9.7: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65720

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

ВПРАВА 9.1. Які первісні четверті корені єдності?

ВПРАВА 9.2. Показати,\(\omega\) що якщо будь-який\(n^{\text {th }}\) корінь єдності, крім 1, то\(1+\omega+\omega^{2}+\cdots+\omega^{n-1}=0 .\) ВПРАВА 9.3. Скільки примітивних кубових коренів єдності? Скільки примітивних шостих коренів? Скільки примітивних\(n^{\text {th }}\) коренів у генерала\(n\)?

ВПРАВА 9.4. Повторіть приклад\(9.8\), щоб отримати всі три корені з формули Тарталья - Кардано.

ВПРАВА 9.5. Нехай\(p(x)=x^{3}+3 x+\sqrt{2}\). Показати без використання формули Кардано-Тарталья, яка\(p\) має рівно один справжній корінь. Знайдіть його. Які бувають складні коріння?

ВПРАВА 9.6. Заповніть доказ Пропозиції 9.34.

ВПРАВА 9.7. \(g: G \rightarrow \mathbb{C}\)Дозволяти бути безперервної функції на\(G \subseteq \mathbb{C}\). Покажіть, що\(\Re(g), \Im(g)\) і\(|g|\) є безперервними. І навпаки, показати, що безперервність\(\Re(g)\) і\(\Im(g)\) припускають безперервність\(g\).

ВПРАВА 9.8. Показати, що кожна неперервна дійсна функція на замкнутій обмеженій підмножині\(\mathbb{C}\) досягає своєї крайності.