Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.7: Парадокс Рассела

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65725

    • Bob Dumas and John E. McCarthy
    • University of Washington and Washington University in St. Louis
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У міру вивчення ідей теорії множин були спроби якомога ширше визначити множини. Було сподіватися, що будь-яка колекція математичних об'єктів, яка може бути визначена за формулою, буде кваліфікуватися як набір. Ця віра була відома як Загальний принцип розуміння (GCP). На жаль, GCP породила висновки, які були неприйнятні для математики. Розглянемо колекцію, визначену за такою простою формулою:\[V=\{x \mid x \text { is a set and } x=x\} .\] Якщо\(V\) розглядається як безліч, то з тих пір\(V=V\),\[V \in V \text {. }\] якщо це не невідповідність, то це як мінімум тривожно. На жаль, стає гірше. Розглянемо збірку\[X=\{x \mid x \notin x\} .\] Тоді\[X \in X \text { if and only if } X \notin X \text {. }\] Цей останній приклад називається парадокс Рассела, і показав, що GCP помилковий. Зрозуміло, що повинен бути певний контроль над тим, які визначення породжують множини. Аксіоматична теорія множин була розроблена для забезпечення правил суворого визначення множин. Наведемо коротку дискусію в додатку Б.