5.1: Гаплоїдна генетика

Спочатку розглянуто моделювання селекції в популяції гаплоїдних організмів. Селекція моделюється коефіцієнтами придатності, з різними генотипами, що мають різну фітнес. Почнемо з простої моделі, яка підраховує кількість особин у наступному поколінні, а потім покажемо, як цю модель можна переформулювати з точки зору частот алелів і відносних коефіцієнтів придатності.

Таблиця$5.1$ формулює базову модель. Припускаємо, що існує два алелі$A$ і$a$ для конкретного гаплоїдного гена. Ці алелі розносяться в популяції$n_{A}$ і$n_{a}$ особини відповідно. Передбачається, що$g_{A}\left(g_{a}\right)$ частина особин,$A(a)$ що несуть алель, доживають до віку розмноження, а ті, які виживають, сприяють$f_{A}\left(f_{a}\right)$ потомству наступного покоління. Це, звичайно, середні значення, але за припущенням (майже) нескінченної популяції наша модель є детермінованою. Відповідно, з$n_{A}^{(i)}\left(n_{a}^{(i)}\right)$ представленням кількості особин, що несуть алель$A(a)$ в$i$ -му поколінні, і формулюючи модель дискретної генерації, ми маємо

$$n_{A}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}, \quad n_{a}^{(i+1)}=f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)} \nonumber$$

Математично простіше і прозоріше працювати з частотами алелів, а не з окремими числами. Позначимо частоту (а точніше, пропорцію) алелю$A(a)$ в$i$ -му поколінні$p_{i}\left(q_{i}\right) ;$ тим,

$$p_{i}=\frac{n_{A}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}}, \quad q_{i}=\frac{n_{a}^{(i)}}{n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}} \nonumber$$

де, очевидно,$p_{i}+q_{i}=1 .$ тепер, від (5.1.1),

$$n_{A}^{(i+1)}+n_{a}^{(i+1)}=f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}, \nonumber$$

так що ділення першого рівняння в (5.1.1) на (5.1.3) дає

$$\begin{align} \nonumber p_{i+1} &=\frac{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}}{f_{A} g_{A} n_{A}^{(i)}+f_{a} g_{a} n_{a}^{(i)}} \\[4pt] &=\frac{f_{A} g_{A} p_{i}}{f_{A} g_{A} p_{i}+f_{a} g_{a} q_{i}} \\[4pt] &=\frac{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}}\nonumber \end{align} \nonumber$$

де друга рівність походить від ділення чисельника і знаменника на$n_{A}^{(i)}+n_{a}^{(i)}$, а третя рівність від ділення чисельника і знаменника на

генотип	$A$	$a$
частота. гамети	$p$	$q$
відносна фітнес	$1+s$	1
freq після вибору	$(1+s) p / w$	$q / w$
нормалізації	$w=(1+s) p+q$

Таблиця 5.2: Гаплоїдна генетична модель поширення сприятливого алеля.

$f_{A} g_{A}$. Аналогічно,

$$q_{i+1}=\frac{q_{i}}{\left(\frac{f_{A} g_{A}}{f_{a} g_{a}}\right) p_{i}+q_{i}} \nonumber$$

які також можуть бути отримані за допомогою$q_{i+1}=1-p_{i+1}$. З еволюційних рівнянь для частот алелів (5.1.4) та (5.1.5) ми спостерігаємо, що має значення лише відносна$f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}$ придатність алелів. Відповідно, в наших моделах ми будемо розглядати тільки відносну фітнес, і довільно поставимо одну придатність до єдності, щоб спростити алгебру і зробити кінцевий результат більш прозорим.

Поширення привілейованого алелю

Розглянуто просту модель поширення улюбленого алеля в табл. 5.2, с$s>0$. $p^{\prime}$Позначаючи$A$ частоту в наступному поколінні (не (!) похідна від$p$), рівняння еволюції задається

$$\begin{align} \nonumber p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \end{align} \nonumber$$

де ми використовували$(1+s) p+q=1+s p$, так як$p+q=1$. Зверніть увагу, що (5.1.6) збігається з (5.1.4) з$p^{\prime}=p_{i+1}, p=p_{i}$, і$f_{A} g_{A} / f_{a} g_{a}=1+s$. Фіксовані точки (5.1.6) визначаються з$p^{\prime}=p .$ Ми знаходимо дві фіксовані точки:$p_{*}=0$, відповідні популяції, в якій алель$A$ відсутній; і$p_{*}=1$, що відповідає популяції, в якій$A$ алель фіксований. Інтуїтивно,$p_{*}=0$ нестабільна,$p_{*}=1$ поки стабільна.

Щоб проілюструвати, як аналіз стійкості виконується аналітично для різницевого рівняння (замість диференціального рівняння), розглянемо загальне різницеве рівняння

$$p^{\prime}=f(p) \nonumber$$

З$p=p_{*}$ фіксованою точкою такий$p_{*}=f\left(p_{*}\right)$, що, пишемо$p=p_{*}+\epsilon$ так, що (5.1.7) стає

$$\begin{aligned} p_{*}+\epsilon^{\prime} &=f\left(p_{*}+\epsilon\right) \\[4pt] &=f\left(p_{*}\right)+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots \\[4pt] &=p_{*}+\epsilon f^{\prime}\left(p_{*}\right)+\ldots, \end{aligned} \nonumber$$

де$f^{\prime}\left(p_{*}\right)$ позначає похідну від$f$ оцінюється в$p_{*} .$ Отже, до провідного порядку в$\epsilon$

$$\left|\epsilon^{\prime} / \epsilon\right|=\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|, \nonumber$$

і нерухома точка стабільна за умови, що$\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1$. Для нашої гаплоїдної моделі,

$$f(p)=\frac{(1+s) p}{1+s p}, \quad f^{\prime}(p)=\frac{1+s}{(1+s p)^{2}} \nonumber$$

Таблиця 5.3: Гаплоїдна генетична модель мутаційно-селекційного балансу.

генотип	$A$	$a$
частота. гамети	$p$	$q$
відносна фітнес	1	$1-s$
freq після вибору	$p / w$	$(1-s) q / w$
частота після мутації	$(1-u) p / w$	$[(1-s) q+u p] / w$
нормалізації	$w=p+(1-s) q$

так що$f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=1+s>1$, і$f^{\prime}\left(p_{*}=1\right)=1 /(1+s)<1$, підтверджуючи, що$p_{*}=0$ є$p_{*}=1$ нестабільним і стабільним.

Якщо коефіцієнт вибору невеликий,$s$ модельне рівняння (5.1.6) спрощується далі. У нас є

$$\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1+s) p}{1+s p} \\[4pt] &=(1+s) p\left(1-s p+\mathrm{O}\left(s^{2}\right)\right) \\[4pt] &=p+\left(p-p^{2}\right) s+\mathrm{O}\left(s^{2}\right) \end{aligned} \nonumber$$

так що до ведучого порядку в$s$,

$$p^{\prime}-p=s p(1-p) \nonumber$$

Якщо$p^{\prime}-p \ll 1$, що справедливо для$s \ll 1$, ми можемо наблизити це різницеве рівняння диференціальним рівнянням

$$d p / d n=s p(1-p) \nonumber$$

що показує, що частота алеля$A$ задовольняє зараз дуже знайомому логістичному рівнянню.

Хоча поліморфізм цього гена існує в популяції, оскільки новий алель поширюється,$A$ врешті-решт закріплюється в популяції і поліморфізм втрачається. У наступному розділі ми розглянемо, як поліморфізм може підтримуватися в гаплоїдної популяції балансом між мутацією і відбором.

Баланс мутації-вибору

Розглядається ген з двома алелями: аллелем дикого типу$A$ і мутантним алелем$a$. Ми розглядаємо мутантний алель як дефектний генотип, який надає носію знижену$1-s$ придатність щодо дикого типу. Хоча всі мутантні алелі можуть не мати однакових послідовностей ДНК, ми припускаємо, що вони поділяють один і той же фенотип зниженої придатності. Ми моделюємо протилежні ефекти двох еволюційних сил: природного відбору, який сприяє аллелю дикого типу$A$ над мутантним алелем$a$, та мутацію, яка надає малу ймовірність$u$ того, що алель$A$ мутує алель $a$у кожного новонародженого індивідуальна. Схематично,

$$A \stackrel{u}{\underset{s}{\rightleftharpoons}} a \nonumber$$

де$u$ представляє мутацію і$s$ представляє виділення. Модель представлена в таблиці 5.3. Рівняння для$p$ і$q$ в наступному поколінні

$$\begin{aligned} p^{\prime} &=\frac{(1-u) p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-u) p}{1-s(1-p)} \end{aligned} \nonumber$$

Таблиця 5.4: Термінологія диплоїди.

генотип	$A A$	$A a$	$a a$
згадується як	гомозигота дикого типу	гетерозигота	мутант гомозигота
частоти	$P$	$Q$	$R$

і

$$\begin{align} \nonumber q^{\prime} &=\frac{(1-s) q+u p}{w} \\[4pt] &=\frac{(1-s-u) q+u}{1-s q} \end{align} \nonumber$$

де ми використовували для$p+q=1$ усунення$q$ з рівняння для$p^{\prime}$ і$p$ з рівняння для$q^{\prime}$. Рівняння для$p^{\prime}$ і$q^{\prime}$ є лінійно залежними з тих пір$p^{\prime}+q^{\prime}=1$, і нам потрібно вирішити тільки одне з них.

З огляду на (5.1.13), фіксовані точки$p_{*}=0$, визначені з$p^{\prime}=p$ яких мутантний алель$a$ фіксується в популяції і немає поліморфізму, а розв'язку

$$1-s\left(1-p_{*}\right)=1-u \nonumber$$

який є$p_{*}=1-u / s$, і є поліморфізм. Стабільність цих двох нерухомих точок визначаються шляхом розгляду$p^{\prime}=f(p)$, з$f(p)$ заданим правою стороною (5.1.13). Беручи похідне від$f$,

$$f^{\prime}(p)=\frac{(1-u)(1-s)}{[1-s(1-p)]^{2}} \nonumber$$

щоб

$$f^{\prime}\left(p_{*}=0\right)=\frac{1-u}{1-s}, \quad f^{\prime}\left(p_{*}=1-u / s\right)=\frac{1-s}{1-u} . \nonumber$$

Застосовуючи критерій$\left|f^{\prime}\left(p_{*}\right)\right|<1$ стійкості,$p_{*}=0$ є стабільним для$s<u$ і$p_{*}=1-u / s$ стабільним для$s>u$. Тому поліморфізм можливий при балансі мутації-відбору, коли$s>u>0$.