1.8: Вправи

ВПРАВА 1.1. Покажіть, що

\(\{n \in \mathbb{N} \mid n\)є непарним і\(n=k(k+1)\) для деяких\(k \in \mathbb{N}\}\)

порожній.

ВПРАВА 1.2. Дозволяти\(X\) і\(Y\) бути підмножинами деякої множини\(U\). Доведіть закони де Моргана:\[\begin{aligned} &(X \cup Y)^{c}=X^{c} \cap Y^{c} \\ &(X \cap Y)^{c}=X^{c} \cup Y^{c} \end{aligned}\] Вправа 1.3. Нехай\(X, Y\) і\(Z\) будуть набори. Доведіть\[\begin{aligned} &X \cap(Y \cup Z)=(X \cap Y) \cup(X \cap Z) \\ &X \cup(Y \cap Z)=(X \cup Y) \cap(X \cup Z) . \end{aligned}\] ВПРАВА 1.4. Нехай\(X=\ulcorner 2\urcorner, Y=\ulcorner 3\urcorner\), і\(Z=\ulcorner 1\urcorner\). Які бувають наступні набори:

(i)\(X \times Y\).

(ii)\(X \times Y \times Z\).

(iii)\(X \times Y \times Z \times \emptyset\).

(iv)\(X \times X\).

(v)\(X^{n}\).

ВПРАВА 1.5. Припустимо,\(X\) це набір з\(m\) елементами, і\(Y\) являє собою набір з\(n\) елементами. Скільки елементів\(X \times Y\) має? Відповідь однакова, якщо один або обидва набори порожні?

ВПРАВА 1.6. Скільки елементів\(\emptyset \times \mathbb{N}\) має?

ВПРАВА 1.7. Опишіть всі можливі інтервали в\(\mathbb{Z}\).

ВПРАВА 1.8. \(X\)\(Y\)Дозволяти і бути кінцевими непорожніми множинами, з\(m\) і\(n\) елементами відповідно. Скільки функцій є від\(X\) до\(Y\)? Скільки уколів? Скільки припущень? Скільки упереджень?

ВПРАВА 1.9. Що відбувається у Вправі,\(1.8\) якщо\(m\) або\(n\) дорівнює нулю?

ВПРАВА 1.10. Для кожного з наступних множин, які з операцій додавання, віднімання, множення, ділення і підведення до степеня є операціями над множиною:

(i)\(\mathbb{N}\)

(ii)\(\mathbb{Z}\)

(iii)\(\mathbb{Q}\)

(iv)\(\mathbb{R}\)

(v)\(\mathbb{R}^{+}\).

ВПРАВА 1.11. Нехай\(f\) і\(g\) будуть реальні функції,\(f(x)=3 x+8\),\(g(x)=x^{2}-5 x\). Що таке\(f \circ g\) і\(g \circ f\)? Є\((f \circ g) \circ f=f \circ(g \circ f)\)?

ВПРАВА 1.12. Запишіть всі перестановки\(\{a, b, c\}\).

ВПРАВА 1.13. Що таке природне узагальнення вправи\(1.2\) на довільну кількість множин? Перевірте свої узагальнені закони. Вправа 1.14. Що таке природне узагальнення вправи\(1.3\) на довільну кількість множин? Перевірте свої узагальнені закони.

ВПРАВА 1.15. \(X\)Дозволяти бути безліч всіх трикутників в площині,\(Y\) безліч всіх прямокутних трикутників, і\(Z\) безліч всіх нерівнобедрені трикутники. Для будь-якого трикутника\(T\), нехай\(f(T)\) буде найдовшою стороною\(T\), і\(g(T)\) бути максимум довжин сторін\(T\). На якому з множин\(X, Y, Z\) знаходиться\(f\) функція? На якій знаходиться\(g\) функція?

Що є доповненням\(Z\) в\(X\)? Що таке\(Y \cap Z^{c}\)?

ВПРАВА 1.16. Для кожного позитиву реальний\(t\), нехай\(X_{t}=(-t, t)\) і\(Y_{t}=\)\([-t, t]\). Опишіть

(i)\(\bigcup_{t>0} X_{t}\) і\(\bigcup_{t>0} Y_{t}\).

(ii)\(\bigcup_{0<t<10} X_{t}\) і\(\bigcup_{0<t<10} Y_{t}\).

(iii)\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} X_{t}\) і\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} Y_{t}\).

(iv)\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} X_{t}\) і\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} Y_{t}\).

\((\mathrm{v}) \bigcap_{t>10}^{t \geq 10} X_{t}\)і\(\bigcap_{t>10}^{t \geq 10} Y_{t}\)

(vi)\(\bigcap_{t>0}^{t>10} X_{t}\) і\(\bigcap_{t>0}^{t>10} Y_{t}\).

ВПРАВА 1.17. \(f\)Дозволяти бути реальна функція косинус, і нехай\(g\) бути реальна функція\(g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

(i) Що таке\(f \circ g, g \circ f, f \circ f, g \circ g\) і\(g \circ g \circ f\)?

(ii) Які області та діапазони\(f, g, f \circ g\) реальних функцій\(g \circ f\)?

ВПРАВА 1.18. \(X\)Дозволяти множина вершин квадрата в площині. Скільки перестановок\(X\) є? Скільки з них походить від обертань? Скільки виходить від роздумів у рядках? Скільки виходить з композиції обертання і відображення?

ВПРАВА 1.19. Які з наступних реальних функцій є ін'єкційними, а які - сюрктивними:

(i)\(f_{1}(x)=x^{3}-x+2\).

(ii)\(f_{2}(x)=x^{3}+x+2\). (iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

(iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

ВПРАВА 1.20. Припустимо\(f: X \rightarrow Y\), і\(g: Y \rightarrow Z\). Доведіть,\(g \circ f\) що якщо ін'єкційний,\(f\) то ін'єкційний.

Наведіть приклад, щоб показати, що не\(g\) потрібно бути ін'єкційним.

ВПРАВА 1.21. Припустимо\(f: X \rightarrow Y\), і\(g: Y \rightarrow Z\).

(i) Показати, що якщо\(f\) і\(g\) є суб'єктивними, так і є\(g \circ f\).

(ii) Показати, що якщо\(g \circ f\) є суб'єктивним, то одна з двох функцій\(f, g\) повинна бути суб'єктивною (яка?). Наведіть приклад, щоб показати, що інша функція не повинна бути суб'єктивною.

ВПРАВА 1.22. Для чого\(n \in \mathbb{N}\) призначена функція\(f(x)=x^{n}\) ін'єкції.

ВПРАВА 1.23. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Дозволяти поліном ступеня\(n \in \mathbb{N}\). Для яких значень\(n\) має\(f\) бути surjection, а для яких значень це не surjection?

ВПРАВА 1.24. Записуйте біекцію\((X \times Y)\) час\(Z\) від\(X \times(Y\) часу\(Z)\). Доведіть, що це один до одного і на.

Вправа 1.25. \(X\)Дозволяти бути набір з\(n\) елементами. Скільки перестановок\(X\) є?

ВПРАВА 1.26. \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Дозволяти функція побудована з використанням тільки натуральних чисел і додавання, множення і зведення в степені (наприклад,\(f\) може бути визначена як\(\left.x \mapsto(x+3)^{x^{2}}\right)\). Що ви можете сказати про\(f[\mathbb{N}] ?\) що ви можете сказати, якщо ми включимо віднімання або ділення?

ВПРАВА 1.27. Нехай\(f(x)=x^{3}-x .\) Знайти\(X\) множини і\(Y\) такі, що\(f: X \rightarrow Y\) є біекцією. Чи існує максимальний вибір\(X ?\) Якщо є, чи є він унікальним? Чи є максимальний вибір\(y\)? Якщо є, чи унікальна вона?

ВПРАВА 1.28. Нехай\(f(x)=\tan (x)\). Використовуйте set notation для визначення домену та діапазону\(f\). Що таке\(f^{-1}(1)\)? Що таке\(f^{-1}\left[\mathbb{R}^{+}\right] ?\) ВПРАВА 1.29. Для кожної з наступних реальних функцій знайдіть інтервал,\(X\) який містить більше однієї точки і такий, що функція є біекцією від\(X\) до\(f[X]\). Знайдіть формулу для оберненої функції.

(i)\(f_{1}(x)=x^{2}+5 x+6\).

(ii)\(f_{2}(x)=x^{3}-x+2\).

(iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

(iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

ВПРАВА 1.30. Знайдіть формули для наступних послідовностей:

(i)\(\langle 1,2,9,28,65,126, \ldots\rangle\).

(ii)\(\langle 1,-1,1,-1,1,-1, \ldots\rangle\).

(iii)\(\langle 2,1,10,27,66,125,218, \ldots\rangle\).

(iv)\(\langle 1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots\rangle\).

ВПРАВА 1.31. Нехай реальна функція\(f\) буде строго збільшуватися. Показати, що для будь-якого\(b \in \mathbb{R}, f^{-1}(b)\) є або порожнім, або складається з одного елемента, і\(f\) це, отже, ін'єкція. Якщо\(f\) це також біекція, чи є зворотна функція\(f\) також строго збільшується?

ВПРАВА 1.32. \(f\)Дозволяти бути реальною функцією, яка є біекцією. Показати, що графік\(f^{-1}\) є відображенням графіка\(f\) в рядку\(y=x\).

ВПРАВА 1.33. Нехай\(X_{n}=\{n+1, n+2, \ldots, 2 n\}\) для кожного\(n \in \mathbb{N}^{+}\), як у прикладі 1.43. Які бувають

(i)\(\cup_{n=1}^{5} X_{n}\).

(ii)\(\cap_{n=4}^{6} X_{n}\).

(iii)\(\cap_{k=1}^{5}\left[\cup_{n=1}^{k} X_{n}\right]\).

(iv)\(\cap_{k=5}^{\infty}\left[\cup_{n=3}^{k} X_{n}\right]\).

ВПРАВА 1.34. Перевірте твердження Приклад 1.44.

ВПРАВА 1.35. Нехай\(f: X \rightarrow Y\), і припустимо, що\(U_{\alpha} \subseteq X\) для кожного\(\alpha \in A\), і\(V_{\beta} \subseteq Y\) для кожного\(\beta \in B\). Доведіть:\[\begin{aligned} & \text { (i) } f\left(\bigcup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha \in A} f\left(U_{\alpha}\right) \\ & \text { (ii) } f\left(\bigcap_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right) \subseteq \bigcap_{\alpha \in A} f\left(U_{\alpha}\right) \\ & \text { (iii) } f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in B} V_{\beta}\right)=\bigcup_{\beta \in B} f^{-1}\left(V_{\beta}\right) \\ & \text { (iv) } f^{-1}\left(\bigcap_{\beta \in B} V_{\beta}\right)=\bigcap_{\beta \in B} f^{-1}\left(V_{\beta}\right) \text {. } \end{aligned}\] Зверніть увагу, що (ii) має стримування замість рівності. Наведіть приклад належного стримування в частині (ii). Знайдіть умову\(f\), яка б забезпечила рівність у (ii).