Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.9: Підказки для початку виконання деяких вправ

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65735

    • Bob Dumas and John E. McCarthy
    • University of Washington and Washington University in St. Louis
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа 1.2. Ви можете зробити це за допомогою діаграми Венна. Однак, як тільки буде більше трьох сетів (див. Вправа 1.13), такий підхід буде складним. Алгебраїчне доказ узагальнить легше, тому спробуйте знайти його тут. Сперечатися за два включення\[\begin{aligned} (X \cup Y)^{c} & \subseteq X^{c} \cap Y^{c} \\ X^{c} \cap Y^{c} & \subseteq(X \cup Y)^{c} \end{aligned}\] окремо. У першому, наприклад, припустимо, що\(x \in(X \cup Y)^{c}\) і показати, що воно повинно бути в обох\(X^{c}\) і\(Y^{c}\).

    Вправа 1.13. Частиною проблеми тут є позначення - що робити, якщо у вас більше наборів, ніж букв? Почніть з кінцевої кількості наборів, що містяться в\(U\), і називайте їх\(X_{1}, \ldots, X_{n}\). Як ви думаєте, що доповнення їх союзу? Доведіть це, як ви робили, коли\(n=2\) у вправі 1.2. (Побачити перевагу наявності доказів у Вправі\(1.2\), які не використовували діаграми Венна? Однією з причин, чому математики люблять мати кілька доказів однієї теореми, полягає в тому, що кожен доказ, ймовірно, узагальнить по-іншому). Чи можете ви змусити той самий аргумент працювати, якщо ваші набори індексуються деяким нескінченним набором індексів?

    Тепер виконайте те ж саме з доповненням перехрестя.

    Вправа 1.14. Знову є нотаційна проблема, але поки\(Y\) і\(Z\) грають ту ж роль у вправі 1.3,\(X\) грає іншу роль. Так перепишіть рівняння, як\[\begin{aligned} &X \cap\left(Y_{1} \cup Y_{2}\right)=\left(X \cap Y_{1}\right) \cup\left(X \cap Y_{2}\right) \\ &X \cup\left(Y_{1} \cap Y_{2}\right)=\left(X \cup Y_{1}\right) \cap\left(X \cup Y_{2}\right), \end{aligned}\] і подивитися, якщо ви можете узагальнити їх.

    Вправа 1.35. (i) Знову ж таки, це зводиться до доказу двох захисних оболонок. Якщо\(y\) знаходиться в лівій частині, то має бути деякі\(x_{0}\) в якомусь\(U_{\alpha_{0}}\) такому, що\(f(x)=y\). Але потім\(y\) знаходиться в\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\), так\(y\) знаходиться в правій частині.

    І навпаки, якщо\(y\) знаходиться в правій частині, то він повинен бути в\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\) для деяких\(\alpha_{0} \in A\). Але потім\(y\) знаходиться в\(f\left(\cup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)\), і так знаходиться в лівій стороні.