8.2: Лінійне (алгебраїчне) зростання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66268

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Марко - колекціонер антикварних пляшок з газованою водою. Його колекція наразі налічує 437 пляшок. Щороку він бюджетує достатньо грошей, щоб придбати 32 нові пляшки. Чи можемо ми визначити, скільки пляшок у нього буде через 5 років, і скільки часу знадобиться, щоб його колекція досягла 1000 пляшок?

Хоча обидва ці питання ви, ймовірно, могли б вирішити без рівняння або формальної математики, ми збираємося формалізувати наш підхід до цієї проблеми, щоб дати можливість відповісти на більш складні питання.

Припустимо, що$P_{n}$ представляє кількість або населення пляшок, які Марко має після$n$ багатьох років. Так$P_{0}$ би представляла кількість пляшок зараз,$P_{1}$ представляла б кількість пляшок через 1 рік,$P_{2}$ представляла б кількість пляшок через 2 роки, і так далі. Ми могли б описати, як змінюється колекція пляшок Марко, використовуючи:

$P_{0}=437$

$P_{n}=P_{n-1}+32$

Це називається рекурсивним зв'язком. Рекурсивний зв'язок - це формула, яка пов'язує наступне значення в послідовності з попередніми значеннями. Тут кількість пляшок у році$n$ можна дізнатися, додавши 32 до кількості пляшок у попередньому році$P_{n-1}$. Використовуючи цей зв'язок, ми могли б обчислити:

$P_{1}=P_{0}+32=437+32=469$

$P_{2}=P_{1}+32=469+32=501$

$P_{3}=P_{2}+32=501+32=533$

$P_{4}=P_{3}+32=533+32=565$

$P_{5}=P_{4}+32=565+32=597$

Ми відповіли на питання, скільки пляшок у Марко буде через 5 років. Однак вирішення того, скільки часу знадобиться, щоб його колекція досягла 1000 пляшок, вимагало б набагато більше розрахунків.

Хоча рекурсивні відносини чудово підходять для простого та чіткого опису того, як змінюється кількість, вони не зручні для прогнозування або вирішення проблем, які тягнуться далеко в майбутнє. Для цього краща закрита або явна форма відносин. Явне рівняння дозволяє обчислити P _n безпосередньо, без необхідності знати P _n _-1. Хоча ви вже можете вгадати явне рівняння, давайте виведемо його з рекурсивної формули. Ми можемо зробити це, вибірково не спрощуючи, як ми йдемо:

$\begin{array}{lr}P_{I}=437+32 & =437+1(32) \\ P_{2}=P_{1}+32=437+32+32 & =437+2(32) \\ P_{3}=P_{2}+32=(437+2(32))+32 & =437+3(32) \\ P_{4}=P_{3}+32=(437+3(32))+32 & =437+4(32)\end{array}$

Ви, ймовірно, можете побачити шаблон зараз, і узагальнити, що

$P_{n}=437+n(32)=437+32 n$

Використовуючи це рівняння, ми можемо обчислити, скільки пляшок у нього буде через 5 років:

$P_{5}=437+32(5)=437+160=597$

Тепер ми також можемо вирішити, коли колекція досягне 1000 пляшок, замінивши 1000 на$P_{n}$ і вирішивши для$n$.

$1000=437+32 n$

$Графік з горизонтальною віссю, позначеною роками відтепер і вертикальною віссю з написом На графіку показано шість точок, що утворюють зростаючу пряму лінію.$ $563=32 n$

$n=563 / 32=17.59$

Так Марко досягне 1000 пляшок за 18 років.

У попередньому прикладі колекція Марко щорічно росла на однакову кількість пляшок. Ця постійна зміна є визначальною характеристикою лінійного зростання. Поклавши значення, які ми розрахували для колекції Марко, ми бачимо, що значення утворюють пряму лінію, форму лінійного зростання.

Лінійне зростання

Якщо кількість починається з розміру$P_{0}$ і зростає на$d$ кожен часовий проміжок, то кількість після періодів$n$ часу може бути визначена за допомогою будь-якого з цих відносин:

Рекурсивна форма:

$P_{n}=P_{n-1}+d$

Явна форма:

$P_{n}=P_{0}+d n$

У цьому рівнянні представлена загальна різниця — сума, яку чисельність населення змінюється щоразу,$n$ збільшується на 1

Підключення до попереднього навчання — нахил і перехоплення

Ви можете розпізнати загальну різницю в нашому лінійному рівнянні як нахил.$d$ Насправді, все явне рівняння має виглядати знайомим - це те саме лінійне рівняння, яке ви дізналися в алгебрі, ймовірно, як$y=m x+b$.

У стандартному алгебраїчному$y=m x+b$ рівнянні$b$ було$y$ -перехоплення, або значення y, коли$x$ було нуль. У вигляді рівняння, яке ми використовуємо, ми використовуємо P0, щоб представити початкову суму.

У$y=m x+b$ рівнянні нагадаємо, що m - це ухил. Ви можете пам'ятати це як «підйом над бігом», або зміна$y$ розділеного на зміну$x$. У будь-якому випадку, він представляє те саме, що і загальна різниця$d$, яку ми використовуємо - сума, яку вихідний Pn змінюється, коли вхід$n$ збільшується на 1.

Рівняння$y=m x+b$ і$P_{n}=P_{0}+d n$ означають одне і те ж саме і можуть бути використані однаковими способами, ми просто пишемо його дещо по-іншому.

Приклад 1

Населення лося в національному лісі було виміряно, щоб бути 12,000 в 2003, і був виміряний знову бути 15,000 в 2007. Якщо популяція продовжує рости лінійно з такою швидкістю, що буде популяція лося в 2014 році?

Рішення

Для початку нам потрібно визначити, як ми будемо вимірювати$n$. Пам'ятайте, що$P_0$ це населення$n = 0$, коли, тому ми, мабуть, не хочемо буквально використовувати рік 0. Оскільки ми вже знаємо населення в 2003 році, давайте визначимо,$n = 0$ щоб бути рік 2003. Тоді

$P_0 = 12,000$.

Далі нам потрібно знайти$d$. Пам'ятайте d - це зростання за часовий період, в даному випадку зростання на рік. Між двома вимірами чисельність населення зросла на$15,000-12,000 = 3,000$, але пішли$2007-2003 = 4$ роки, щоб зрости так багато. Щоб знайти зростання в рік, можна розділити: 3000 лосів/4 роки = 750 лося в 1 рік.

Як варіант, ви можете використовувати формулу нахилу з алгебри для визначення загальної різниці, зазначивши, що сукупність є виходом формули, а час - вхідним.

$d=$ухил$=\frac{\text { change in output }}{\text { change in input }}=\frac{15,000-12,000}{2007-2003}=\frac{3000}{4}=750$

Тепер ми можемо написати наше рівняння в будь-якій формі, яка є кращою.

Рекурсивна форма:

$P_{0}=12,000$

$P_{n}=P_{n-1}+750$

Явна форма:

$P_{n}=12,000+750 n$

Щоб відповісти на питання, потрібно спочатку відзначити, що 2014 рік буде$n = 11$, оскільки 2014 рік - 11 років після 2003 року. Явна форма буде простіше використовувати для цього розрахунку:

$P_{11}=12,000+750(11)=20,250$лося

Приклад 2

Споживання бензину в США неухильно зростає. Дані про споживання за період з 1992 по 2004 рік наведені нижче [1]. Знайдіть модель для цих даних, і використовуйте її для прогнозування споживання в 2016 році. Якщо тенденція збережеться, коли споживання досягне 200 мільярдів галонів?

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ текст {рік} &\ cdot 92 &\ cdot 93 &\ cdot 94 &\ cdot 95 &\ cdot 96 &\ cdot 97 &\ cdot 98 &\ cdot 9 &\ cdot 0 точка 01 &\ cdot 02 &\ cdot 03 &\ cdot 04\
\\ hline\ почати { масив} {л}
\ текст {Споживання}
\\ текст {(мільярд}\
\ текст {галони)}
\ кінець {масив} & 110 & 111 & 113 & 116 & 119 & 123 & 125 & 126 & 128 & 133 & 133\
\ hline
\ end {масив}\)

Рішення

$Графік з горизонтальною віссю, позначеною Рік і вертикальною віссю з позначкою Графік показує дані з побудованої таблиці, утворюючи візерунок, близький до прямої.$ Поклавши ці дані, він, здається, має приблизно лінійну залежність:

Хоча існують більш досконалі статистичні методи, які можуть бути використані для пошуку рівняння для моделювання даних, щоб отримати уявлення про те, що відбувається, ми можемо знайти рівняння за допомогою двох частин даних - можливо, даних 1993 і 2003 років.

$n = 0$Дозволити листуватися з 1993 року дало б$P_{0}=111$ мільярди галонів.

Щоб знайти d, нам потрібно знати, наскільки збільшувалося споживання газу щороку, в середньому. З 1993 по 2003 рік споживання газу збільшилося зі 111 мільярдів галонів до 133 мільярдів галонів, загальна зміна на$133 – 111 = 22$ мільярд галонів, протягом 10 років. Це дає нам середню зміну 22 мільярдів галонів/10 рік = 2,2 мільярда галонів на рік.

Рівнозначно,

$d=\text {slope}=\frac{\text { change in output }}{\text { change in input }}=\frac{133-111}{10-0}=\frac{22}{10}=2.2$мільярдів галонів на рік

Тепер ми можемо написати наше рівняння в будь-якій формі, яка є кращою.

Рекурсивна форма:

$P_{0}=111$

$P_{n}=P_{n-1}+2.2$

Явна форма:

$P_{n}=111+2.2 n$

Обчислення значень за допомогою явної форми і побудова їх з оригінальними даними показує, наскільки добре наша модель підходить до даних.

Тепер ми можемо використовувати нашу модель, щоб робити прогнози щодо майбутнього, припускаючи, що попередня тенденція залишається незмінною. Щоб спрогнозувати споживання бензину в 2016 році:

$n=23 (2016 – 1993 = 23$років потому)

$P_{23}=111+2.2(23)=161.6$

Наша модель прогнозує, що США споживатимуть 161,6 млрд галонів бензину в 2016 році, якщо нинішня тенденція збережеться.

Щоб знайти, коли споживання досягне 200 мільярдів галонів, ми$P_{n}=200$ встановили б і вирішили для$n$:

$\begin{array}{ll} P_{n}=200 & \text{Replace } P_n \text{ with our model} \\ 111+2.2 n=200 & \text{Subtract 111 from both sides} \\ 2.2n = 89 & \text{Divide both sides by 2.2} \\ n = 40.4545 \end{array}$

Це говорить нам про те, що споживання досягне 200 мільярдів приблизно через 40 років після 1993 року, що буде в 2033 році.

Приклад 3

Вартість, у доларах, членства в тренажерному залі протягом$n$ місяців може бути описана явним рівнянням$P_{n}=70+30 n$. Про що говорить нам це рівняння?

Рішення

Значення для$P_{0}$ в цьому рівнянні дорівнює 70, тому початкова стартова вартість становить 70 доларів. Це говорить нам про те, що для приєднання до спортзалу повинна бути плата за ініціацію або старт у розмірі 70 доларів.

Значення для$d$ в рівнянні дорівнює 30, тому вартість збільшується на 30 доларів щомісяця. Це говорить нам про те, що щомісячний членський внесок у тренажерний зал становить 30 доларів на місяць.

Спробуйте зараз 1

Кількість батьків, які перебувають вдома в Канаді, постійно зростає [2]. Хоча тенденція не ідеально лінійна, вона досить лінійна. Скористайтеся даними 1976 та 2010 років, щоб знайти явну формулу кількості батьків, які перебувають вдома, а потім використовуйте її для прогнозування кількості 2020 року.

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ текст {Рік} & 1976 & 1984 & 2000 & 2010\\
\ hline\ текст {Кількість батьків, які перебувають вдома} & 20,610 & 28,725 & 43,530 & 47,665 & 53 53,555
\\\ hline
\ кінець {масив}

Відповідь

$n=0$Дозволити листуватися з 1976, тоді$P_{0}=20,610$.

З 1976 по 2010 рік кількість батьків, які перебувають вдома, збільшилася на

$53,555-20,610=32,945$

Це сталося протягом 34 років, даючи загальне різне d$32,945 / 34=969$.

$P_{n}=20,610+969 n$

Прогнозуючи на 2020 рік, використовуємо$n=44$

$P_{44}=20,610+969(44)=63,246$батьки, які перебувають вдома у 2020 році.

[1] www.bts.gov/публікації/наті... ble_04_10.html

[2] www.fira.ca/стаття. phpid=140