5.1: Гаплоїдна генетика
- Page ID
- 66672
Спочатку розглянуто моделювання селекції в популяції гаплоїдних організмів. Селекція моделюється коефіцієнтами придатності, з різними генотипами, що мають різну фітнес. Почнемо з простої моделі, яка підраховує кількість особин у наступному поколінні, а потім покажемо, як цю модель можна переформулювати з точки зору частот алелів і відносних коефіцієнтів придатності.
Таблиця\(5.1\) формулює базову модель. Припускаємо, що існує два алелі\(A\) і\(a\) для конкретного гаплоїдного гена. Ці алелі розносяться в популяції\(n_{A}\) і\(n_{a}\) особини відповідно. Передбачається, що\(g_{A}\left(g_{a}\right)\) частина особин,\(A(a)\) що несуть алель, доживають до віку розмноження, а ті, які виживають, сприяють\(f_{A}\left(f_{a}\right)\) потомству наступного покоління. Це, звичайно, середні значення, але за припущенням (майже) нескінченної популяції наша модель є детермінованою. Відповідно, з\(n_{A}^{(i)}\left(n_{a}^{(i)}\right)\) представленням кількості особин, що несуть алель\(A(a)\) в\(i\) -му поколінні, і формулюючи модель дискретної генерації, ми маємо
\[n_{A}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}, \quad n_{a}^{(i+1)}=f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)} \nonumber \]
Математично простіше і прозоріше працювати з частотами алелів, а не з окремими числами. Позначимо частоту (а точніше, пропорцію) алелю\(A(a)\) в\(i\) -му поколінні\(p_{i}\left(q_{i}\right) ;\) тим,
\[p_{i}=\frac{n_{A}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}}, \quad q_{i}=\frac{n_{a}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}} \nonumber \]
де, очевидно,\(p_{i}+q_{i}=1 .\) тепер, від (5.1.1),
\[n_{A}^{(i+1)}+n_{a}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}, \nonumber \]
так що ділення першого рівняння в (5.1.1) на (5.1.3) дає
\[\begin{align} \nonumber p_{i+1} &=\frac{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}}{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}} \\[4pt] &=\frac{f_{A} g_{A} p_{i}}{f_{A} g_{A} p_{i}+f_{a} g_{a} q_{i}} \\[4pt] &=\frac{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}}\nonumber \end{align} \nonumber \]
де друга рівність походить від ділення чисельника і знаменника на\(n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}\), а третя рівність від ділення чисельника і знаменника на
| генотип | \(A\) | \(a\) |
|---|---|---|
| частота. гамети | \(p\) | \(q\) |
| відносна фітнес | \(1+s\) | 1 |
| freq після вибору | \((1+s) p / w\) | \(q / w\) |
| нормалізації | \(w=(1+s) p+q\) |
Таблиця 5.2: Гаплоїдна генетична модель поширення сприятливого алеля.
\(f_{A} g_{A}\). Аналогічно,
\[q_{i+1}=\frac{q_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}} \nonumber \]
які також можуть бути отримані за допомогою\(q_{i+1}=1-p_{i+1}\). З еволюційних рівнянь для частот алелів (5.1.4) та (5.1.5) ми спостерігаємо, що має значення лише відносна\(f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}\) придатність алелів. Відповідно, в наших моделах ми будемо розглядати тільки відносну фітнес, і довільно поставимо одну придатність до єдності, щоб спростити алгебру і зробити кінцевий результат більш прозорим.
Поширення привілейованого алелю
Розглянуто просту модель поширення улюбленого алеля в табл. 5.2, с\(s>0\). \(p^{\prime}\)Позначаючи\(A\) частоту в наступному поколінні (не (!) похідна від\(p\)), рівняння еволюції задається
\[\begin{align} \nonumber p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \end{align} \nonumber \]
де ми використовували\((1+s) p+q=1+s p\), так як\(p+q=1\). Зверніть увагу, що (5.1.6) збігається з (5.1.4) з\(p^{\prime}=p_{i+1}, p=p_{i}\), і\(f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}=1+s\). Фіксовані точки (5.1.6) визначаються з\(p^{\prime}=p .\) Ми знаходимо дві фіксовані точки:\(p_{*}=0\), відповідні популяції, в якій алель\(A\) відсутній; і\(p_{*}=1\), що відповідає популяції, в якій\(A\) алель фіксований. Інтуїтивно,\(p_{*}=0\) нестабільна,\(p_{*}=1\) поки стабільна.
Щоб проілюструвати, як аналіз стійкості виконується аналітично для різницевого рівняння (замість диференціального рівняння), розглянемо загальне різницеве рівняння
\[p^{\prime}=f(p) \nonumber \]
З\(p=p_{*}\) фіксованою точкою такий\(p_{*}=f\left(p_{*}\right)\), що, пишемо\(p=p_{*}+\epsilon\) так, що (5.1.7) стає
\[\begin{aligned} p_{*}+\epsilon^{\prime} &=f\left(p_{*}+\epsilon\right) \\[4pt] &=f\left(p_{*}\right)+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots \\[4pt] &=p_{*}+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots, \end{aligned} \nonumber \]
де\(f^{\prime}\left(p_{*}\right)\) позначає похідну від\(f\) оцінюється в\(p_{*} .\) Отже, до провідного порядку в\(\epsilon\)
\[\left|\epsilon^{\prime} / \epsilon\right|=\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|, \nonumber \]
і нерухома точка стабільна за умови, що\(\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1\). Для нашої гаплоїдної моделі,
\[f(p)=\frac{(1+s) p}{1+s p}, \quad f^{\prime}(p)=\frac{1+s}{(1+s p)^{2}} \nonumber \]
| генотип | \(A\) | \(a\) |
|---|---|---|
| частота. гамети | \(p\) | \(q\) |
| відносна фітнес | 1 | \(1-s\) |
| freq після вибору | \(p / w\) | \((1-s) q / w\) |
| частота після мутації | \((1-u) p / w\) | \([(1-s) q+u p] / w\) |
| нормалізації | \(w=p+(1-s) q\) |
так що\(f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=1+s>1\), і\(f^{\prime}\left(p_{*}=1\right)=1 /(1+s)<1\), підтверджуючи, що\(p_{*}=0\) є\(p_{*}=1\) нестабільним і стабільним.
Якщо коефіцієнт вибору невеликий,\(s\) модельне рівняння (5.1.6) спрощується далі. У нас є
\[\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \\[4pt] &=(1+s) p\left(1-s p+\mathrm{O}\left(s^{2}\right)\right) \\[4pt] &=p+\left(p-p^{2}\right) s+\mathrm{O}\left(s^{2}\right) \end{aligned} \nonumber \]
так що до ведучого порядку в\(s\),
\[p^{\prime}-p=s p(1-p) \nonumber \]
Якщо\(p^{\prime}-p \ll 1\), що справедливо для\(s \ll 1\), ми можемо наблизити це різницеве рівняння диференціальним рівнянням
\[d p / d n=s p(1-p) \nonumber \]
що показує, що частота алеля\(A\) задовольняє зараз дуже знайомому логістичному рівнянню.
Хоча поліморфізм цього гена існує в популяції, оскільки новий алель поширюється,\(A\) врешті-решт закріплюється в популяції і поліморфізм втрачається. У наступному розділі ми розглянемо, як поліморфізм може підтримуватися в гаплоїдної популяції балансом між мутацією і відбором.
Баланс мутації-вибору
Розглядається ген з двома алелями: аллелем дикого типу\(A\) і мутантним алелем\(a\). Ми розглядаємо мутантний алель як дефектний генотип, який надає носію знижену\(1-s\) придатність щодо дикого типу. Хоча всі мутантні алелі можуть не мати однакових послідовностей ДНК, ми припускаємо, що вони поділяють один і той же фенотип зниженої придатності. Ми моделюємо протилежні ефекти двох еволюційних сил: природного відбору, який сприяє аллелю дикого типу\(A\) над мутантним алелем\(a\), та мутацію, яка надає малу ймовірність\(u\) того, що алель\(A\) мутує алель \(a\)у кожного новонародженого індивідуальна. Схематично,
\[A \stackrel{u}{\underset{s}{\rightleftharpoons}} a \nonumber \]
де\(u\) представляє мутацію і\(s\) представляє виділення. Модель представлена в таблиці 5.3. Рівняння для\(p\) і\(q\) в наступному поколінні
\[\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1-u) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-u) p}{1-s(1-p)} \end{aligned} \nonumber \]
| генотип | \(A A\) | \(A a\) | \(a a\) |
|---|---|---|---|
| згадується як | гомозигота дикого типу | гетерозигота | мутант гомозигота |
| частоти | \(P\) | \(Q\) | \(R\) |
і
\[\begin{align} \nonumber q^{\prime} &=\frac{(1-s) q+u p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-s-u) q+u}{1-s q} \end{align} \nonumber \]
де ми використовували для\(p+q=1\) усунення\(q\) з рівняння для\(p^{\prime}\) і\(p\) з рівняння для\(q^{\prime}\). Рівняння для\(p^{\prime}\) і\(q^{\prime}\) є лінійно залежними з тих пір\(p^{\prime}+q^{\prime}=1\), і нам потрібно вирішити тільки одне з них.
З огляду на (5.1.13), фіксовані точки\(p_{*}=0\), визначені з\(p^{\prime}=p\) яких мутантний алель\(a\) фіксується в популяції і немає поліморфізму, а розв'язку
\[1-s\left(1-p_{*}\right)=1-u \nonumber \]
який є\(p_{*}=1-u / s\), і є поліморфізм. Стабільність цих двох нерухомих точок визначаються шляхом розгляду\(p^{\prime}=f(p)\), з\(f(p)\) заданим правою стороною (5.1.13). Беручи похідне від\(f\),
\[f^{\prime}(p)=\frac{(1-u)(1-s)}{[1-s(1-p)]^{2}} \nonumber \]
щоб
\[f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=\frac{1-u}{1-s}, \quad f^{\prime}\left(p_{*}=1-u / s\right)=\frac{1-s}{1-u} . \nonumber \]
Застосовуючи критерій\(\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1\) стійкості,\(p_{*}=0\) є стабільним для\(s<u\) і\(p_{*}=1-u / s\) стабільним для\(s>u\). Тому поліморфізм можливий при балансі мутації-відбору, коли\(s>u>0\).