1.2: Відсотки
- Page ID
- 66204
Під час віце-президентських дебатів 2004 року Едвардс стверджував, що американські війська зазнали «90% втрат коаліції» в Іраку. Чейні заперечив це, заявивши, що фактично сили безпеки Іраку та союзники по коаліції «забрали майже 50 відсотків» жертв [1]. Хто правий? Як ми можемо зрозуміти ці цифри?
Відсоток буквально означає «на 100», або «частини на сто». Коли ми пишемо 40%, це еквівалентно дробу\(\frac{40}{100}\) або десятковому 0.40. Зверніть увагу, що 80 з 200 і 10 з 25 також 40%, так як\(\frac{80}{200}=\frac{10}{25}=\frac{40}{100}\).
243 людини з 400 заявляють, що люблять собак. Який відсоток це?
Рішення
\(\frac{243}{400}=0.6075=\frac{60.75}{100}\). Це 60,75%.
Зверніть увагу, що відсоток можна знайти з еквівалентної десяткової коми, перемістивши десяткову крапку на два розряди вправо.
Запишіть кожен у відсотках: а)\(\frac{1}{4}\) б) 0,02 в) 2,35
Рішення
а)\(\frac{1}{4}=0.25=25 \%\) б)\(0.02=2 \%\) в)\(2.35=235 \%\)
Якщо у нас є частина, яка становить якийсь відсоток цілого, то
\(\text{percent }=\frac{\text { part }}{\text { whole }}\), або еквівалентно,\(\text{part }=\text{ percent} \cdot \text{whole}\)
Для виконання розрахунків запишемо відсоток у вигляді десяткового числа.
Податок з продажу в місті становить 9,4%. Скільки податку ви заплатите за покупку в 140 доларів?
Рішення
Тут 140 доларів - це ціле, і ми хочемо знайти 9,4% від 140 доларів. Ми починаємо з запису відсотків у вигляді десяткової коми, перемістивши десяткову крапку на два розряди вліво (що еквівалентно діленню на 100). Потім ми можемо обчислити:
\(\operatorname{tax}=0.094(140)=\$ 13.16\)в податковій.
У новині ви чуєте, що «очікується, що навчання зросте на 7% наступного року». Якщо навчання в цьому році становило $1200 за квартал, що це буде в наступному році?
Рішення
Навчання в наступному році буде поточним навчанням плюс додаткові 7%, тож це буде 107% від цього року навчання:
\(\$ 1200(1.07)=\$ 1284\).
Крім того, ми могли б спочатку обчислити 7% від 1200 доларів:\(\$ 1200(0.07)=\$ 84\).
Зверніть увагу, що це не очікуване навчання на наступний рік (ми могли б тільки побажати). Натомість це очікуване збільшення, тому, щоб розрахувати очікувану вартість навчання, нам потрібно буде додати цю зміну до навчання попереднього року:
\(\$ 1200+\$ 84=\$ 1284\).
Телевізор спочатку за ціною 799 доларів продається за знижку 30%. Тоді існує податок з продажу 9.2%. Дізнатися ціну після включення знижки та податку з продажу.
- Відповідь
-
Ціна продажу є\(\$799(0.70) = \$559.30\). Після оподаткування ціна є\(\$559.30(1.092) = \$610.76\).
Вартість автомобіля знизилася з 7400 до 6800 доларів за останній рік. Що таке зниження відсотків?
Рішення
Щоб обчислити процентну зміну, нам спочатку потрібно знайти зміну доларової вартості:\(\$ 6800-\$ 7400=-\$ 600\) Часто ми візьмемо абсолютне значення цієї суми, яке називається абсолютною зміною:\(|-600|=600\).
Оскільки ми обчислюємо зменшення щодо початкового значення, ми обчислюємо цей відсоток з\(\$7400\):
\(\frac{600}{7400}=0.081=8.1 \%\)зниження. Це називається відносною зміною.
З огляду на дві величини,
Абсолютна зміна =\(|\text{ending quantity }-\text{ starting quantity}|\)
Відносна зміна:\(\frac{\text { absolute change }}{\text { starting quantity }}\)
Абсолютна зміна має ті ж одиниці, що і вихідна величина.
Відносна зміна дає відсоток зміни.
Стартова величина називається базою зміни відсотків.
База відсотків дуже важлива. Наприклад, поки Ніксон був президентом, стверджувалося, що марихуана є «шлюзом» наркотиків, стверджуючи, що 80% курців марихуани продовжували вживати більш жорсткі наркотики, такі як кокаїн. Проблема в тому, що це неправда. Справжнє твердження полягає в тому, що 80% твердіших споживачів наркотиків спочатку курили марихуану. Різниця є однією з базових: 80% курців марихуани вживають важкі наркотики, проти 80% споживачів жорстких наркотиків, які курили марихуану. Ці цифри не є рівнозначними. Як з'ясовується, лише один з 2400 користувачів марихуани насправді продовжують вживати більш важкі наркотики [2].
Є близько 75 супермаркетів QFC в США Альбертсон має близько 215 магазинів. Порівняйте розміри двох компаній.
Рішення
Коли ми робимо порівняння, ми повинні спочатку запитати, абсолютне чи відносне порівняння. Абсолютна різниця є\(215 – 75 = 140\). З цього можна сказати, що «Albertsons має 140 магазинів більше, ніж QFC». Однак, якщо ви написали це в статті або папері, це число не означає багато. Відносна різниця може бути більш значущою. Є дві різні відносні зміни, які ми могли б обчислити, залежно від того, який магазин ми використовуємо як основу:
Використовуючи QFC як основу,\(\frac{140}{75}=1.867\).
Це говорить нам, що Альбертсон на 186,7% більший, ніж QFC.
Використовуючи Альбертсонів в якості основи,\(\frac{140}{215}=0.651\).
Це говорить нам, що QFC на 65,1% менше, ніж Альбертсон.
Зверніть увагу, що обидва вони показують відмінності відсотків. Ми також могли б обчислити розмір Альбертсонів щодо QFC:, який говорить нам, що Альбертсон в 2,867 разів перевищує розмір QFC. Так само ми могли б обчислити розмір QFC щодо Альбертсона:, що говорить нам, що QFC становить 34,9% від розміру Альбертсонів.
Припустимо, запас падає в ціні на 60% за тиждень, потім збільшується в ціні наступного тижня на 75%. Значення вище або нижче, ніж з того місця, де воно почалося?
Рішення
Щоб відповісти на це питання, припустимо, вартість почалася з 100 доларів. Через тиждень значення знизилося на 60%:
\(\$ 100-\$ 100(0.60)=\$ 100-\$ 60=\$ 40\).
На наступному тижні зверніть увагу, що база відсотків змінилася на нове значення, 40 доларів. Обчислення збільшення 75%:
\(\$ 40+\$ 40(0.75)=\$ 40+\$ 30=\$ 70\).
Зрештою, акції все ще на 30 доларів нижчі або\(\frac{\$ 30}{\$ 100}=30 \%\) нижчі, оцінені, ніж починалися.
Федеральний борг США на кінець 2001 року становив $5,77 трлн, а до кінця 2002 року зріс до $6,20 трлн. Наприкінці 2005 року вона становила 7,91 трильйона доларів, а до кінця 2006 року зросла до 8,45 трлн доларів [3]. Обчисліть абсолютний і відносний приріст за 2001-2002 і 2005-2006 рр. В якому році спостерігається більший приріст федерального боргу?
- Відповідь
-
2001-2002: Абсолютна зміна: 0,43 трильйона доларів. Відносна зміна: 7.45%
2005-2006: Абсолютна зміна: 0,54 трильйона доларів. Відносна зміна: 6.83%
У 2005-2006 роках спостерігався більший абсолютний приріст, але менший відносний приріст.
Стаття Seattle Times про показники закінчення середньої школи повідомила: «Кількість шкіл, які закінчують 60 відсотків або менше учнів за чотири роки - іноді називають «фабриками, що відсівають» - зменшилася на 17 протягом цього періоду часу. Кількість дітей, які відвідують школи з такими низькими показниками випуску, скоротилася вдвічі».
а) Чи є число «зменшення на 17» корисним порівнянням?
б) Розглядаючи останнє речення, чи можна зробити висновок, що число «фабрик, що відсівають» спочатку становило 34?
Рішення
а) Це число важко оцінити, оскільки у нас немає підстав судити, чи це більша чи мала зміна. Якщо кількість «фабрик, що відсівають», зменшилася з 20 до 3, це було б дуже значною зміною, але якщо кількість зменшилася з 217 до 200, це буде менше покращення.
б) Останнє речення передбачає відносну зміну, яка допомагає поставити перше речення в перспективі. Ми можемо оцінити, що кількість «фабрик, що відсівають», ймовірно, раніше була близько 34. Однак цілком можливо, що учні просто перемістили школи, а не вдосконалення школи, так що оцінка може бути не повністю точною.
Під час віце-президентських дебатів 2004 року Едвардс стверджував, що американські війська зазнали «90% втрат коаліції» в Іраку. Чейні заперечив це, заявивши, що фактично сили безпеки Іраку і союзники по коаліції «забрали майже 50 відсотків» жертв. Хто правий?
Рішення
Без додаткової інформації нам важко судити, хто правильний, але ми можемо легко зробити висновок, що ці два відсотки говорять про різні речі, тому одне не обов'язково суперечить іншому. Претензія Едварда становила відсоток, коли сили коаліції були базою відсотків, тоді як претензія Чейні становила відсоток як коаліції, так і іракських сил безпеки в якості основи відсотка. Виявляється, обидві статистичні дані насправді досить точні.
На президентських виборах 2012 року один кандидат стверджував, що «план президента скоротить $716 млрд від Medicare, що призведе до меншої кількості послуг для людей похилого віку», тоді як інший кандидат заперечує, що «наш план не скорочує поточні витрати і фактично розширює пільги для людей похилого віку, одночасно реалізуючи економію витрат заходи». Чи є ці претензії конфліктними, погодженими чи не порівнянними, оскільки вони говорять про різні речі?
- Відповідь
-
Без додаткової інформації важко судити про ці аргументи. Це ускладнюється складністю Medicare. Як з'ясовується, 716 мільярдів доларів - це не скорочення поточних витрат, а скорочення майбутніх збільшень витрат, значною мірою зменшуючи майбутнє зростання виплат за охорону здоров'я. При цьому хоча б числові претензії в обох твердженнях можна було б вважати хоча б частково вірними. Ось одне джерело додаткової інформації, якщо ви зацікавлені: http://factcheck.org/2012/08/a-campaign-full-of-mediscare/
Ми завершимо наш огляд відсотків з парою застережень. По-перше, говорячи про зміну величин, які вже вимірюються у відсотках, ми повинні бути обережними у тому, як ми описуємо зміну.
Підтримка політика зростає з 40% виборців до 50% виборців. Опишіть зміни.
Рішення
Ми могли б описати це за допомогою абсолютної зміни:\(|50 \%-40 \%|=10 \%\). Зверніть увагу, що оскільки початкові величини були відсотками, ця зміна також має одиниці відсотків. В даному випадку найкраще описати це як збільшення на 10 процентних пунктів.
На відміну від цього, ми могли б обчислити процентну зміну:\(\frac{10 \%}{40 \%}=0.25=25 \%\) збільшення. Це відносна зміна, і ми б сказали, що підтримка політика зросла на 25%.
Нарешті, застереження проти усереднення відсотків.
Баскетболіст забиває 40% спроб 2-очкових голів на полі та 30% спроб 3-очкових. Знайдіть загальний відсоток голів гравця.
Рішення
Дуже спокусливо усереднити ці значення, і стверджувати, що загальний середній показник становить 35%, але це, швидше за все, не правильно, оскільки більшість гравців роблять набагато більше спроб 2-очкових, ніж спроби 3 очка. Ми насправді не маємо достатньо інформації, щоб відповісти на питання. Припустимо, гравець зробив спробу 200 2-очкових голів поля і 100 3-очкових голів поля. Потім зробили 200 (0,40) = 80 2-очкових і\(100(0.30) = 30\) 3-очкових пострілів. Загалом, вони зробили 110 пострілів із 300, для\(\frac{110}{300}=0.367=36.7 \%\) загального відсотка голів поля.
[1] www.factcheck.org/cheney_edwards_mangle_facts.html
[2] http://tvtropes.org/pmwiki/pmwiki.php/Main/LiesDamnedLiesAndStatistics
[3] www.whitehouse.gov/сайти/деф... s/hist07z1.xls