1.2: Набори
- Page ID
- 65697
Інтуїтивно математичний набір - це сукупність математичних об'єктів. На жаль, ця проста характеристика наборів, необережно поводяться, породжує протиріччя. Деякі колекції виявляться не мають властивостей, які ми вимагаємо від математичних наборів. Приклад того, як це може відбуватися, представлений у розділі 1.7. Тут ми не будемо розвивати теорію формальних множин з нуля. Натомість ми припустимо, що певні набори будівельних блоків відомі, і опишемо способи побудови нових наборів з цих будівельних блоків.
Нашими початковими будівельними блоками будуть набори натуральних чисел, цілих чисел, раціональних чисел і дійсних чисел. У розділі 8 ми покажемо, як побудувати все це з натуральних чисел. Однак не можна йти набагато далі цього: для того, щоб займатися математикою, потрібно починати з аксіом, які стверджують, що існує безліч натуральних чисел.
Якщо\(X\) є множиною і\(x\) є об'єктом в\(X\), ми говоримо, що\(x\) це елемент, або член, з\(X\). Це написано\[x \in X .\] Ми пишемо\(x \notin X\) якщо не\(x\) є членом\(X\).
Існує безліч способів визначення множин. Якщо набір має мало елементів, його можна визначити за допомогою лістингу. Наприклад,\[X=\{2,3,5,7\}\] це набір перших чотирьох простих чисел. За відсутності будь-яких інших вказівок, набір, визначений списком, вважається, що в якості елементів має тільки об'єкти в списку. Для наборів із занадто великою кількістю елементів для переліку ми повинні надати читачеві засіб для визначення членства в наборі. Автор може повідомити читачеві, що перераховані не всі елементи множини, але що надано достатньо інформації для того, щоб читач міг виявити закономірність визначення приналежності до множини. Наприклад, нехай\[X=\{2,4,6,8, \ldots, 96,98\} .\] Then\(X\) - це множина позитивних парних чисел менше 100. Однак використання крапки для визначення набору не завжди може спрацювати: він передбачає, що читач визначить шаблон, який ви хочете охарактеризувати. Хоча це зазвичай працює, це несе ризик того, що читач не в змозі правильно визначити шаблон, призначений автором.
Деякі набори настільки важливі, що мають стандартні імена та позначення, які вам потрібно буде знати.
Позначення. Натуральні числа,\(\mathbb{N}\) Натуральні числа є елементами\[\{0,1,2,3, \ldots\} .\] множини Ця множина позначається\(\mathbb{N}\).
Остерігайтеся: Багато авторів називають\(\{1,2,3, \ldots\}\) набір натуральних чисел. Це питання визначення, і немає універсальної конвенції; логіки, як правило, віддають перевагу нашій конвенції, а алгебраїсти іншого. У цій книзі ми будемо використовувати\(\mathbb{N}^{+}\) для позначення\(\{1,2,3, \ldots\}\).
ПОЗНАЧЕННЯ. \(\mathbb{N}^{+} \mathbb{N}^{+}\)множина натуральних чисел,\[\{1,2,3, \ldots\} \text {. }\] ПОЗНАЧЕННЯ. Цілі числа,\(\mathbb{Z} \mathbb{Z}\) це множина цілих чисел,\[\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\} \text {. }\] ПОЗНАЧЕННЯ. Раціональні числа,\(\mathbb{Q} \mathbb{Q}\) являє собою набір раціональних чисел,\[\left\{\frac{p}{q} \text { where } p, q \in \mathbb{Z} \text { and } q \neq 0\right\} \text {. }\] ПОЗНАЧЕННЯ. Реальні числа,\(\mathbb{R} \mathbb{R}\) це набір дійсних чисел. Гарне розуміння дійсних чисел вимагає трохи математичного розвитку. Насправді, тільки в дев'ятнадцятому столітті ми дійсно прийшли до сучасного розуміння\(\mathbb{R}\). Ми будемо мати багато, щоб сказати про реальні числа в розділі 8.
Число\(x\) позитивне, якщо\(x>0\). Число\(x\) є невід'ємним if\(x \geq 0\).
ПОЗНАЧЕННЯ. \(X^{+}\)Якщо набір\(X\) дійсних чисел, ми використовуємо\(X^{+}\) для позитивних чисел у множині\(X\).
Представлені нами позначення для цих наборів широко використовуються. Введено остаточну умовність щодо імен множин, яка не настільки широко визнана, але корисна для теорії множин.
ПОЗНАЧЕННЯ. \(\ulcorner n\urcorner\)множина всіх натуральних чисел менше, ніж\(n\):\[\ulcorner n\urcorner=\{0,1,2, \ldots, n-1\} .\] Однією з цілей цього позначення є канонічне асоціювання будь-якого натурального числа\(n\) з множиною, що має саме\(n\) елементи.
Читач повинен зауважити, що ми не визначили вищевказані набори. Ми припускаємо, що ви знайомі з ними, і деякими їх властивостями, в силу вашого попереднього досвіду в математиці. Зрештою, ми будемо систематично визначати набори в розділі\(8 .\)
Більш точним методом визначення множини є використання однозначних умов, що характеризують приналежність до множини.
Позначення. \(\{x \in X \mid P(x)\}\)\(X\)Дозволяти бути (раніше визначений) набір, і нехай\(P(x)\) бути умова або властивість. Тоді набір\[Y=\{x \in X \mid P(x)\}\] - це набір елементів, в\(X\) яких задовольняють умові\(P\). Множина\(X\) називається доменом змінної.
У словах, (1.1) читається: "\(Y\)дорівнює множині всіх (мало)\(x\) в (великих)\(X\) таких,\(P\) що вірно з\(x\)». Символ "\(\mid\)" in (1.1) часто пишеться замість двокрапки, а саме\(\{x \in X: P(x)\}\). У математиці часто\(P(x)\) є математичною формулою. Наприклад, припустимо,\(P(x)\) що формула "\(x^{2}=4\)». Під\(P(2)\) ми маємо на увазі формулу з 2 замінені для\(x\), тобто\[" 2^{2}=4 "\] Якщо підміна призводить до істинного твердження, ми говоримо, що\(P(x)\) тримає на 2, або\(P(2)\) є істинним. Якщо твердження, яке є результатом підміни, є помилковим, наприклад\(P(1)\), ми говоримо, що\(P(x)\) не тримається на 1, або\(P(1)\) це помилково.
Розглянемо\[X=\{0,1,4,9, \ldots\} .\] множину. Точне визначення одного і того ж множини виглядає наступним чином:\[X=\left\{x \in \mathbb{N} \mid \text { for some } y \in \mathbb{N}, x=y^{2}\right\} .\] ПРИКЛАД 1.3. \(Y\)Дозволяти множина позитивних парних чисел менше 100. Потім\(Y\) може бути написано:\[\left\{x \in \mathbb{N} \mid x<100 \text { and there is } n \in \mathbb{N}^{+} \text {such that } x=2 \cdot n\right\}\] ПРИКЛАД 1.4. Інтервал\(I\) - це непорожня підмножина\(\mathbb{R}\) з властивістю, що коли\(a, b \in I\) і\(a<c<b\), то\(c\) знаходиться в\(I\). Обмежений інтервал повинен мати одну з чотирьох форм,\[\begin{aligned} (a, b) &=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x<b\} \\ {[a, b) } &=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x<b\} \\ (a, b] &=\{x \in \mathbb{R} \mid a<x \leq b\} \\ {[a, b] } &=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\} \end{aligned}\] де в перших трьох випадках\(a\) і\(b\) є дійсними числами з,\(a<b\) а в четвертому випадку ми просто вимагаємо\(a \leq b\). Необмежені інтервали мають п'ять форм:\[\begin{aligned} (-\infty, b) &=\{x \in \mathbb{R} \mid x<b\} \\ (-\infty, b] &=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\} \\ (b, \infty) &=\{x \in \mathbb{R} \mid x>b\} \\ {[b, \infty) } &=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq b\} \\ \mathbb{R} & \end{aligned}\] де\(b\) деяке дійсне число. Інтервал називається закритим, якщо він містить всі його кінцеві точки (як\(a\) і\(b\) в першій групі прикладів, тільки\(b\) в перших чотирьох прикладах другої групи), і відкритим, якщо він не містить жодної з них. Зверніть увагу, що це робить\(\mathbb{R}\) єдиний інтервал, який є як закритим, так і відкритим.
Заради стислості автор не може явно ідентифікувати область змінної. Будьте обережні з цим, так як автор спирається на читача, щоб зробити необхідні припущення. Наприклад, розглянемо множину\[X=\left\{x \mid\left(x^{2}-2\right)(x-1)\left(x^{2}+1\right)=0\right\} .\] Якщо домен змінної вважається\(\mathbb{N}\), то\[X=\{1\} .\] якщо домен змінної вважається\(\mathbb{R}\), то\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}\} .\] якщо домен змінної вважається комплексні числа, то,\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}, i,-i\}\] де\(i\) - комплексне число\(\sqrt{-1}\). Пам'ятайте, тягар чіткого спілкування лягає на автора, а не читача.
Іншою альтернативою є включення домену змінної в умову, що визначає членство в множині. Отже, якщо\(X\) це передбачувана область множини і\(P(x)\) є умовою для членства в наборі,\[\{x \in X \mid P(x)\}=\{x \mid x \in X \text { and } P(x)\} .\] Поки визначення зрозуміло, автор має деяку гнучкість щодо позначення.
1.2.1. Встановити ідентичність.
Коли дві множини рівні? Ви можете бути схильні сказати, що два набори рівні за умови, що вони є однаковою колекцією об'єктів. Звичайно, це правда, але рівність як відношення між об'єктами не дуже цікаво. Однак ви, мабуть, витратили багато часу на дослідження рівнянь (які є лише твердженнями рівності), і ми сумніваємось, що рівність здавалася тривіальною. Це пояснюється тим, що в цілому рівність слід розуміти як зв'язок між описами або назвами об'єктів, а не між самими об'єктами. Заява\[a=b\] являє собою твердження про те, що представлений об'єкт\(a\) є тим же об'єктом, що представлений\(b\). Наприклад, твердження\[5-3=2\] - це твердження про те, що число, представлене арифметичним виразом\(5-3\), таке ж число, яке представлено числівником 2.
У випадку множин це поняття рівності називається розширеністю.
Нехай\(X\) і\(Y\) будуть набори. Тоді\(X=Y\) за умови, що кожен елемент також\(X\) є елементом\(Y\) і кожен елемент також\(Y\) є елементом\(X\).
Існує гнучкість у тому, як характеризується набір, доки нам зрозуміло, які об'єкти складають набір. Наприклад, розглянемо множинне рівняння\[\{\text { Mark Twain, Samuel Clemens }\}=\{\text { Mark Twain }\} .\] Якщо під «Марк Твен» і «Семюель Клеменс», ми маємо на увазі померлого американського автора, ці набори рівні, за розширенням, і твердження є істинним. Набір з лівого боку рівняння має лише один елемент, оскільки обидва імена відносяться до однієї особи. Якщо ж розглядати «Марка Твена» і «Семюеля Клеменса» як імена, твердження помилкове, оскільки «Семюель Клеменс» є членом множини на лівій стороні рівняння, але не права сторона. Ви можете бачити, що визначення набору можуть залежати від неявного домену змінної, навіть якщо набори визначені лістингом.
Розглянемо наступні шість сетів:\[\begin{aligned} &X_{1}=\{1,2\} \\ &X_{2}=\{2,1\} \\ &X_{3}=\{1,2,1\} \\ &X_{4}=\{n \in \mathbb{N} \mid 0<n<3\} \\ &X_{5}=\left\{n \in \mathbb{N} \mid \text { there exist } x, y, z \in \mathbb{N}^{+} \text {such that } x^{n}+y^{n}=z^{n}\right\} \\ &X_{6}=\{0,1,2\} . \end{aligned}\] Перші п'ять сетів всі рівні, а шостий - різні. Однак поки очевидно, що\(X_{1}=X_{2}=X_{3}=X_{4}\), той факт, що\(X_{5}=X_{1}\) це знаменита теорема Ендрю Уайлза (його доказ останньої теореми Ферма).
1.2.2. Пов'язані набори.
Для того, щоб сказати щось цікаве про набори, нам потрібні способи їх співвіднесення, і нам потрібні способи створення нових наборів з існуючих наборів.
Нехай\(X\) і\(Y\) будуть набори. \(X\)є підмножиною,\(Y\) якщо кожен елемент також\(X\) є елементом\(Y\). Це пишеться\[X \subseteq Y .\] Superset,\(\supseteq\) If\(X \subseteq Y\), то\(Y\) називається надмножиною\(X\), написано Для\[Y \supseteq X .\] того, щоб показати два множини рівні (або що два опису множин відносяться до одного і того ж set), ви повинні показати, що вони мають точно такі ж елементи. Часто простіше, якщо аргумент розбитий на два простіші аргументи, в яких ви показуєте взаємне стримування множин. Іншими словами, сказати те\(X=Y\) саме, що говорити\[X \subseteq Y \text { and } Y \subseteq X,\] та перевіряти дві окремі претензії в (1.6) часто простіше (або принаймні зрозуміліше), ніж показувати, що\(X=Y\) все відразу.
Давайте додамо ще кілька елементарних понять до нашого обговорення множин.
Нехай\(X\) і\(Y\) будуть набори. \(X\)є належним підмножиною,\(Y\) якщо\[X \subseteq Y \text { and } X \neq Y \text {. }\] ми пишемо це як\[X \subsetneq Y\] або\[Y \supsetneq X .\] ВИЗНАЧЕННЯ. Порожній набір,\(\emptyset\) Порожній набір - це набір без елементів. Позначається вона за допомогою\(\emptyset\).
Так що для будь-якого набору,\(X\),\[\emptyset \subseteq X \text {. }\] (Подумайте, чому це правда). Просто тому\(\emptyset\), що порожній, не означає, що це неважливо. Дійсно, багато математичних питань зводяться до того, чи є певний набір порожнім чи ні. Крім того, як ви побачите в розділі 8, ми можемо побудувати весь реальний рядок з порожнього набору за допомогою операцій набору.
Покажіть,\[\{n \in \mathbb{N} \mid n \text { is odd and } n=k(k+1) \text { for some } k \in \mathbb{N}\}\] що порожньо.
Давайте обговоримо деякі способи визначення нових наборів з існуючих множин. ВИЗНАЧЕННЯ. Союз,\(\cup\) Нехай\(X\) і\(Y\) бути набори. Об'єднання\(X\) і\(Y\), написане\(X \cup Y\), є множиною\[X \cup Y=\{x \mid x \in X \text { or } x \in Y\} .\] (Згадаймо нашу дискусію в розділі 1.1 про математичне значення слова «або».)
Нехай\(X\) і\(Y\) будуть набори. Перетин\(X\) і\(Y\), написане\(X \cap Y\), є множиною\[X \cap Y=\{x \mid x \in X \text { and } x \in Y\} .\] DEFINITION. Встановити різницю,\(\backslash\) Дозволяти\(X\) і\(Y\) бути набори. Встановлена різниця\(X\) і\(Y\), написана\(X \backslash Y\), є множиною\[X \backslash Y=\{x \in X \mid x \notin Y\} .\] DeFinition. Роз'єднані Дозволяти\(X\) і\(Y\) бути набори. \(X\)і\(Y\) нез'єднані, якщо\[X \cap Y=\emptyset .\] Часто один має справу з множинами, які є підмножинами деякої фіксованої заданої множини\(U\). Наприклад, при роботі з множинами натуральних чисел\(U\) множина буде\(\mathbb{N}\).
Нехай\(X \subseteq U\). Доповненням\(X\) в\(U\) є набір\(U \backslash X\). Коли\(U\) розуміється з контексту,\(X\) пишеться доповнення\(X^{c}\).
Як щодо операцій набору, що включають більше двох наборів? На відміну від арифметики, в якій існує порядок операцій за замовчуванням (степеней, добутків, сум), не існує універсальної умовності порядку, в якому виконуються множинні операції. Якщо перетину і об'єднання фігурують в одному виразі, то порядок, в якому виконуються операції, може мати значення. Наприклад, припустимо,\(X\) і\(Y\) є несполучними, непорожніми множинами, і розглянемо вираз\[X \cap X \cup Y \text {. }\] Якщо ми маємо на увазі для перетину буде виконано перед об'єднанням, то\[(X \cap X) \cup Y=X \cup Y .\] якщо, однак, ми маємо намір об'єднання обчислити перед перетин, то\[X \cap(X \cup Y)=X .\]\(Y\) Since непорожній і нероз'єднаний від\(X\),\[(X \cap X) \cup Y \neq X \cap(X \cup Y) .\] Отже, порядок, в якому виконуються операції набору, потрібно явно прописати дужками.
Нехай\(X=\mathbb{N}\) і\(Y=\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\). Тоді\[(X \cap X) \cup Y=\mathbb{N} \cup Y=\mathbb{Z} .\] Однак\[X \cap(X \cup Y)=\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N} .\] ВИЗНАЧЕННЯ. Декартовий продукт, Прямий продукт,\(X \times Y\) Нехай\(X\) і\(Y\) бути набори. Декартове добуток\(X\) і\(Y\), написане\(X \times Y\), являє собою сукупність\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } y \in Y\} .\] впорядкованих пар Декартовий твір також називають прямим твором.
Нехай\[X=\{1,2,3\}\] і\[Y=\{1,2\} .\] тоді\[X \times Y=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\} .\] Зверніть увагу, що порядок має значення - тобто\[(1,2) \neq(2,1) .\] Так\(X \times Y\) це набір з шістьма елементами. Оскільки прямі продукти самі по собі є наборами, ми можемо легко визначити прямий добуток більш ніж двох факторів. Наприклад, нехай\(X, Y\) і\(Z\) бути множин, то\[(X \times Y) \times Z=\{((x, y), z) \mid x \in X, y \in Y, z \in Z\} .\] Формально,\[(X \times Y) \times Z \neq X \times(Y \times Z),\] тому що\(((x, y), z)\) і\((x,(y, z))\) не однакові. Однак майже в кожному додатку ця відмінність не важлива, і математики, як правило, розглядають прямий добуток більш ніж двох наборів без урахування цієї деталі. Тому ви, як правило, побачите декартовий добуток трьох наборів, написаних без дужок.\[X \times Y \times Z \text {. }\] У цьому випадку ви можете інтерпретувати прямий твір як будь-яку сторону твердження 1.8.
З деякою думкою можна зробити висновок, що ми по суті описали декартове добуток довільної скінченної колекції множин. Елементи декартового добутку є\(X \times Y\) впорядкованими парами. Наша характеристика декартового добутку трьох множин,\(X, Y\) і\(Z\), вказує на те, що його елементи можна розглядати як впорядковану пару елементів\(X \times Y\) і\(Z\), відповідно. З практичної точки зору простіше думати про елементи\(X \times Y \times Z\) як впорядкованих трійок. Узагальнюємо це наступним чином.
Декартовий продукт, прямий продукт,\(\prod_{i=1}^{n} X_{i}\) нехай\(n \in\)\(\mathbb{N}^{+}\), і\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) бути набори. Декартова добуток\(X_{1}, \ldots, X_{n}\), написана\(X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}\), є множиною\[\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in X_{i}, 1 \leq i \leq n\right\} .\] Це також може бути написано\[\prod_{i=1}^{n} X_{i} .\] Коли ми беремо декартовий твір множини\(X\) з самим собою\(n\) час, ми пишемо його як \(X^{n}\):\[X^{n}:=\overbrace{X \times X \times \cdots \times X}^{n \text { times }} .\]