0.5: Поради інструктору

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65630

Bob Dumas and John E. McCarthy
University of Washington and Washington University in St. Louis

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вивчення термінології - що означають «контрапозитивний» і «зворотний» - легко приходить більшості учнів. Ваше завдання в курсі полягає в тому, щоб навчити їх читати визначення уважно, а потім, як маніпулювати ними. Це набагато складніше, коли немає конкретного образу, який студенти можуть мати на увазі. Вектори в\(\mathbb{R}^{n}\), наприклад, більш страхітливі, ніж в\(\mathbb{R}^{3}\), не через будь-якого великого притаманного збільшення складності, а тому, що їх важче мислити геометрично, тому учні повинні довіряти алгебрі поодинці. Ця довіра потребує часу, щоб побудувати.

Глава 1 полягає в основному для встановлення позначень та обговорення необхідних понять, які деякі, можливо, вже бачили (наприклад, ін'єкції та відмови). На жаль, це може бути першим впливом деяких з цих ідей для багатьох студентів, тому лікування досить тривале. Швидкість, з якою матеріал покривається природним шляхом, буде залежати від сили та фону учнів. Витратьте деякий час, пояснивши, чому послідовність можна розглядати як функцію з доменом\(\mathbb{N}\) - варіації цієї ідеї повторяться.

Глава 2 знайомить з відносинами. Це важко зрозуміти, через абстрактний характер визначення. Еквіваленти та лінійні впорядкування повторюються по всій книзі, і комфорт учнів з ними збільшиться.

Ні глава 1, ні глава 2 не зупиняються на доказах. Насправді математичні докази та елементарна логіка першого порядку не вводяться до глави 3. Наша мета полягає в тому, щоб змусити студента думати про математичні структури та визначення без додаткової психічної ваги читання та письма доказів. Ми використовуємо приклади для ілюстрації визначень. Перші розділи забезпечують основні концептуальні основи для наступних розділів, і ми виявляємо, що більшість студентів мають свої руки повноцінними, просто намагаючись прочитати та зрозуміти визначення та приклади. У вправах просимо учнів «показати» правду деяких математичних тверджень. Наш намір полягає в тому, щоб змусити студента задуматися над завданням доведення математичних претензій. Не очікується, що вони напишуть успішні аргументи перед главою 3. Ми заохочуємо студентів спробувати проблеми, хоча вони, ймовірно, будуть невпевнені щодо вимог до математичного доказу. Якщо ви відчуваєте, що математичні докази потрібно обговорити перед початком математичних визначень, ви можете спочатку охопити главу 3.

Глава 3 досить формальна, і вона повинна йти швидко. Глава 4 знайомить студентів з першою основною технікою доказування - індукцією. З практикою можна очікувати, що вони освоять цю техніку. Ми також введемо як поточну тему вивчення многочленів, і доведемо, наприклад, що многочлен не має більше коренів, ніж його ступінь.

Глави 5,6 і 7 повністю незалежні один від одного. Глава 5 розглядає межі та безперервність, аж до доказу того, що рівномірна межа послідовності неперервних функцій є безперервною. Глава 6 присвячена нескінченним множинам, доводячи теореми Кантора та теорему Шредера-Бернштейна. До кінця глави, студенти прийшли до розуміння того, що це, як правило, набагато простіше побудувати два ін'єкції, ніж один біекція!

Глава 7 містить трохи теорії чисел - аж до доказу невеликої теореми Ферма. Потім він показує, скільки структури переходить на алгебру дійсних поліномів.

Глава 8 будує дійсні числа, використовуючи розрізи Дедекінда, і доводить, що вони мають найменшу верхню межу властивість. Потім це використовується для доведення основних теорем реального аналізу - теореми про проміжні значення та теореми про екстремальні значення. Розділи\(8.1\) через\(8.4\) вимагають лише розділів\(1-4\) та розділу 6.1. Розділи\(8.5-8.8\) вимагають розділів\(5.1\) і 5.2. Розділ\(8.9\) вимагає глави 6.

У главі 9 введемо комплексні числа. Розділи\(9.1\)\(9.3\) доводять формулу Тарталья - Кардано для знаходження коренів кубічного, і вказують на те, як необхідно використовувати комплексні числа навіть для знаходження дійсних коренів реальних кубіків. Ці розділи вимагають лише глави 1 - 4. У розділі\(9.4\) доведено фундаментальну теорему алгебри. Для цього потрібна глава 5 та теорема Больцано-Вейєрштрасса з розділу 8.6.

Що таке розумний курс, заснований на цій книзі? Глави 1 - 4 необхідні для будь-якого курсу. Протягом одного квартального курсу можна також охопити главу 6 і або главу 5, або 7. У семестровому курсі можна було охопити глави\(1-6\) та одну з решти трьох глав. Глава 9 може бути охоплена без глави 8, якщо хтось готовий стверджувати властивість найменшої верхньої межі як аксіому дійсних чисел, а потім Розділ\(8.6\) може бути охоплений перед Розділом\(9.4\) без будь-якого іншого матеріалу з глави 8.

Ми пропонуємо вам погодитися зі своїми колегами щодо загальної навчальної програми для цього курсу, щоб теми, які ви ретельно висвітлюєте (наприклад, кардинальність), не повинні повторюватися на послідовних курсах.

Цей перехідний курс стає одним з найважливіших курсів у навчальній програмі з математики та першим важливим курсом для математики. Для талановитих і інтелектуально розбірливих студентів першого або другого курсу стандартні ранні курси в навчальній програмі з математики - числення, диференціальні рівняння, матрична алгебра - забезпечують невеликий стимул для вивчення математики. Дійсно, математики в цих курсах мало, і менше все ще з еволюцією навчальних програм для нижчих студентів до служби наук та техніки. Це особливо тривожно, оскільки це стосується талановитого студента, який ще не визначився з спеціальністю і, можливо, ніколи не розглядав математику. Ми вважаємо, що кращих студентів слід заохочувати пройти цей курс якомога раніше - навіть одночасно з другим семестром або третім кварталом першого року обчислення. Це не тільки для того, щоб допомогти майбутнім математичним спеціальностей, але також може служити цінну роль у їх наборі, дозволяючи розумним студентам побачити, що математика є складною і, більш до речі, цікавою та глибокою. Математика - свій найкращий апологет. Викрийте студентів на початку автентичного математичного мислення та результатів і дайте їм зробити усвідомлений вибір. Це може стати несподіванкою для деяких, але хороші студенти все ще шукають те, чого прагнули математики як студенти - задоволення від освоєння важкої, цікавої та корисної дисципліни.