Search

9.6: Подальші зауваження
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/09%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/9.06%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%88%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
Показано, що ряди степенів та тригонометрична інтерпретація дійсно описують одну і ту ж функцію, є частиною курсу комплексного аналізу. Перший полягає в тому, щоб показати, що якщо функція $f$ має по...Показано, що ряди степенів та тригонометрична інтерпретація дійсно описують одну і ту ж функцію, є частиною курсу комплексного аналізу. Перший полягає в тому, щоб показати, що якщо функція $f$ має похідну скрізь на якомусь відкритому диску, в тому сенсі, що $\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f\left(z_{0}\right)-f(z)}{z_{0}-z}$ існує, то функція автоматично аналітична, тобто виражається збіжним степеневим рядом.
7.5: Подільність і многочлени
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/07%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C/7.05%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8
Таким чином, $f=h g+s=h g+\bar{q} g+r=(h+\bar{q}) g+r .$ якщо ми дозволимо $q=h+\bar{q}$ тоді $f=q g+r .$ Так, за принципом індукції $f \in \mathbb{R}[x]$ , для будь-якого, є $q$ і $r$ такі, що\[...Таким чином, $f=h g+s=h g+\bar{q} g+r=(h+\bar{q}) g+r .$ якщо ми дозволимо $q=h+\bar{q}$ тоді $f=q g+r .$ Так, за принципом індукції $f \in \mathbb{R}[x]$ , для будь-якого, є $q$ і $r$ такі, що $f=q \cdot g+r .$ Оскільки $g$ був довільний многочлен ступеня більше 0, результат тримає для всіх $f$ і $g$ .
2.1: Визначення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B8/2.01%3A_%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
$R$ є рефлексивним, якщо для кожного $x \in X$ , $x R x .$ $R$ симетричний симетричний, якщо для будь-якого $x, y \in X$ , $x R y \text { implies } y R x \text {. }$ $R$ Антисиметричний антисимет... $R$ є рефлексивним, якщо для кожного $x \in X$ , $x R x .$ $R$ симетричний симетричний, якщо для будь-якого $x, y \in X$ , $x R y \text { implies } y R x \text {. }$ $R$ Антисиметричний антисиметричний, якщо для будь-якого $x, y \in X$ , $[(x, y) \in R \text { and }(y, x) \in R] \text { implies } x=y \text {. }$ Транзитивний $R$ є перехідним, якщо для будь-якого $x, y, z \in X$ , $[x R y \text { and } y R z] \text { implies }[x R z] \text {. }$ Які з цих чотирьох властивостей застосовую…
4: Принцип індукції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/04%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
Мініатюра: Математична індукція може бути неофіційно проілюстрована посиланням на послідовний ефект падіння доміно. Зображення, що використовується з дозволу (CC BY-SA 3.0); Покіпси (76).
2.4: Побудова бієкцій
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D0%B8/2.04%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%B1%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B1%D1%96%D1%94%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9
Тобто, якщо $x \in X$ і $f(x)=y$ , $[x]=f^{-1}(y) .$ так $X / f=\left\{f^{-1}(y) \mid y \in \operatorname{Ran}(f)\right\} .$ елементи $X / f$ називаються набори рівнів $f$ . Після побудови, виклад...Тобто, якщо $x \in X$ і $f(x)=y$ , $[x]=f^{-1}(y) .$ так $X / f=\left\{f^{-1}(y) \mid y \in \operatorname{Ran}(f)\right\} .$ елементи $X / f$ називаються набори рівнів $f$ . Після побудови, викладеної вище, функція $\Pi_{f}: X \rightarrow$ $X / f$ - це функція $\Pi_{f}(x)=[x]_{f}=\{x+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .$ Функція, $\widehat{f}: X / f \rightarrow \mathbb{R}$ задана $\widehat{f}\left([x]_{f}\right)=f(x)$ , є біекцією.
9.4: Фундаментальна теорема алгебри
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/09%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/9.04%3A_%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8
Потім\[\begin{aligned} \left|r_{1} \operatorname{Cis}\left(\theta_{1}\right)+r_{2} \operatorname{Cis}\left(\theta_{2}\right)\right| \\ &=\left[\left(r_{1} \cos \theta_{1}+r_{2} \cos \theta_{2}\right)^...Потім\[\begin{aligned} \left|r_{1} \operatorname{Cis}\left(\theta_{1}\right)+r_{2} \operatorname{Cis}\left(\theta_{2}\right)\right| \\ &=\left[\left(r_{1} \cos \theta_{1}+r_{2} \cos \theta_{2}\right)^{2}+\left(r_{1} \sin \theta_{1}+r_{2} \operatorname{si}\right.\right.\\ &=\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2}\left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}\right)\right] \\ &=\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2 r_{1} r_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right]^{1 / 2} \\…
9: Комплексні числа
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/09%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
Мініатюра: Ілюстрація комплексного числа, що показує багатозначну природу аргументів. (CC BY-SA 3.0 Unported; Wolfkeeper через Вікіпедію)
3.6: Вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/03%3A_%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/3.06%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
Доведіть, що твердження $(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x \in \operatorname{Dom}(f))[0<|x-a|<\delta] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]$ і не\[(\exists \delta>0)(\forall \varepsilon...Доведіть, що твердження $(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x \in \operatorname{Dom}(f))[0<|x-a|<\delta] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]$ і не $(\exists \delta>0)(\forall \varepsilon>0)(\forall x \in \operatorname{Dom}(f))[0<|x-a|<\delta] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]$ рівнозначні. Доведіть, що існують ірраціональні числа $x$ і $y$ так, $x^{y}$ що раціонально. (Підказка: розглянемо $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ і $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$ .)
9.7: Вправи
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/09%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/9.07%3A_%D0%92%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8
Показати, $\omega$ що якщо будь-який $n^{\text {th }}$ корінь єдності, крім 1, то $1+\omega+\omega^{2}+\cdots+\omega^{n-1}=0 .$ ВПРАВА 9.3. ВПРАВА 9.7. $g: G \rightarrow \mathbb{C}$ Дозволяти бути...Показати, $\omega$ що якщо будь-який $n^{\text {th }}$ корінь єдності, крім 1, то $1+\omega+\omega^{2}+\cdots+\omega^{n-1}=0 .$ ВПРАВА 9.3. ВПРАВА 9.7. $g: G \rightarrow \mathbb{C}$ Дозволяти бути безперервної функції на $G \subseteq \mathbb{C}$ . І навпаки, показати, що безперервність $\Re(g)$ і $\Im(g)$ припускають безперервність $g$ . Показати, що кожна неперервна дійсна функція на замкнутій обмеженій підмножині $\mathbb{C}$ досягає своєї крайності.
Перехід до вищої математики (Dumas і McCarthy)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)
Ця книга написана для студентів, які взяли обчислення і хочуть дізнатися, що таке «справжня математика». Ми сподіваємося, що матеріал буде цікавим і цікавим, і що вам буде запропоновано вивчити більш ...Ця книга написана для студентів, які взяли обчислення і хочуть дізнатися, що таке «справжня математика». Ми сподіваємося, що матеріал буде цікавим і цікавим, і що вам буде запропоновано вивчити більш просунуту математику. Це друге видання нашого тексту. Він призначений для студентів, які пройшли курс обчислення, і зацікавлені в тому, щоб дізнатися, що таке вища математика. Його можна використовувати як підручник для курсу «Вступ до доказів», або для самостійного вивчення.
8.10: Замовлення-повнота
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%85%D1%96%D0%B4_%D0%B4%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%BE%D1%97_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8_(Dumas_%D1%96_McCarthy)/08%3A_%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0/8.10%3A_%D0%97%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F-%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B0
Він називається order-compplete якщо, коли $A$ і $B$ є непорожніми $X$ підмножинами з властивістю, яка $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq b,$ існує $c$ в $X$ такому, що\[(\forall a...Він називається order-compplete якщо, коли $A$ і $B$ є непорожніми $X$ підмножинами з властивістю, яка $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq b,$ існує $c$ в $X$ такому, що $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq c \leq b .$ Зверніть увагу, що будь-який order-compplete set повинен мати найменшу верхню межу властивість - якщо $A$ будь-який непорожній обмежений набір, нехай $B$ буде набір усіх верхніх меж для $A$ , а потім $c$ з (8.20) - (унікальна) найменша верхня ме…