1.3: Функції
- Page ID
- 65707
Як і множини, функції всюдисущі в математиці.
Нехай\(X\) і\(Y\) будуть набори. Функція\(f\) від\(X\) до\(Y\), позначається\(f: X \rightarrow Y\), є присвоєнням рівно одного елемента\(Y\) кожному елементу\(X\).
Для кожного елемента\(x \in X\) функція\(f\) асоціює або вибирає унікальний елемент\(y \in Y\). Умова унікальності не дозволяє\(x\) привласнювати окремим елементам\(Y\). Це дозволяє різні елементи, які\(X\) повинні бути призначені одному елементу\(Y\) однак. Важливо для вашого розуміння функцій, що ви уважно розглядаєте цей момент. Наведені нижче приклади можуть допомогти проілюструвати це.
\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}\)Дозволяти\[f(x)=x^{2} .\] be\(f\) ged by Then - функція, в якій елемент\(\mathbb{R}\) присвоюється елементу\(x\)\(\mathbb{Z}\) of задається виразом\(x^{2}\). Наприклад,\(f\) призначає 9 цілого числа 3. Ми виражаємо це написанням\[f(3)=9 \text {. }\] Спостерігайте, що не кожне дійсне число присвоюється числу від\(\mathbb{Z}\). Крім того, зауважте, що 4 призначається як 2, так і\(-2\). Переконайтеся, що\(f\) задовольняє визначенню функції.
Дозвольте\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначитися з\(g(x)=\tan (x)\). Тоді\(g\) це не функція, тому що вона не визначена, коли\(x=\pi / 2\) (або щоразу, коли\(x-\pi / 2\) є цілим кратним\(\pi\)). Це можна виправити, визначивши\[X=\mathbb{R} \backslash\{\pi / 2+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .\] Then\(\tan : X \rightarrow \mathbb{R}\) є функцією from\(X\) to\(\mathbb{R}\). Приклад 1.11. Розглянемо два правила\(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), визначені\[\begin{array}{ll} f(x)=y & \text { if } 3 x=2-y \\ g(x)=y & \text { if } x=y^{4} . \end{array}\] Then\(f\) є функцією, і можуть бути вказані явно як\(f(x)=2-3 x\). Але\(g\) не визначає функцію, т\(e . g\). к. коли\(x=16\), то\(g(x)\) може бути або 2 або\(-2\).
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Якщо\(a \in X\), то елемент,\(Y\) який\(f\) присвоює,\(a\) позначається\(f(a)\), і називається зображенням\(a\) під\(f\).
Позначення\(f: X \rightarrow Y\) - це твердження, яке\(f\) є функцією від\(X\) до\(Y\). Це твердження має, як наслідок, що для кожного\(a \in X\),\(f(a)\) є певним елементом\(Y\). Наведено альтернативну характеристику функцій на основі декартових добутків.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Графік\(f, \operatorname{graph}(f)\), є\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } f(x)=y\} .\] прикладом 1.12. \(X \subseteq \mathbb{R}\)\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\)Дозволяти і визначитися\(f(x)=\)\(-x\). Тоді графік\(f\) є\[\{(x,-x) \mid x \in X\} .\] прикладом 1.13. Пуста функція\(f\) - це функція з порожнім графом (тобто графіком\(f\) є порожня множина). Це означає\(f: \emptyset \rightarrow Y\) для деякого набору\(Y\).
Якщо\(f: X \rightarrow Y\), то,\[\operatorname{graph}(f) \subseteq X \times Y \text {. }\] нехай\(Z \subseteq X \times Y\). Потім\(Z\) - графік функції від\(X\) до\(Y\) if
(i) для будь-якого\(x \in X\), є деякі\(y\) в\(Y\) таких, що\((x, y) \in Z\)
(ii) якщо\((x, y)\) знаходиться\(Z\) і\((x, z)\) знаходиться в\(Z\), то\(y=z\). Припустимо\(Y\),\(X\) і є підмножинами\(\mathbb{R}\). Тоді Condition (i) - умова, що кожна вертикальна лінія через точку\(X\) розрізає графік хоча б один раз. Умова (ii) - умова, що кожна вертикальна лінія через точку\(X\) розрізає графік не більше одного разу.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Набір\(X\) називається доменом\(f\), і пишеться\(\operatorname{Dom}(f)\). \(Y\)Множина називається кодоменом\(f\).
Домен функції є необхідною складовою визначення функції. Кодомен трохи тонший. Якщо ви думаєте про функції як набори впорядкованих пар, тобто якщо ви ідентифікували функцію з її графіком, то кожна функція матиме багато можливих кодоменів (візьміть будь-яку надмножину вихідного кодомену). Теоретики множин думають про функції таким чином, і якщо функції розглядаються як множини, розширення вимагає, щоб функції з однаковим графіком були ідентичними. Однак ця конвенція зробила б обговорення відмовок незграбним (див. Нижче), тому ми не будемо її приймати.
Коли ви\[f: X \rightarrow Y\] пишете, ви явно називаєте призначений codomain, і це робить codomain вирішальною частиною визначення функції. Ви вказуєте читачеві, що ваше визначення включає більше, ніж просто графік функції. Визначення функції включає три частини: домен, кодомен та графік.
\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)Дозволяти\(g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) визначатися\[f(n)=n^{2} .\] Дозволяти визначати\[g(x)=x^{2} .\] потім\(\operatorname{graph}(f)=\operatorname{graph}(g)\). Якщо\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) визначається тим\[h(x)=x^{2}\]\(\operatorname{graph}(f) \subsetneq \operatorname{graph}(h)\), так\(f \neq h\) і\(g \neq h\). Хоча\(\operatorname{graph}(f)=\)\(\operatorname{graph}(g)\), ми вважаємо\(f\) і\(g\) бути різними функціями, оскільки вони мають різні кодомени.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Діапазон\(f, \operatorname{Ran}(f)\),\[\{y \in Y \mid \text { for some } x \in X, f(x)=y\} \text {. }\] так якщо\(f: X \rightarrow Y\), то\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), і є саме набором зображень під\(f\) елементів в\(X\). Тобто\[\operatorname{Ran}(f)=\{f(x) \mid x \in X\} .\] Жодна належна підмножина не\(\operatorname{Ran}(f)\) може служити кодоменом для функції, яка має такий же графік, як\(f\).
З тими ж позначеннями, що і в прикладі 1.14, ми маємо\(\operatorname{Ran}(f)=\operatorname{Ran}(g)=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n=k^{2}\right.\) для деяких\(\left.k \in \mathbb{N}\right\}\). В асортименті\(h\) є\([0, \infty)\).
Нехай\(f: X \rightarrow Y\). Якщо\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq \mathbb{R}\), ми говоримо, що\(f\) реально цінується. Якщо\(X \subseteq \mathbb{R}\) і\(f\) є дійсною функцією, то викликаємо\(f\) реальну функцію.
Іноді кажуть, що функція - це правило, яке присвоює кожному елементу заданого множини якийсь елемент з іншого набору. Якщо, як правило, мається на увазі якусь інструкцію, ви побачите в главі 6, що є «більше» функцій, які не можуть бути охарактеризовані правилами, ніж є функції, які можуть бути. Однак на практиці більшість функцій, які ми використовуємо, визначаються правилами.
Якщо функція задається правилом, її прийнято записувати у вигляді\[\begin{aligned} f: X & \rightarrow Y \\ x & \mapsto f(x) . \end{aligned}\] Символ\(\mapsto\) читається «mapped to». Наприклад, функція\(g\) в попередньому прикладі може бути визначена\[\begin{aligned} g: \mathbb{N} & \rightarrow \mathbb{R} \\ n & \mapsto n^{2} . \end{aligned}\] прикладом 1.16. Функція\[\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \begin{cases}0 & x<0 \\ x+1 & x \geq 0\end{cases} \end{aligned}\] визначається правилом, хоча, щоб застосувати правило до даного,\(x\) ви повинні спочатку перевірити, де в домені\(x\) лежить.
Коли реальна функція визначається правилом, а домен явно не вказаний, вона вважається найбільшою множиною, для якої визначено правило. Це звичайна угода в численні: реальні функції визначаються математичними виразами, і розуміється, що неявна область функції є найбільшою підмножиною,\(\mathbb{R}\) для якої вираз має сенс. Кодомен реальної функції вважається,\(\mathbb{R}\) якщо явно не вказано інше.
\(f(x)=\sqrt{x}\)Дозволяти бути реальною функцією. Домен функції приймається як\[\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} .\] DEFINITION. Операція\(X\) Дозволяти бути набором, і\(n \in \mathbb{N}^{+}\). Операція на\(X\) - це функція від\(X^{n}\) до\(X\).
Операції можуть розглядатися як засіб об'єднання елементів набору для отримання нових елементів набору. Найпоширенішими операціями є бінарні операції (коли\(n=2\)).
\(+\)і\(\cdot\) є бінарними операціями на\(\mathbb{N}\).
\(-\)і не\(\div\) є операціями на\(\mathbb{N}\).
Нехай\(X=\mathbb{R}^{3}\), думав, як набір з 3 -векторів. Функція\(x \mapsto-x\) - це унарна операція on\(X\), функція\((x, y) \mapsto x+y\) - двійкова операція, а функція\((x, y, z) \mapsto x \times y \times z\) - потрійна операція. Якщо\(f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y\), і\(\star\) є двійковою операцією на\(Y\), то є природний спосіб визначити нову функцію\(X\) при використанні\(\star\). Визначте\(f \star g\) за\[\begin{aligned} f \star g: X & \rightarrow Y \\ (f \star g)(x) &=f(x) \star g(x) . \end{aligned}\] прикладом 1.20. Припустимо,\(f\) це реальна функція\(f(x)=x^{3}\), і\(g\) є реальною функцією\(g(x)=3 x^{2}-1\). Тоді\(f+g\) є реальною функцією\(x \mapsto x^{3}+3 x^{2}-1\), і\(f \cdot g\) є реальною функцією\(x \mapsto x^{3}\left(3 x^{2}-1\right)\).
Ще один спосіб побудови нових функцій - за складом.
Нехай\(f: X \rightarrow Y\) і\(g: Y \rightarrow Z\). Тоді склад\(g\) with\(f\) - це функція,\[\begin{aligned} g \circ f: X & \rightarrow Z \\ x & \mapsto g(f(x)) . \end{aligned}\] приклад 1.21. \(f\)Дозволяти бути реальною функцією\[f(x)=x^{2} .\]\(g\) Дозволяти бути реальною функцією\[g(x)=\sqrt{x} .\] Тоді\[(g \circ f)(x)=|x| .\] Що таке\(f \circ g\)? (Будьте уважні до домену).
Нехай\[\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto 2 x+1 \end{aligned}\] і нехай\[\begin{aligned} g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+3 y^{2} . \end{aligned}\] Тоді\[\begin{aligned} f \circ g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto 2 x^{2}+6 y^{2}+1 . \end{aligned}\]\(g \circ f\) Функція не визначена (чому?).