8.4: Експоненціальний (геометричний) зростання

Припустимо, що щороку лише 10% риб в озері мають вижили потомство. Якби минулого року в озері було 100 риби, зараз було б 110 риб. Якби минулого року в озері було 1000 риби, зараз було б 1100 риби. Відсутні будь-які гальмуючі фактори, популяції людей і тварин, як правило, зростають на відсоток від існуючої популяції щороку.

Припустимо, наше озеро почалося з 1000 риб, а 10% риб мають вижили потомство щороку. Так як ми починаємо з 1000 риби,$P_{0}=1000$. Як ми розрахуємо$P_­1$? Новим населенням буде старе населення, плюс додатково 10%. Символічно:

$P_{1}=P_{0}+0.10 P_{0}$

Зверніть увагу, що це може бути скорочено до коротшої форми шляхом факторингу:

$P_{1}=P_{0}+0.10 P_{0}=1 P_{0}+0.10 P_{0}=(1+0.10) P_{0}=1.10 P_{0}$

У той час як 10% - це темп зростання, 1,10 - множник зростання. Зверніть увагу, що 1.10 можна розглядати як «оригінал 100% плюс додаткові 10%»

Для нашого рибного населення,

$P_{1}=1.10(1000)=1100$

Потім ми могли б обчислити чисельність населення в наступні роки:

$P_{2}=1.10 P_{1}=1.10(1100)=1210$

$P_{3}=1.10 P_{2}=1.10(1210)=1331$

Зауважимо, що в перший рік популяція зросла на 100 риб, на другий рік популяція зросла на 110 риб, а на третій рік популяція зросла на 121 рибу.

Хоча спостерігається постійне процентне зростання, фактичне збільшення кількості риби зростає з кожним роком.

Графікуючи ці значення, ми бачимо, що це зростання не зовсім здається лінійним.

Щоб отримати краще уявлення про те, як це зростання на основі відсотків впливає на речі, нам потрібна явна форма, щоб ми могли швидко обчислити значення далі в майбутньому.

Як і для лінійної моделі, ми почнемо будувати з рекурсивного рівняння:

$P_{1}=1.10 P_{0}=1.10(1000)$

$P_{2}=1.10 P_{1}=1.10(1.10(1000))=1.10^{2}(1000)$

$P_{3}=1.10 P_{2}=1.10\left(1.10^{2}(1000)\right)=1.10^{3}(1000)$

$P_{4}=1.10 P_{3}=1.10\left(1.10^{3}(1000)\right)=1.10^{4}(1000)$

Спостерігаючи закономірність, ми можемо узагальнити явну форму, щоб бути:

$P_{n}=1.10^{n}(1000)$, або еквівалентно,$P_{n}=1000\left(1.10^{n}\right)$

З цього ми можемо швидко обчислити кількість риби за 10, 20 або 30 років:

$P_{10}=1.10^{10}(1000)=2594$

$P_{20}=1.10^{20}(1000)=6727$

$P_{30}=1.10^{30}(1000)=17449$

Додавання цих значень до нашого графіка виявляє форму, яка, безумовно, не є лінійною. Якби популяція нашої риби зростала лінійно, на 100 риб щороку, популяція досягла б лише 4000 за 30 років порівняно з майже 18000 з цим відсотковим зростанням, що називається експоненціальним зростанням.

При експоненціальному зростанні населення зростає пропорційно чисельності населення, тому, як населення стає більшим, той самий відсоток зростання дасть більший числовий приріст.

Експоненціальне зростання

Якщо величина починається з розміру$P_­0$ і зростає на$R\%$ (записується як десятковий$r$) кожен часовий проміжок, то кількість після періодів$n$ часу може бути визначена за допомогою будь-якого з цих відносин:

Рекурсивна форма:

$P_{n}=(1+r) P_{n-1}$

Явна форма:

$P_{n}=(1+r)^{n} P_{0}$або еквівалентно,$P_{n}=P_{0}(1+r)^{n}$

Ми$r$ називаємо темпом зростання.

Термін$(1+r)$ називається множником зростання, або загальним коефіцієнтом.

Приклад 5

У період з 2007 по 2008 рік Олімпія, штат Вашингтон, зросла майже на 3% до населення 245 тисяч чоловік. Якби цей темп зростання продовжувався, яким було б населення Олімпії в 2014 році?

Рішення

Як ми робили раніше, спочатку потрібно визначити, якому році буде відповідати$n = 0$. Оскільки ми знаємо населення в 2008 році, було б сенс, щоб 2008 рік відповідав$n = 0$, так що$P_­0 = 245,000$. Тоді буде рік 2014$n = 6$.

Ми знаємо, що темп зростання становить 3%, даючи$r = 0.03$.

Використовуючи явну форму:

$P_{6}=(1+0.03)^{6}(245,000)=1.19405(245,000)=292,542.25$

Модель прогнозує, що в 2014 році Олімпія матиме населення близько 293 тисяч чоловік.

Оцінка показників на калькуляторі

Для оцінки виразів на$(1.03)^6$ кшталт, буде простіше скористатися калькулятором, ніж помножити 1.03 на себе шість разів. Більшість наукових калькуляторів мають кнопку для експонентів. Зазвичай це або позначено як:

[^]$[y^x]$, або$[x^y]$.

Для оцінки$1.03^6$ ми введемо 1.03 [^] 6, або 1.03$[y^x]$ 6. Спробуйте - ви повинні отримати відповідь близько 1.1940523.

Спробуйте зараз 2

Індія є другою за чисельністю населення країною в світі, з населенням в 2008 році близько 1,14 мільярда чоловік. Чисельність населення зростає приблизно на 1,34% щороку. Якщо ця тенденція збережеться, до чого зросте населення Індії до 2020 року?

Відповідь

Використовуючи$n = 0$ відповідний з 2008,

$P_{12}=(1+0.0134)^{12}(1.14)=$близько 1,337 мільярда людей у 2020 році

Приклад 6

Друг використовує рівняння,$P_{n}=4600(1.072)^{n}$ щоб передбачити щорічне навчання в місцевому коледжі. Вона каже, що формула базується на роках після 2010 року. Про що нам говорить це рівняння?

Рішення

У рівнянні$P_{0}=4600$, яке є початковим значенням навчання, коли$n = 0$. Це говорить нам про те, що навчання в 2010 році склало 4600 доларів.

Мультиплікатор зростання становить 1,072, тому темпи зростання - 0,072, або 7,2%. Це говорить нам про те, що очікується, що навчання зростатиме на 7,2% щороку.

Збираючи це разом, можна сказати, що навчання в 2010 році становило 4600 доларів, і, як очікується, буде зростати на 7,2% щороку.

Приклад 7

У 1990 році використання енергії в житлових приміщеннях в США відповідало за викиди вуглекислого газу 962 мільйона метричних тонн. До 2000 року ця кількість зросла до 1182 мільйонів метричних тонн [1]. Якщо викиди зростуть експоненціально і продовжуватимуться з тією ж швидкістю, до чого зростуть викиди до 2050 року?

Рішення

Подібно до раніше, ми будемо листуватися$n = 0$ з 1990, оскільки це рік для першого фрагмента даних, які ми маємо. Що складе$P_{0}=962$ (мільйон метричних тонн$\mathrm{CO}_{2}$). У цій проблемі нам не дають темпів зростання, а натомість дають це$P_{10}=1182$.

Коли$n = 10$, явне рівняння виглядає так:

$P_{10}=(1+r)^{10} P_{0}$

Ми знаємо значення для$P_­0$, так що ми можемо поставити, що в рівняння:

$P_{10}=(1+r)^{10} 962$

Ми також знаємо$P_{10}=1182$, що, так підставляючи, що в, ми отримуємо

$1182=(1+r)^{10} 962$

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для швидкості зростання,$r$. Почніть з поділу на 962.

$\begin{array}{ll} \frac{1182}{962}=(1+r)^{10} & \text{Take the 10th root of both sides} \\ \sqrt[10]{\frac{1182}{962}}=1+r \text{Subtract 1 from both sides} \\ r=\sqrt[1]{\frac{1182}{962}}-1=0.0208=2.08 \% \end{array}$

Тож якщо викиди зростають експоненціально, вони зростають приблизно на 2,08% на рік. Тепер ми можемо прогнозувати викиди в 2050 році, знайшовши$P_{­60}$

$P_{60}=(1+0.0208)^{60} 962=3308.4$мільйон метричних тонн$\mathrm{CO}_{2}$ у 2050 році

Округлення

Як примітку щодо округлення, зверніть увагу, що якби ми округлили темп зростання до 2,1%, наш розрахунок викидів у 2050 році склав би 3347. Округлення до 2% змінило б наш результат на 3156. Дуже невелика різниця в темпах зростання значно збільшується в експоненціальному зростанні. З цієї причини рекомендується округлити темпи зростання якомога менше.

Якщо вам потрібно округлити, зберігайте не менше трьох значущих цифр - числа після будь-яких провідних нулів. Таким чином, 0.4162 можна було б розумно округлити до 0.416. Швидкість зростання 0,001027 може бути розумно округлена до 0,00103.

Оцінка коренів на калькуляторі

У попередньому прикладі нам довелося обчислити ^10-й корінь числа. Це відрізняється від взяття основного квадратного кореня,$\sqrt{ }$. Багато наукових калькуляторів мають кнопку для загальних коренів. Зазвичай він позначається як:

[$\sqrt[n]{ }$], [$\sqrt[x]{ }$], або [$\sqrt[y]{x}$]

Для оцінки 3-го кореня 8, наприклад, ми введемо 3 [$\sqrt[x]{ }$] 8, або 8 [$\sqrt[x]{ }$] 3, залежно від калькулятора. Спробуйте його на своєму, щоб побачити, що використовувати - ви повинні отримати відповідь 2.

Якщо у вашому калькуляторі немає загальної кнопки root, все не втрачено. Ви можете замість цього використовувати властивість експонентів, яка стверджує, що$\sqrt[n]{a}=a^{1 / n}$. Отже, щоб обчислити ^3-й корінь з 8, ви можете використовувати ключ експоненти калькулятора для оцінки$(2)^{2}-1=$. Для цього наберіть:

8$[y^x]$ (1$[\div]$ 3)

У дужках вказано калькулятор розділити 1/3, перш ніж робити показник.

Спробуйте зараз 3

Кількість користувачів на сайті соціальної мережі склала 45 тисяч в лютому, коли вони офіційно вийшли на публіку, і зросла до 60 тисяч до жовтня. Якщо сайт зростає в геометричній прогресії, а зростання триває з тими ж темпами, скільки користувачів вони повинні очікувати через два роки після того, як вони стали публічними?

Відповідь

Тут ми будемо вимірювати n місяцями, а не роками, з$n=0$ відповідним лютому, коли вони стали публічними. Це дає$P_{0}=45$ тисячу. Жовтень на 8 місяців пізніше, тому Р8 = 60.

$P_{8}=(1+r)^{8} P_{0}$

$60=(1+r)^{8} 45$

$\frac{60}{45}=(1+r)^{8}$

$\sqrt[8]{\frac{60}{45}}=1+r$

$r=\sqrt[8]{\frac{60}{45}}-1=0.0366$, або 3,66%

Загальне явне рівняння$P_{n}=(1.0366)^{n} 45$

Прогнозуючи 24 місяці (2 роки) після того, як вони стали публічними:

$P_{24}=(1.0366)^{24} 45=106.63$тисячі користувачів.

Приклад 8

Озираючись на останній приклад, для порівняння, якими були б викиди вуглецю в 2050 році, якщо викиди ростуть лінійно з однаковою швидкістю?

Рішення

Знову отримаємо$n = 0$ листування з 1990 року, даючи$P_{0}=962$. Щоб знайти$d$, ми могли б взяти той самий підхід, що і раніше, зазначивши, що викиди збільшилися на 220 мільйонів метричних тонн за 10 років, що дає загальну різницю в 22 мільйони метричних тонн щороку.

Крім того, ми могли б використовувати підхід, подібний до того, який ми використовували для пошуку експоненціального рівняння. Коли$n = 10$, явне лінійне рівняння виглядає так:

$P_{10}=P_{0}+10 d$

Ми знаємо значення для$P_­$ 0, тому ми можемо поставити, що в рівняння:

$P_{10}=962+10 d$

Оскільки ми знаємо$P_{10}=1182$, що, підставляючи, що в ми отримуємо

$1182=962+10 d$

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для загальної різниці, d.

$1182-962=10 d$

$220=10 d$

$d=22$

Це говорить нам про те, що якщо викиди змінюються лінійно, вони щороку зростають на 22 мільйони метричних тонн. Прогнозуючи викиди в 2050 році,

$P_{60}=962+22(60)=2282$млн метричних тонн.

Ви помітите, що це число значно менше, ніж прогноз з експоненціальної моделі зростання. Обчислення та побудова більшої кількості значень допомагає проілюструвати відмінності.

Отже, як ми знаємо, яку модель зростання використовувати при роботі з даними? Існує два підходи, які слід використовувати разом, коли це можливо:

1) Знайдіть більше двох фрагментів даних. Побудуйте значення, і шукайте тренд. Здається, що дані змінюються як рядок, або значення, здається, вигинаються вгору?

2) Розглянемо фактори, що сприяють отриманню даних. Це речі, які ви очікували б змінити лінійно або експоненціально? Наприклад, у випадку викидів вуглецю ми могли б очікувати, що, відсутні інші фактори, вони будуть тісно пов'язані з цінностями населення, які, як правило, змінюються експоненціально.

---

[1] www.eia.doe.gov/oiaf/1605/ggrpt/карбон.html