9.5: Застосування до дійсних поліномів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65711

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Якщо\(p\) це поліном в\(\mathbb{R}[x]\), то з фундаментальної теореми алгебри випливає, що він має коріння, але вони можуть бути складними. Якщо він має складні коріння, вони повинні зустрічатися складними сполученими парами.

ТЕОРЕМА 9.46. Нехай\(p \in \mathbb{R}[x]\). Нехай\(\alpha\) буде корінь\(p\). Тоді так і є\(\bar{\alpha}\).

ДОКАЗ. Нехай\(p(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k} x^{k}\). Тоді\[p(\alpha)=\sum_{k=0}^{N} a_{k} \alpha^{k}=0,\] так\[p(\bar{\alpha})=\sum_{k=0}^{N} a_{k} \bar{\alpha}^{k}=\overline{p(\alpha)}=0 .\] нехай\(\alpha=a+i b\). Тоді\[\begin{aligned} (x-\alpha)(x-\bar{\alpha}) &=(x-(a+i b))(x-(a-i b)) \\ &=x^{2}-2 a x+a^{2}+b^{2} \\ &=(x-a)^{2}+b^{2} . \end{aligned}\] Таким чином, застосовуючи фундаментальну теорему алгебри до дійсного многочлена\(p\), ми спочатку виділяємо реальні корені, і для кожної пари складних сполучених коренів ми отримуємо коефіцієнт, як у (9.47). Таким чином ми отримуємо:

ТЕОРЕМА 9.48. \(p \in \mathbb{R}[x]\)Дозволяти поліном ступеня\(N\). Потім\(p\) можуть бути враховані у добуток лінійних факторів\(\left(x-c_{k}\right)\) і квадратичних факторів\(\left(\left(x-a_{k}\right)^{2}+b_{k}^{2}\right)\):\[p(x)=c\left(\prod_{k=1}^{N_{1}}\left(x-c_{k}\right)\right)\left(\prod_{j=1}^{N_{2}}\left(\left(x-a_{j}\right)^{2}+b_{j}^{2}\right)\right)\] для деяких (не обов'язково відмінних) дійсних чисел\(c, c_{j}, a_{j}, b_{j}\). У нас\(N_{1}+2 N_{2}=N\), і факторинг унікальний, аж до замовлення і заміни будь-якого\(b_{j} b y-b_{j}\).