9.3: Тарталія-Кардано переглянуто

Розглянемо ще раз приклад 9.9. Ми хотіли знайти куб коріння\[\zeta_{\pm}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} .\] Якщо ми беремо\(+\) знак, ми отримаємо\[\zeta_{+}=\operatorname{Cis}(2 \pi / 3),\] і якщо ми беремо - знак, ми отримуємо\[\zeta_{-}=\operatorname{Cis}(4 \pi / 3) .\] Так\(\zeta_{+}\) має 3 коріння, а саме\[\left\{\operatorname{Cis}\left(\frac{2 \pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3}\right): k=0,1,2\right\} \text {, }\] і\(\zeta_{-}\) має 3 коріння, а саме\[\left\{\operatorname{Cis}\left(\frac{4 \pi}{9}+\frac{2 k \pi}{3}\right): k=0,1,2\right\} \text {, }\] знаючи\(w\), ми хочемо знайти\(x\), який для Прикладу\(9.9\) наводиться\(w+1 / w\). Для будь-якого числа\(w\), яке можна записати як\(\operatorname{Cis}(\theta)\) (тобто будь-яке комплексне число модуля 1), ми маємо\[\begin{aligned} w+\frac{1}{w} &=\cos \theta+i \sin \theta+\cos (-\theta)+i \sin (-\theta) \\ &=2 \cos \theta . \end{aligned}\] Тому коріння многочлена, заданого в (9.10),\[\left\{2 \cos \frac{2 \pi}{9}, 2 \cos \frac{8 \pi}{9}, 2 \cos \frac{14 \pi}{9}, 2 \cos \frac{4 \pi}{9}, 2 \cos \frac{10 \pi}{9}, 2 \cos \frac{16 \pi}{9}\right\} .\] є ці 6 різних коренів? Теорема\(4.10\) говорить, що\(p\) може мати не більше 3 різних коренів. Як\(\cos (\theta)=\cos (2 \pi-\theta)\), ми бачимо, наш набір (9.27) може бути записаний як\[\left\{2 \cos \frac{2 \pi}{9}, 2 \cos \frac{4 \pi}{9}, 2 \cos \frac{8 \pi}{9}\right\} .\] Виявляється, що формула Тарталья-Кардано (9.7) дійсно дає всі три корені кубічного, і до того ж неважливо, чи вибирає один\(-\) знак\(+\) або, як довго оскільки один обчислює всі 3 кубових кореня (9.6) для деякого вибору знака. Ми будемо використовувати\(\mathbb{C}[z]\) для позначення множини поліномів в\(z\) з коефіцієнтами від\(\mathbb{C}\).

ТЕОРЕМА 9.29. Розглянемо многочлен\[p(z)=z^{3}+a z+b\] в\(\mathbb{C}[z]\), і припустимо\(a \neq 0\). Дозволяти\(c=-a / 3\), і\[\zeta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}}{2} .\] нехай нехай\(\zeta\)\(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) буде три різних куба коріння\(\zeta\). Для кожного\(w_{i}\) визначте\(z_{i} b y\)\[z_{i}=w_{i}+\frac{c}{w_{i}} .\] Потім\[p(z)=\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)\left(z-z_{3}\right) .\] ЗАУВАЖЕННЯ. Це буде випливати з доказу того, що не має значення, який квадратний корінь\(b^{2}-4 c^{3}\) одного вибирає в (9.31).

Доказ. Якщо\(p\) задається (9.32), то\[p(z)=z^{3}-\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) z^{2}+\left(z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}\right) z-\left(z_{1} z_{2} z_{3}\right) .\] Ми повинні показати, що коефіцієнти в (9.33) відповідають тим, що в (9.30). За пропозицією 9.26 можна припустити,\[w_{1}=\omega w_{3}, \quad w_{2}=\omega^{2} w_{3}\] де\(\omega=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\) знаходиться примітивний кубовий корінь єдності. У наступних розрахунках використовуємо факти, які\(\omega^{2}=1 / \omega\) і\(1+\omega+\omega^{2}=0\). (Чому це правда?) Зауважте\(w_{3} \neq 0\), що, як це змусить\(c=0\).

Коефіцієнт\(z^{2}\) in (9.33) є\[\begin{aligned} -\left(z_{1}+z_{2}+z_{3}\right) &=-w_{3}\left(\omega+\omega^{2}+1\right)-\frac{1}{w_{3}}\left(\omega^{2}+\omega+1\right) \\ &=0 . \end{aligned}\] Коефіцієнт\(z\) є\[\begin{aligned} z_{1} z_{2}+z_{2} z_{3}+z_{3} z_{1}=&\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right) \\ &+\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right)\left(w_{3}+c \frac{1}{w_{3}}\right) \\ &+\left(w_{3}+c \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right) \\ =& w_{3}^{2}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)+3 c\left(\omega+\omega^{2}\right)+\frac{c^{2}}{w_{3}^{2}}\left(1+\omega+\omega^{2}\right) \\ =&-3 c \\ =& a . \end{aligned}\] Постійний член в (9.33)\[\begin{aligned} -z_{1} z_{2} z_{3} &=-\left(\omega w_{3}+c \omega^{2} \frac{1}{w_{3}}\right)\left(\omega^{2} w_{3}+c \omega \frac{1}{w_{3}}\right)\left(w_{3}+\frac{1}{w_{3}}\right) \\ &=-w_{3}^{3}-c w_{3}\left(1+\omega^{2}+\omega\right)-\frac{c^{2}}{\frac{1}{w_{3}}}\left(\omega+1+\omega^{2}\right)-\\ &=-\zeta-\frac{c^{3}}{\zeta} \\ &=-\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}}{2}-\frac{2 c^{3}}{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}} \\ &=\frac{-b^{2}+2 b \sqrt{b^{2}-4 c^{3}}-\left(b^{2}-4 c^{3}\right)-4 c^{3}}{2\left(-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}\right)} \\ &=\frac{b\left(-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}\right)}{-b+\sqrt{b^{2}-4 c^{3}}} \\ &=b . \end{aligned}\] Тому всі коефіцієнти (9.30) і (9.32) збігаються, тому вони є одним і тим же поліномом.

Тому формула Тартаглія-Кардана дає всі три корені зменшеному кубічному поліному\(p\) зі складними коефіцієнтами (можуть виникнути повторні корені). Якщо коефіцієнти\(a\) і\(b\) дійсні, ми знаємо з теореми проміжних значень, що принаймні один з трьох коренів\(p\) буде реальним (див. Вправа 8.31). Як показує приклад 9.9, однак, може знадобитися взяти кубічний корінь комплексу,\(\zeta\) щоб отримати реальні корені реального кубічного. Це усвідомлення призвело до прийняття складних чисел як корисних об'єктів, а не химерної фантазії.