1.4: Ін'єкції, відмови, відхилення
- Page ID
- 65716
Найбільш основними серед характеристик, які функція може мати, є властивості ін'єкційності, сприйнятливості та двооб'єктивності.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Функція\(f\) називається ін'єкцією, якщо, всякий раз\(x\) і\(y\) є окремими елементами\(X\), ми маємо\(f(x) \neq f(y)\). Ін'єкції також називають функціями один-на-один.
Інший спосіб заявити визначення (контрапозитив) полягає в тому, що якщо\(f(x)=f(y)\) тоді\(x=y\).
Реальна функція\(f(x)=x^{3}\) - ін'єкція. Щоб побачити це, нехай\(x\) і\(y\) бути дійсними числами, і припустимо, що\[f(x)=x^{3}=y^{3}=f(y) .\] Тоді\[x=\left(x^{3}\right)^{1 / 3}=\left(y^{3}\right)^{1 / 3}=y .\] Так, для\(x, y \in X\),\[f(x)=f(y) \text { only if } x=y .\]
Реальна функція не\(f(x)=x^{2}\) є ін'єкцією, тому що\[f(2)=4=f(-2) .\] зауважте, що достатньо одного прикладу, щоб показати, що\(f\) не ін'єкція.
Припустимо\(f: X \rightarrow Y\), і\(g: Y \rightarrow Z\). Доведіть, що якщо\(f\) і\(g\) є ін'єкційними, так і є\(g \circ f\).
ДОКАЗ. Припустимо, що\(g \circ f(x)=g \circ f(y)\). Оскільки\(g\) є ін'єкційним, це означає, що\(f(x)=f(y)\). Оскільки\(f\) є ін'єкційним, це, в свою чергу, означає, що\(x=y\). Тому\(g \circ f\) є ін'єкційним, за бажанням. (Див. вправу\(1.20\) нижче).
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Ми говоримо\(f\), що це відмова від\(X\) до\(Y\) якщо\(\operatorname{Ran}(f)=Y\). Ми також описуємо це, кажучи,\(f\) що на\(Y\).
Функція,\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)\(f(x)=x^{2}\) визначена не є surjection. Наприклад,\(-1\) знаходиться в кодомені\(f\), але\(-1 \notin \operatorname{Ran}(f)\). Тому,\(\operatorname{Ran}(f) \subsetneq \mathbb{R}\).
Нехай\(Y=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\), і\(f: \mathbb{R} \rightarrow Y\) буде дано\(f(x)=x^{2}\). Потім\(f\) відбувається відсмоктування. Щоб довести це, нам потрібно це показати\(Y=\operatorname{Ran}(f)\). Ми це знаємо\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), тому ми повинні показати\(Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). Нехай\(y \in Y\), так\(y\) це невід'ємне дійсне число. Потім\(\sqrt{y} \in \mathbb{R}\), і\(f(\sqrt{y})=y\). Отже\(y \in \operatorname{Ran}(f)\). Так як\(y\) був довільним елементом\(Y, Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). Звідси\(Y=\operatorname{Ran}(f)\) і\(f\) є відривом.
Чи є функція surjection, залежить від вибору кодомену. Функція завжди знаходиться на своєму діапазоні. Ви можете задатися питанням, чому б не просто визначити кодомен як діапазон функції (гарантуючи, що функція є surjection). Однією з причин є те, що ми можемо бути більше зацікавлені у зв'язку двох множин за допомогою функцій, ніж ми знаходимося в будь-якій конкретній функції між множинами. Вивчається важливе застосування функцій до пов'язаних множин в главі 6, де ми використовуємо функції для порівняння розмірів множин. Це викликає особливий інтерес при порівнянні нескінченних множин, і призвело до глибокого розуміння основ математики.
Якщо ми об'єднаємо ідеї ін'єкції та відсмоктування, ми прийдемо до ключової ідеї біекції.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Якщо\(f\) ін'єкція і відсмоктування, то\(f\) це біекція. Це написано як\(f: X \mapsto Y\).
Чому біекції так важливі? З теоретичної точки зору функції можуть використовуватися для зв'язку області та кодомена функції. Якщо ви знайомі з одним набором, ви можете розвинути уявлення про інший набір, знайшовши функцію між множинами, яка зберігає деякі ключові характеристики множин. Наприклад, ін'єкція може «інтерпретувати» один набір в інший набір. Якщо ін'єкція зберігає критичну інформацію з домену, ми можемо вести себе так, ніби область функції є практично підмножиною кодомена, використовуючи функцію для «перейменування» елементів домену. Якщо функція є біекцією, і вона зберігає ключові структурні особливості домену, ми можемо розглядати домен і кодомен як практично однакову множину. Які ключові структурні особливості залежить від області математики, яку ви вивчаєте. Наприклад, якщо ви вивчаєте алгебраїчні структури, ви, мабуть, найбільше зацікавлені в збереженні операцій структури. Якщо ви вивчаєте геометрію, вас цікавлять функції, що зберігають форму. Збереження ключових структурних особливостей домену або кодомена часто дозволяє перевести знання однієї множини в еквівалентні знання іншої множини.
Нехай\(X\) буде набір. Перестановка\(X\) - це біекція\(f: X \mapsto X\).
\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\)Дозволяти визначатися\[f(x)=x+1 .\] Тоді\(f\) є перестановкою\(\mathbb{Z}\).
Нехай\(X=\{0,1,-1\}\). Тоді\(f: X \rightarrow X\) задано\(f(x)=-x\) це перестановка\(X\).