення. Тут особина розмножується статевим шляхом (проходячи через стадію гаплоїдної гамети в своєму життєвому циклі), але забезпечує обидві гамети. Наприклад, нематода черв'як\(C\). elegans може розмножуватися самостійно. Таблиця в'язки для самостійного виконання наведена в табл\(5.6\). Частота самообслуговування конкретного генотипу - це лише частота самого генотипу. Для самолюбної популяції, нехтуючи відбором або будь-яким іншим еволюційним
| спаровування | частоти | АА | Аа | аа |
|---|---|---|---|---|
| \(A A \otimes\) | \(P\) | \(P\) | 0 | 0 |
| \(A a \otimes\) | \(Q\) | \(\frac{1}{4} Q\) | \(\frac{1}{2} Q\) | \(\frac{1}{4} Q\) |
| \(a a \otimes\) | \(R\) | 0 | 0 | \(R\) |
| Підсумки | 1 | \(P+\frac{1}{4} Q\) | \(\frac{1}{2} Q\) | \(R+\frac{1}{4} Q\) |
сили, частоти генотипу еволюціонують як
\[P^{\prime}=P+\frac{1}{4} Q, \quad Q^{\prime}=\frac{1}{2} Q, \quad R^{\prime}=R+\frac{1}{4} Q . \nonumber \]
Припускаючи спочатку гетерозиготну популяцію, ми вирішуємо (5.2.6) з початковими умовами\(Q_{0}=1\) і\(P_{0}=R_{0}=0 .\) У лабораторії черв'яків цей тип початкової популяції зазвичай створюється шляхом схрещування гомозиготного типу дикого типу\(C\). чоловіки elegans з мутантними гомозиготними \(C\). elegans гермафродити, де мутантний алель є рецесивним. Нащадки гермафродитів дикого типу, які обов'язково гетерозиготні, потім підбирають на окремі черв'ячні пластини і дають можливість самозапліднюватися. (Ви розумієте, чому експеримент не проводиться з гермафродитами дикого типу і мутантами самців?) З рівняння для\(Q^{\prime}\) в\((5.2.6)\), ми маємо\(Q_{n}=(1 / 2)^{n}\), і від симетрії,\(P_{n}=R_{n} .\) То, так як\(P_{n}+Q_{n}+R_{n}=1\), отримуємо повне рішення
\[P_{n}=\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right), \quad Q_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}, \quad R_{n}=\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right) \nonumber \]
Основним результатом, який слід підкреслити тут, є те, що гетерозиготність популяції зменшується в два рази в кожному поколінні. Самостійні популяції швидко стають гомозиготними.
Сталість частот алелів
Однак ці результати не є загальними, і можна побудувати інші системи спаровування, для яких частоти алелів змінюються.
Проте збереження частот алелів випадковим спаровуванням є важливим елементом неодарвінізму. За часів Дарвіна більшість біологів вірили в змішування успадкування, де генетичний матеріал від батьків з різними рисами фактично змішувався в їх потомстві, скоріше, як змішування фарб різних кольорів. Якщо відбулося змішування успадкування, то генетична варіація, або поліморфізм, врешті-решт буде втрачена протягом декількох поколінь, оскільки «генетичні фарби» стали добре змішаними. Робота Менделя про горох, опублікована в 1866 році, запропонувала теорію успадкування твердих частинок, де генетичний матеріал, званий пізніше генами, підтримує свою цілісність між поколіннями. На жаль, папір Менделя не читав Дарвін (який опублікував «Походження видів» в 1859 році і помер у 1882 році) або іншими впливовими біологами за життя Менделя (Мендель помер у 1884 році). Після того, як був знову відкритий в 1900 році, Мендель і його роботи зрештою стали широко відомими.
Поширення привілейованого алелю
Розглянуто поширення привілейованого алеля у диплоїдної популяції. Класичним прикладом - широко повторюється в підручниках біології як сучасний приклад природного відбору - є зміна частот темного і світлого фенотипів перцевої молі під час промислової революції Англії. Еволюційна історія починається з спостереження, що забруднення вбило світлий кольоровий лишай на деревах під час індустріалізації міст. З одного боку, світлі кольорові перцеві молі добре маскуються на світлих лишайниках, але піддаються впливу птахів на звичайній корі дерев. З іншого боку, темно-кольорові перцеві молі добре маскуються на звичайній корі дерев, але піддаються впливу на світлих лишайників (див. Рис. Тому природний відбір сприяв алелю світлого кольору в доіндустріалізованій Англії та алелю темного кольору під час індустріалізації. Вважається, що алель темного кольору швидко збільшувався при природному відборі в індустріалізованій Англії.
Представляємо нашу модель в таблиці 5.7. Тут ми розглядаємо аа як генотип дикого типу і нормалізуємо його придатність до єдності. Алель\(A\) - мутант, частота якого збільшується в популяції. У нашому прикладі перцевої молі\(a a\) фено-
| генотип | \(A A\) | \(A a\) | \(a a\) |
|---|---|---|---|
| частота. зиготи | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(p^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 p q\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(q^{2}\) |
| відносна фітнес | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1+s\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1+s h\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">1 |
| freq після вибору | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\((1+s) p^{2} / w\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2(1+s h) p q / w\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(q^{2} / w\) |
| нормалізації | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(w=(1+s) p^{2}+2(1+s h) p q+q^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> |
тип світлого кольору, а\(A A\) фенотип - темного кольору. Колір\(A a\) фенотипу залежить від відносного домінування\(A\) і\(a\). Зазвичай жоден пігмент не призводить до світлого кольору і є наслідком нефункціонуючих генів, що виробляють пігмент. Одного функціонуючого алелю, що виробляє пігмент, зазвичай достатньо, щоб призвести до темного кольору молі. При\(A\) функціонуючому пігментоутворюючому алелі і\(a\) мутованому нефункціонуючому алелі, швидше за все,\(a\) є рецесивним, швидше за все,\(A\) є домінуючим, а фенотип\(A a\), швидше за все, темний, тому \(h \approx 1\). На даний момент, правда, ми залишаємо\(h\) як вільний параметр.
Ми припускаємо випадкове спаровування, і це спрощення використовується для запису частот генотипу як\(P=p^{2}, Q=2 p q\), і\(R=q^{2}\). Так як\(q=1-p\), ми зведемо нашу задачу до визначення рівняння для\(p^{\prime}\) в терміні\(p\). Використовуючи\(p^{\prime}=P_{s}+(1 / 2) Q_{s}\), де\(p^{\prime}\)\(A\) - частота алелів у зиготах наступного покоління,\(P_{S}\) а\(Q_{S}\) також\(A A\) частоти\(A a\) генотипу і відповідно в нинішнє покоління після відбору,
\[p^{\prime}=\frac{(1+s) p^{2}+(1+s h) p q}{w} \nonumber \]
де\(q=1-p\), і
\[\begin{aligned} w &=(1+s) p^{2}+2(1+s h) p q+q^{2} \\[4pt] &=1+s\left(p^{2}+2 h p q\right) \end{aligned} \nonumber \]
Після деякої алгебри остаточне рівняння еволюції, написане виключно з\(p\) точки зору
\[p^{\prime}=\frac{(1+s h) p+s(1-h) p^{2}}{1+2 s h p+s(1-2 h) p^{2}} \nonumber \]
Очікувані фіксовані точки цього рівняння є\(p_{*}=0\) (нестабільними) і\(p_{*}=1\) (стабільними), де наше призначення стійкості передбачає позитивні коефіцієнти відбору.
Рівняння еволюції (5.2.9) в такому вигляді не особливо висвітлює. Загалом, числове рішення вимагало б задати числові значення для\(s\) і\(h\), а також початкове значення для\(p\). Тут, щоб визначити, як спред\(A\) залежить від коефіцієнта домінування\(h\), аналітично досліджуємо збільшення\(A\) припущення\(s \ll 1\). Ми Taylor-серії розширюємо праву частину (5.2.9) в\(s\) повноваженнях, дотримуючись умов порядку\(s\):
\[\begin{align} \nonumber p^{\prime} &=\frac{(1+s h) p+s(1-h) p^{2}}{1+2 s h p+s(1-2 h) p^{2}} \\[4pt] &=\frac{p+s\left(h p+(1-h) p^{2}\right)}{1+s\left(2 h p+(1-2 h) p^{2}\right)} \\[4pt] &=\left(p+s\left(h p+(1-h) p^{2}\right)\right)\left(1-s\left(2 h p+(1-2 h) p^{2}\right)+\mathrm{O}\left(s^{2}\right)\right)\nonumber \\[4pt] &=p+s p\left(h+(1-3 h) p-(1-2 h) p^{2}\right)+\mathrm{O}\left(s^{2}\right)\nonumber \end{align} \nonumber \]
| хвороба | мутації | симптоми |
|---|---|---|
| Таласемія | гемоглобін | анемія |
| Серповидноклітинна анемія | гемоглобін | анемія |
| гемофілія | фактор згортання крові | неконтрольована кровотеча |
| муковісцидоз | хлорид іонний канал | товста слизова легенів |
| Хвороба Тея-Сакса | Фермент гексозамінідази А | пошкодження нервових клітин |
| Синдром крихкого X | ген FMR1 | розумова відсталість |
| Хвороба Хантінгтона | Ген HD | дегенерація мозку |
Якщо\(s \ll 1\), ми очікуємо невеликої зміни частоти алелів в кожному поколінні, то ми можемо наблизити\(p^{\prime}-p \approx d p / d n\), де\(n\) позначається число генерації, а\(p=p(n) .\) приблизне диференціальне рівняння, отримане з (5.2.10)
\[\frac{d p}{d n}=s p\left(h+(1-3 h) p-(1-2 h) p^{2}\right) \nonumber \]
Якщо\(A\) частково домінуюча так\(h \neq 0(e . g .\), що гетерозиготна моль темніше гомозгіготної мутантної молі), то розчин до (5.2.11) поводиться аналогічно розв'язку логістичного рівняння:\(p\) спочатку зростає в геометричній прогресії, як \(p(n)=\)\(p_{0} \exp (s h n)\), і асимптотизує до одного для великих\(n .\) If\(A\) є рецесивним таким чином\(h=0(e . g .,\), що гетерозиготна моль має такий же світлий колір, як гомозиготна мутантна моль), то (5.2.11) знижується до
\[\frac{d p}{d n}=s p^{2}(1-p), \quad \text { for } h=0 \nonumber \]
Основний інтерес представляє початкове зростання\(p\) коли\(p(0)=p_{0} \ll 1\), так що\(d p / d n \approx s p^{2}\). Це диференціальне рівняння може бути інтегровано шляхом поділу змінних для отримання
\[\begin{aligned} p(n) &=\frac{p_{0}}{1-s p_{0} n} \\[4pt] & \approx p_{0}\left(1+s p_{0} n\right) \end{aligned} \nonumber \]
Частота рецесивного алеля збільшується лише лінійно в різних поколіннях, наслідок чого гетерозигота прихована від природного відбору. Швидше за все, гетерозигота перцевидної молі значно темніше гомозиготи світлого кольору, оскільки темна кольорова міль швидко збільшувалася в частоті за короткий проміжок часу.
Як остаточний коментар, лінійне зростання частоти\(A\) коли\(h=0\) чутливе до нашого припущення про випадкове спаровування. Якщо сталося самоврядування або інший тип близького сімейного спаровування, то рецесивний прихильний алель все одно може збільшуватися в геометричній прогресії. При цій обставині вироблення гомозиготного потомства з більш частих парних гетерозигот дозволяє селекції діяти більш ефективно.
Баланс мутації-вибору
В силу самопізнання видом з найбільш відомими мутантними фенотипами є Homo sapiens. Існують тисячі відомих генетичних захворювань у людини, багато з них викликані мутацією одного гена (званого моногенним захворюванням). Легкий для читання огляд генетичних захворювань у людини див. Веб-сайт
http://www.who.int/genomics/public/geneticdiseases
| генотип | \(A A\) | \(A a\) | \(a a\) |
|---|---|---|---|
| частота. зиготи | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(p^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 p q\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(q^{2}\) |
| відносна фітнес | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">1 | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1-s h\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1-s\) |
| freq після вибору | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(p^{2} / w\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2(1-s h) p q / w\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\((1-s) q^{2} / w\) |
| нормалізації | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(w=p^{2}+2(1-s h) p q+(1-s) q^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> |
У таблиці\(5.8\) наведено сім поширених моногенних захворювань. Перші два захворювання підтримуються на значних частотах у деяких людських популяцій гетерозисом. Ми обговоримо в\(\$ 5.2 .4\) підтримці поліморфізму гетерозисом, для якого гетерозигота має більш високу придатність, ніж будь-яка гомозигота. Постулюється, що хвороба Тея-Сакса, поширена серед предків східноєвропейських євреїв, і муковісцидоз, можливо, також підтримувалися гетерозисом, що діяв у минулому. (Зверніть увагу, що ген муковісцидозу був ідентифікований в 1989 році групою Торонто на чолі з Лап Чі Цуй, який згодом став президентом Гонконгського університету.) Інші перераховані гени захворювання можуть підтримуватися балансом мутації-селекції.
Наша модель диплоїдного мутаційно-селекційного балансу наведена в табл. 5.9. Далі припускаємо, що мутації типу\(A \rightarrow\) а відбуваються у виробництві гамет з частотою\(u\). Зворотно-мутацією нехтують. Гаметична частота\(A\) і\(a\) після відбору, але перед мутацією\(\hat{q}=R_{s}+Q_{s} / 2\), задається\(\hat{p}=P_{s}+Q_{s} / 2\) і, а гаметична частота\(a\) після мутації задається\(q^{\prime}=u \hat{p}+\hat{q} .\) Отже,
\[q^{\prime}=\left(u\left(p^{2}+(1-s h) p q\right)+\left((1-s) q^{2}+(1-s h) p q\right)\right) / w \nonumber \]
де
\[\begin{aligned} w &=p^{2}+2(1-s h) p q+(1-s) q^{2} \\[4pt] &=1-s q(2 h p+q) \end{aligned} \nonumber \]
Використовуючи\(p=1-q\), ми запишемо еволюційне рівняння для\(q^{\prime}\)\(q\) поодинці. Після деякої алгебри, яку можна було б полегшити за допомогою програмного забезпечення комп'ютерної алгебри, такого як Mathematica, ми отримуємо
\[q^{\prime}=\frac{u+(1-u-\operatorname{sh}(1+u)) q-s(1-h(1+u)) q^{2}}{1-2 \operatorname{sh} q-s(1-2 h) q^{2}} \nonumber \]
Для визначення рівноважних розв'язків\((5.2.14)\), встановлено для\(q_{*} \equiv q^{\prime}=q\) отримання кубічного рівняння для\(q_{*}\). Через нехтування зворотною мутацією в нашій моделі, одним з рішень є те\(q_{*}=1\), що всі\(A\) алелі мутували до a.\(q_{*}=1\) Розв'язок може бути врахований з кубічного рівняння, що призведе до квадратного рівняння, з двома розв'язками. Замість того, щоб показувати тут точний результат, ми визначаємо рівноважні розв'язки під двома наближеннями: (i)\(0<u \ll h, s\), і; (ii)\(0=h<u<s\).
По-перше, коли\(0<u \ll h, s\), ми шукаємо рішення форми\(q_{*}=a u+\mathrm{O}\left(u^{2}\right)\), з\(a\) постійною, і ряд Тейлора розширюється в\(u\) (припускаючи\(\left.s, h=\mathrm{O}\left(u^{0}\right)\right)\). Якщо таке рішення існує, то\((5.2.14)\) визначить невідомий коефіцієнт\(a\). У нас є
\[\begin{aligned} a u+\mathrm{O}\left(u^{2}\right) &=\frac{u+(1-\operatorname{sh}) a u+\mathrm{O}\left(u^{2}\right)}{1-2 \operatorname{shau}+\mathrm{O}\left(u^{2}\right)} \\[4pt] &=(1+a-\operatorname{sh} a) u+\mathrm{O}\left(u^{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]
| генотип | \(A A\) | \(A a\) | \(a a\) |
|---|---|---|---|
| частота:\(0<u \ll s, h\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1+\mathrm{O}(u)\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 u / s h+\mathrm{O}\left(u^{2}\right)\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(u^{2} /(s h)^{2}+\mathrm{O}\left(u^{3}\right)\) |
| частота:\(0=h<u<s\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1+\mathrm{O}(\sqrt{u})\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 \sqrt{u / s}+\mathrm{O}(u)\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(u / s\) |
і прирівнюючи сили\(u\), ми знаходимо\(a=1+a-\operatorname{sh} a\), або\(a=1 / \mathrm{sh} .\) Тому,
\[q_{*}=u / s h+\mathrm{O}\left(u^{2}\right), \quad \text { for } 0<u \ll h, s . \nonumber \]
По-друге\(0=h<u<s\), коли ми підставляємо\(h=0\) безпосередньо в (5.2.14),
\[q_{*}=\frac{u+(1-u) q_{*}-s q_{*}^{2}}{1-s q_{*}^{2}} \nonumber \]
який ми потім запишемо як кубічне рівняння\(q_{*}\)
\[q_{*}^{3}-q_{*}^{2}-\frac{u}{s} q_{*}+\frac{u}{s}=0 \nonumber \]
Факторингом цього кубічного рівняння ми знаходимо
\[\left(q_{*}-1\right)\left(q_{*}^{2}-u / s\right)=0 \nonumber \]
і поліморфний рівноважний розчин
\[q_{*}=\sqrt{u / s}, \quad \text { for } 0=h<u<s \nonumber \]
Тому що\(q_{*}<1\) тільки якщо\(s>u\), це рішення не існує, якщо\(s<u .\)
Таблиця\(5.10\) узагальнює наші результати для рівноважних частот генотипів при мутаційно-селекційному балансі. Перший ряд частот відповідає домінантній\((h=1)\) або частково домінантній\((u \ll h<1)\) мутації, де гетерозигота має знижену придатність і проявляє симптоми генетичного захворювання.\(0<u \ll s, h\) Другий ряд частот\(0=h<u<s\), відповідає рецесивної мутації, де гетерозигота не має симптомів. Зверніть увагу, що особи, що несуть домінуючу мутацію, в два рази частіше поширені в популяції, ніж особи, гомозиготні для рецесивної мутації (з тим же\(u\) і\(s\)).
Гетерозигота, що несе домінантну мутацію, найчастіше виникає або de novo (шляхом прямої мутації алеля\(A\)), або спаровування гетерозиготи з диким типом. Останній більш поширений для\(s \ll 1\), в той час як перший повинен відбуватися для\(s=1\) (гетерозигота з\(s=h=1\) мутацією за визначенням не відтворюється). Одним з найпоширеніших аутосомно-домінантних генетичних захворювань є хвороба Хантінгтона, що призводить до погіршення стану мозку в середньому віці. Оскільки особини з хворобою Хантінгтона мають дітей до появи симптомів хвороби,\(s\) вона невелика, і хвороба зазвичай передається потомству шляхом спарювання (гетерозиготи) з гомозиготою дикого типу. Для рецесивної мутації мутантна гомозигота зазвичай відбувається спаровуванням двох гетерозигот. Якщо обоє батьків переносять один алель рецесивного захворювання, то у їх дитини є\(1 / 4\) шанс отримати захворювання.
гетерозис
Гетерозис, який також називають надмірним домінантом або перевагою гетерозиготи, виникає, коли гетерозигота має вищу придатність, ніж будь-яка гомозигота. Найвідоміші приклади
| генотип | \(A A\) | \(A a\) | \(a a\) |
|---|---|---|---|
| частота. зиготи | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(p^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 p q\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(q^{2}\) |
| відносна фітнес | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1-s\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">1 | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(1-t\) |
| freq після вибору | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\((1-s) p^{2} / w\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(2 p q / w\) | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\((1-t) q^{2} / w\) |
| нормалізації | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512">\(w=(1-s) p^{2}+2 p q+(1-t) q^{2}\) | \ (A\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> | \ (a\)» style="вирівнювання тексту: центр;» клас = "lt-math-93512"> |
серповидноклітинна анемія і таласемія, захворювання, які впливають на гемоглобін, білок кисневого носія еритроцитів. Серповидно-клітинні мутації найбільш поширені у людей західноафриканського походження, тоді як мутації таласемії найбільш поширені у людей з Середземномор'я та Азії. У Гонконзі телевізійні станції іноді відтворюють публічні оголошення про таласемію. Гетерозиготний носій серповидноклітинного або таласемічного гена здоровий і стійкий до малярії; гомозигота дикого типу здорова, але сприйнятлива до малярії; мутантна гомозигота хвора на анемію. На заняттях ми подивимося коротке відео,\(A\) Mutation Story, про ген серповидноклітинних клітин.
\(5.11\)У таблиці представлена наша модель гетерозису. Обидві гомозиготи мають нижчу придатність, ніж гетерозигота, відносну придатність якої ми довільно встановлюємо на єдність. Записуючи рівняння для\(p^{\prime}\), ми маємо
\[\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1-s) p^{2}+p q}{1-s p^{2}-t q^{2}} \\[4pt] &=\frac{p-s p^{2}}{1-t+2 t p-(s+t) p^{2}} \end{aligned} \nonumber \]
При рівновазі\(p_{*} \equiv p^{\prime}=p\), і отримаємо кубічне рівняння для\(p_{*}:\)
\[(s+t) p_{*}^{3}-(s+2 t) p_{*}^{2}+t p_{*}=0 \nonumber \]
Очевидно,\(p_{*}=0\) і\(p_{*}=1\) є фіксованими точками, і (5.2.20) можуть бути враховані як
\[p(1-p)(t-(s+t) p)=0 \nonumber \]
Тому поліморфний розчин
\[p_{*}=\frac{t}{s+t}, \quad q_{*}=\frac{s}{s+t}, \nonumber \]
дійсний, коли\(s, t>0\). Оскільки значення\(q_{*}\) може бути великим, рецесивні мутації, які викликають захворювання, але дуже поширені в популяції, підозрюються, що дають певну користь гетерозиготі. Однак однозначно відомо, що лише деякі гени проявляють гетерозис.