9.6: Подальші зауваження

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65712

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У главі 5 ми визначили косинус і синус через ряди степенів. У розділі 9.2 ми інтерпретували їх геометрично і використовували тригонометричні тотожності. Показано, що ряди степенів та тригонометрична інтерпретація дійсно описують одну і ту ж функцію, є частиною курсу комплексного аналізу.

Є два основні інгредієнти для першого курсу в комплексному аналізі. Перший полягає в тому, щоб показати, що якщо функція\(f\) має похідну скрізь на якомусь відкритому диску, в тому сенсі, що\[\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f\left(z_{0}\right)-f(z)}{z_{0}-z}\] існує, то функція автоматично аналітична, тобто виражається збіжним степеневим рядом. Це не стосується реальних функцій, і пояснює значну частину особливого характеру складних диференційованих функцій.

Друга частина курсу стосується оцінки контурних інтегралів складних диференційовних функцій. Це корисно не тільки самостійно, але і в додатках до реального аналізу, таких як інвертування перетворення Лапласа або оцінка певних інтегралів.

Хорошим вступом до Комплексного аналізу є книга Дональда Сарассона\([7]\).