0.4: Поради студенту

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65637

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ласкаво просимо до вищої математики! Якщо ваш вплив на університетську математику обмежується обчисленням, ця книга, ймовірно, буде дуже відрізнятися від ваших попередніх текстів. Багато студентів вивчають обчислення, швидко скануючи текст і приступаючи безпосередньо до проблем. Бореться з проблемою, вони шукають подібні проблеми в тексті та намагаються наслідувати знайдене рішення. Нарешті, вони перевіряють рішення, яке зазвичай знаходиться в задній частині тексту, щоб «підтвердити» методологію.

Ця книга, як і багато текстів, що стосуються більш просунутих тем, написана не з обчислювальними проблемами на увазі. Наша мета - познайомити вас з різними елементами вищої математики - культурою, мовою, методами, темами, стандартами та результатами. Проблеми цих курсів полягають у тому, щоб довести правдиві математичні твердження або спростувати неправдиві твердження. У контексті обчислення математик повинен довести результати, якими ви вільно користувалися. Більшості людей ця діяльність здається дуже відрізняється від обчислень. Наприклад, ви, ймовірно, вважаєте за необхідне подумати про проблему протягом деякого часу, перш ніж почати писати. На відміну від числення, в якому загальний напрямок методів зазвичай очевидний, спроба довести математичні претензії може відчувати себе безспрямованим або випадковим. Однак це стратегічно, а не випадково. Це одна з великих проблем математики на вищих рівнях, вона творча, а не роте. З практикою і дисциплінованим мисленням, ви навчитеся бачити свій шлях до доведення математичних претензій.

Почнемо наше лікування вищої математики з великої кількості визначень. Це звичайно в курсі математики, і це необхідно, оскільки математика вимагає точного вираження. Постараємося мотивувати ці визначення так, щоб їх корисність була очевидна якомога раніше. Після подання та обговорення деяких визначень наведемо аргументи для деяких елементарних тверджень, що стосуються цих визначень. Це дасть нам деяку практику в читанні, письмі та обговоренні математики. У перших розділах книги ми включаємо численні дискусії та зауваження, які допоможуть вам зрозуміти основний напрямок аргументів. У наступних розділах книги ви прочитаєте більш складні аргументи для деяких глибоких класичних результатів. Ми рекомендуємо вам прочитати ці аргументи навмисно, щоб забезпечити ваше повне розуміння аргументу та виховати ваше почуття рівня деталізації та строгості, очікуваного в математичному доказі бакалавра.

В кінці кожної глави є вправи, покликані спрямувати вашу увагу на читання і змусити вас продумати деталі доказів. Деякі з цих вправ прості, але багато хто з них дуже важкі. Ми не очікуємо, що кожен студент зможе вирішити кожну проблему. Однак витрачати годину (або більше) на роздуми про складну проблему - це добре витрачений час, навіть якщо ви не вирішите проблему: це зміцнює ваші математичні м'язи, і дозволяє оцінити і глибше зрозуміти рішення, якщо воно в кінцевому підсумку буде показано вам. Зрештою, ви зможете вирішити деякі важкі проблеми самостійно, глибоко подумавши про них. Тоді ви будете справжнім математиком!

Математика - це, з однієї точки зору, логічна вправа. Ми визначаємо об'єкти, які фізично не існують, і використовуємо логіку, щоб зробити найглибші висновки щодо цих об'єктів. Якби на цьому історія закінчилася, математика була б не більше ніж грою, і мала б нестійкий інтерес. Буває, однак, що інтерпретація фізичних об'єктів, процесів, поведінки та інших суб'єктів інтелектуального інтересу, як математичних об'єктів, і застосування висновків і прийомів вивчення цих математичних об'єктів дозволяє зробити достовірні та потужні висновки про практичні проблеми. Цей метод використання математики для розуміння світу називається математичним моделюванням. Світ, в якому ви живете, те, як ви розумієте цей світ, і чим він відрізняється від світу і розуміння ваших далеких предків, значною мірою є результатом математичного дослідження. У цій книзі ми спробуємо пояснити, як з упевненістю робити математичні висновки. Коли ви вивчали обчислення, ви використовували численні глибокі теореми, щоб зробити висновки, які в іншому випадку могли б зайняти місяці, а не хвилини. Тепер ми розробимо розуміння того, як виводяться результати цієї глибини і потужності.