3.E: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Знайдіть детермінанти наступних матриць.

1. $\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&2\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{cc}0&3\\0&2\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{cc}4&3\\6&2\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{2}$

Нехай$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&4\\0&1&3\\-2&5&1\end{array}\right]$. Знайдіть наступне.

1. $minor(A)_{11}$
2. $minor(A)_{21}$
3. $minor(A)_{32}$
4. $cof(A)_{11}$
5. $cof(A)_{21}$
6. $cof(A)_{32}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайдіть детермінанти наступних матриць.

1. $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&2\\0&9&8\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{ccc}4&3&2\\1&7&8\\3&-9&3\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&2\\1&3&2&3\\4&1&5&0\\1&2&1&2\end{array}\right]$

Відповідь

1. Відповідь є$31$.
2. Відповідь є$375$.
3. Відповідь є$-2$.

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайдіть наступний визначник, розгорнувши вздовж першого рядка і другого стовпця. $$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|=6\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть наступний детермінант, розгорнувши вздовж першого стовпця і третього рядка. $$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&1\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&0&1\\2&1&1\end{array}\right|=2\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть наступний визначник, розгорнувши вздовж другого рядка і першого стовпця. $$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&3\\2&1&1\end{array}\right|=6\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Обчислити детермінант по кофакторному розширенню. Виберіть найпростіший рядок або стовпчик для використання. $$\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\2&1&1&0\\0&0&0&2\\2&1&3&1\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\2&1&1&0\\0&0&0&2\\2&1&3&1\end{array}\right|=-4\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть детермінант наступних матриць.

1. $A=\left[\begin{array}{cc}1&-34\\0&2\end{array}\right]$
2. $A=\left[\begin{array}{ccc}4&3&14\\0&-2&0\\0&0&5\end{array}\right]$
3. $A=\left[\begin{array}{cccc}2&3&15&0\\0&4&1&7\\0&0&-3&5\\0&0&0&1\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{9}$

Робиться операція для переходу від першої матриці до другої. Визначте, що було зроблено, і розповісти, як це вплине на значення детермінанта. $$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Він не змінює детермінант. Це було просто взяття транспонування.

Вправа$\PageIndex{10}$

Робиться операція для переходу від першої матриці до другої. Визначте, що було зроблено, і розповісти, як це вплине на значення детермінанта. $$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}c&d\\a&b\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

У цьому випадку було переключено два ряди, і тому результуючий детермінант -$−1$ раз перший.

Вправа$\PageIndex{11}$

Робиться операція для переходу від першої матриці до другої. Визначте, що було зроблено, і розповісти, як це вплине на значення детермінанта. $$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&b\\a+c&b+d\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Детермінант незмінний. Це був просто перший ряд, доданий до другого.

Вправа$\PageIndex{12}$

Робиться операція для переходу від першої матриці до другої. Визначте, що було зроблено, і розповісти, як це вплине на значення детермінанта. $$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}a&b\\2c&2d\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

Другий ряд множився на$2$ так визначник результату в$2$ рази первісний детермінант.

Вправа$\PageIndex{13}$

Робиться операція для переходу від першої матриці до другої. Визначте, що було зроблено, і розповісти, як це вплине на значення детермінанта. $$\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\to\cdots\to\left[\begin{array}{cc}b&a\\d&c\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

У цьому випадку два стовпці були переключені, так що визначник другого$−1$ разів є визначником першого.

Вправа$\PageIndex{14}$

$A$Дозволяти бути$r\times r$ матрицею і припустимо, що є$r −1$ рядки (стовпці) такі, що всі рядки (стовпці) є лінійними комбінаціями цих$r −1$ рядків (стовпців). Показати$\det(A) = 0$.

Відповідь

Якщо визначник ненульовий, то він залишиться ненульовим з рядковими операціями, застосованими до матриці. Однак, за припущенням, ви можете отримати ряд нулів, виконуючи операції з рядками. Таким чином, детермінант повинен був бути нульовим зрештою.

Вправа$\PageIndex{15}$

Показувати$\det(aA) = a^n \det(A)$ для$n\times n$ матриці$A$ та скалярного$a$.

Відповідь

$\det(aA) = \det(aIA) = \det(aI)\det(A) = a^n \det(A)$. Матриця, яка має нижню основну діагональ, має детермінанту рівну$a^n$.

Вправа$\PageIndex{16}$

Побудувати$2\times 2$ матриці$A$ і$B$ показати, що$\det A\det B = \det(AB)$.

Відповідь

$$\begin{array}{c}\det\left(\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&2\\-5&6\end{array}\right]\right)=-8 \\ \det\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\det\left[\begin{array}{cc}-1&2\\-5&6\end{array}\right]=-2\times 4=-8\end{array}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{17}$

Це правда$\det(A+B) = \det(A)+\det(B)$? Якщо це так, поясніть, чому. Якщо це не так, наведіть зустрічний приклад.

Відповідь

Це зовсім не так. Розглянемо$A=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\: B=\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{18}$

$n\times n$Матриця називається нільпотентною, якщо для деякого позитивного цілого числа,$k$ вона випливає$A^k = 0$. Якщо$A$ це нільпотентна матриця і$k$ є найменшим можливим цілим числом таким$A^k = 0$, що, які можливі значення$\det(A)$?

Відповідь

Це повинно бути$0$ тому, що$0 = \det(0) = \det (A^k) = (\det(A))^k$.

Вправа$\PageIndex{19}$

Матриця, як кажуть, ортогональна, якщо$A^TA = I$. Таким чином, зворотна ортогональна матриця - це лише її транспонування. Які можливі значення$\det(A)$ if$A$ є ортогональною матрицею?

Відповідь

Вам знадобиться$\det (AA^T) = \det(A)\det (A^T) = \det(A)^2 = 1$ і так$\det(A) = 1$, або$-1$.

Вправа$\PageIndex{20}$

$A$$B$Дозволяти і бути дві$n\times n$ матриці. $A ∼ B$($A$схожий на$B$) означає, що існує оборотна матриця$P$ така, що$A = P^{−1}BP$. Покажіть, що якщо$A ∼ B$, то$\det(A) = \det(B)$.

Відповідь

$\det(A) = \det(S^{−1}BS) = \det(S^{−1})\det(B)\det(S) = \det(B)\det(S^{−1}S) = \det(B)$.

Вправа$\PageIndex{21}$

Розкажіть, чи є кожне твердження істинним чи хибним. Якщо це правда, надайте докази. Якщо false, надайте приклад лічильника.

1. Якщо A -$3\times 3$ матриця з нульовим визначником, то один стовпець повинен бути кратний деякому іншому стовпцю.
2. Якщо будь-які два стовпці квадратної матриці рівні, то визначник матриці дорівнює нулю.
3. Для двох$n\times n$ матриць$A$ і$B$,$\det(A+B) = \det(A) +\det(B)$.
4. Для$n\times n$ матриці$A$,$\det(3A) = 3 \det(A)$
5. Якщо$A^{−1}$ існує тоді$\det(A^{−1}) = \det(A)^{−1}$.
6. Якщо$B$ виходить шляхом множення одного рядка$A$ на$4$ потім$\det(B) = 4 \det(A)$.
7. Для$A$$n\times n$ матриці,$\det(−A) = (−1)^n \det(A)$.
8. Якщо$A$ це реальна$n\times n$ матриця, то$\det (A^TA) ≥ 0$.
9. Якщо$A^k = 0$ для деякого натурального числа$k$, то$\det(A) = 0$.
10. Якщо$AX = 0$ для деяких$X\neq 0$, то$\det(A) = 0$.

Відповідь

1. Помилкові. Розглянемо$\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\-1&5&4\\0&3&3\end{array}\right]$
2. Правда.
3. Помилкові.
4. Помилкові.
5. Правда.
6. Помилкові.
7. Правда.
8. Правда.
9. Правда.
10. Правда.

Вправа$\PageIndex{22}$

Знайдіть детермінант за допомогою рядкових операцій, щоб спочатку спростити. $$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&2\\-4&1&2\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&2\\-4&1&2\end{array}\right|=-6\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{23}$

Знайдіть детермінант за допомогою рядкових операцій, щоб спочатку спростити. $$\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\2&4&2\\1&4&-5\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

$$\left|\begin{array}{ccc}2&1&3\\2&4&2\\1&4&-5\end{array}\right|=-32\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{24}$

Знайдіть детермінант за допомогою рядкових операцій, щоб спочатку спростити. $$\left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\3&1&-2&3\\-1&0&3&1\\2&3&2&-2\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

Рядок можна зменшити це, використовуючи лише рядок операції 3 до $$\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\0&-5&-5&-3 \\ 0&0&2&\frac{9}{5} \\ 0&0&0&-\frac{63}{10}\end{array}\right]\nonumber$$ і, отже, визначник є$-63$. $$\left|\begin{array}{cccc}1&2&1&2\\3&1&-2&3\\-1&0&3&1\\2&3&2&-2\end{array}\right|=63\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{25}$

Знайдіть детермінант за допомогою рядкових операцій, щоб спочатку спростити. $$\left|\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\3&2&-2&3\\-1&0&3&3\\2&1&2&-2\end{array}\right|\nonumber$$

Відповідь

Рядок можна зменшити це, використовуючи лише рядок операції 3 до $$\left[\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\0&-10&-5&-3 \\ 0&0&2&\frac{19}{5} \\ 0&0&0&-\frac{211}{20}\end{array}\right]\nonumber$$ Таким чином, детермінант задається $$\left|\begin{array}{cccc}1&4&1&2\\3&2&-2&3\\-1&0&3&3\\2&1&2&-2\end{array}\right|=211\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{26}$

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\nonumber$$ Визначити, чи$A$ має матриця зворотна, знаходячи, чи визначник не нульовий. Якщо визначник ненульовий, знайдіть обернену формулу для оберненої, яка включає матрицю кофактора.

Відповідь

$\det\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\3&1&0\end{array}\right]=-13$і тому він має зворотне. Це зворотне $$\begin{aligned}\frac{1}{-13}\left[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{cc}2&1 \\ 1&0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}0&1\\3&0\end{array}\right| &\left|\begin{array}{cc}0&2\\3&1\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}2&3\\1&0\end{array}\right| &\left|\begin{array}{cc}1&3\\3&0\end{array}\right| &-\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}2&3\\2&1\end{array}\right|&-\left|\begin{array}{cc}1&3\\0&1\end{array}\right|&\left|\begin{array}{cc}1&2\\0&2\end{array}\right|\end{array}\right]^T &=\frac{1}{-13}\left[\begin{array}{ccc}-1&3&-6 \\ 3&-9&5 \\ -4&-1&2\end{array}\right]^T \\ &=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{13}&-\frac{3}{13}&\frac{4}{13} \\ -\frac{3}{13}&\frac{9}{13}&\frac{1}{13} \\ \frac{6}{13}&-\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{array}\right]\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{27}$

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&2&1\\3&1&1\end{array}\right]\nonumber$$ Визначити, чи$A$ має матриця зворотна, знаходячи, чи визначник не нульовий. Якщо визначник ненульовий, знайдіть зворотний, використовуючи формулу для зворотного.

Відповідь

$\det\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&2&1\\3&1&1\end{array}\right]=7$так що він має зворотне. Це зворотне$\frac{1}{7}\left[\begin{array}{ccc}1&3&-6\\-2&1&5\\2&-1&2\end{array}\right]^T=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}&\frac{2}{7} \\ \frac{3}{7}&\frac{1}{7}&-\frac{1}{7} \\ -\frac{6}{7}&\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{28}$

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\2&4&1\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber$$ Визначити, чи$A$ має матриця зворотна, знаходячи, чи визначник не нульовий. Якщо визначник ненульовий, знайдіть зворотний, використовуючи формулу для зворотного.

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\2&4&1\\0&1&1\end{array}\right]=3\nonumber$$ так що він має зворотний, який $$\left[\begin{array}{ccc}1&0&-3 \\ -\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{5}{3} \\ \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{29}$

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\2&6&7\end{array}\right]\nonumber$$ Визначити, чи$A$ має матриця зворотна, знаходячи, чи визначник не нульовий. Якщо визначник ненульовий, знайдіть зворотний, використовуючи формулу для зворотного.

Вправа$\PageIndex{30}$

Дозвольте $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\1&0&1\\3&1&0\end{array}\right]\nonumber$$ Визначити, чи$A$ має матриця зворотна, знаходячи, чи визначник не нульовий. Якщо визначник ненульовий, знайдіть зворотний, використовуючи формулу для зворотного.

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\1&0&1\\3&1&0\end{array}\right]=2\nonumber$$ і тому він має зворотне. Зворотне виходить рівним $$\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}&0 \\ \frac{3}{2}&-\frac{9}{2}&1 \\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{31}$

Для наступних матриць визначте, чи є вони оборотними. Якщо так, скористайтеся формулою для зворотної через матрицю кофактора, щоб знайти кожну обернену. Якщо зворотного не існує, поясніть, чому.

1. $\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}\right]$
2. $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\4&1&1\end{array}\right]$
3. $\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&0\\0&1&2\end{array}\right]$

Відповідь

1. $\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}\right|=1$
2. $\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&1\\4&1&1\end{array}\right|=-15$
3. $\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&0\\0&1&2\end{array}\right|=0$

Вправа$\PageIndex{32}$

Розглянемо матрицю $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos t&-\sin t \\ 0&\sin t&\cos t\end{array}\right]\nonumber$$ Чи існує значення,$t$ для якого ця матриця не має зворотного? Поясніть.

Відповідь

Ні. Він має ненульовий детермінант для всіх$t$

Вправа$\PageIndex{33}$

Розглянемо матрицю $$A=\left[\begin{array}{ccc}1&t&t^2 \\ 0&1&2t \\ t&0&2\end{array}\right]\nonumber$$ Чи існує значення,$t$ для якого ця матриця не має зворотного? Поясніть.

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}1&t&t^2 \\ 0&1&2t \\ t&0&2\end{array}\right]=t^3+2\nonumber$$ і тому він не має зворотного, коли$t=-\sqrt[3]{2}$

Вправа$\PageIndex{34}$

Розглянемо матрицю $$A=\left[\begin{array}{ccc}e^t &\cosh t&\sinh t \\ e^t&\sinh t&\cosh t \\ e^t&\cosh t&\sinh t\end{array}\right]\nonumber$$ Чи існує значення t, для якого ця матриця не має зворотного? Поясніть.

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&\cosh t&\sinh t \\ e^t&\sinh t&\cosh t \\ e^t&\cosh t&\sinh t\end{array}\right]=0\nonumber$$ і тому ця матриця не може мати ненульовий детермінант при будь-якому значенні$t$.

Вправа$\PageIndex{35}$

Розглянемо матрицю $$A=\left[\begin{array}{ccc}e^t &e^{-t}\cos t&e^{-t}\sin t \\ e^t&-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t &-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t \\ e^t&2e^{-t}\sin t&-2e^{-t}\cos t\end{array}\right]\nonumber$$ Чи існує значення t, для якого ця матриця не має зворотного? Поясніть.

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&e^{-t}\cos t&e^{-t}\sin t \\ e^t&-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t&-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t \\ e^t&2e^{-t}\sin t&-2e^{-t}\cos t\end{array}\right]=5e^{-t}\neq 0\nonumber$$ і тому ця матриця завжди обертається.

Вправа $\PageIndex{36}$

Показати, що якщо$\det(A)\neq 0$ для$A$$n\times n$ матриці, то випливає, що якщо$AX = 0$, то$X = 0$.

Відповідь

Якщо$\det(A) \neq 0$, то$A^{−1}$ існує і таким чином ви могли б помножити з обох сторін зліва на$A^{−1}$ і отримати, що$X = 0$.

Вправа$\PageIndex{37}$

$A,B$Припустимо,$n\times n$ матриці і що$AB = I$. Покажіть, що тоді$BA = I$. Підказка: Спочатку поясніть$\det(A)$, чому,$\det(B)$ обидва ненульові. То$(AB)A = A$ і далі показуйте$BA(BA−I) = 0$. З цього використовують те, що дано зробити висновок$A(BA−I) = 0$. Потім використовуйте Вправа$\PageIndex{36}$.

Відповідь

У вас є$1 = \det(A)\det(B)$. Звідси обидва$A$ і$B$ мають зворотні. Дозволяючи$X$ дати, $$A(BA−I)X = (AB)AX −AX = AX −AX = 0\nonumber$$ і так випливає з вищеописаної проблеми, що$(BA−I)X = 0$. Так як$X$ довільно, то випливає, що$BA = I$.

Вправа$\PageIndex{38}$

Використовуйте формулу для оберненої через кофакторну матрицю, щоб знайти зворотну матрицю $$A=\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&0 \\ 0&e^t\cos t&e^t\sin t \\ 0&e^t\cos t-e^t\sin t&e^t\cos t+e^t\sin t\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

$$\det\left[\begin{array}{ccc}e^t&0&0 \\ 0&e^t\cos t&e^t\sin t \\ 0&e^t\cos t-e^t\sin t&e^t\cos t+e^t\sin t\end{array}\right]=e^{3t}.\nonumber$$ Звідси зворотне є $$\begin{array}{l}e^{-3t}\left[\begin{array}{ccc}e^{2t}&0&0 \\ 0&e^{2t}\cos t+e^{2t}\sin t&-(e^{2t}\cos t-e^{2t}\sin )t \\ 0&-e^{2t}\sin t&e^{2t}\cos (t)\end{array}\right]^T \\ =\left[\begin{array}{ccc}e^{-t}&0&0 \\ 0&e^{-t}(\cos t+\sin t)&-(\sin t)e^{-t} \\ 0&-e^{-t}(\cos t-\sin t)&(\cos t)e^{-t}\end{array}\right] \end{array}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{39}$

Знайти зворотну, якщо вона існує, матриці $$A=\left[\begin{array}{ccc}e^t&\cos t&\sin t \\ e^t&-\sin t&\cos t \\ e^t&-\cos t&-\sin t\end{array}\right]\nonumber$$

Відповідь

$$\begin{array}{l} \left[\begin{array}{ccc}e^t&\cos t&\sin t \\ e^t&-\sin t&\cos t \\ e^t&-\cos t&-\sin t\end{array}\right]^{-1} \\ =\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}e^{-t}&0&\frac{1}{2}e^{-t} \\ \frac{1}{2}\cos t+\frac{1}{2}\sin t&-\sin t&\frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t \\ \frac{1}{2}\sin t-\frac{1}{2}\cos t&\cos t&-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\end{array}\right]\end{array}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{40}$

Припустимо$A$, це верхня трикутна матриця. Показати, що$A^{−1}$ існує тоді і лише тоді, коли всі елементи головної діагоналі не нульові. Чи правда, що теж$A^{−1}$ буде верхня трикутна? Поясніть. Чи можна зробити те ж саме для нижчих трикутних матриць?

Відповідь

Дана умова - це те, що потрібно, щоб визначник був ненульовим. Нагадаємо, що визначник верхньої трикутної матриці - це всього лише добуток записів на головній діагоналі.

Вправа$\PageIndex{41}$

Якщо$A,\: B,$ і$C$ є кожною$n\times n$ матрицею і$ABC$ є оборотною, покажіть, чому кожна з них$A,\: B,$ і$C$ є оборотними.

Відповідь

Це випливає, тому що$\det(ABC) = \det(A)\det(B)\det(C)$ і якщо цей добуток ненульовий, то кожен детермінант у добутку ненульовий і тому кожна з цих матриць є оборотною.

Вправа$\PageIndex{42}$

Вирішіть, чи є це твердження істинним чи хибним: правило Крамера корисно для пошуку розв'язків систем лінійних рівнянь, в яких існує нескінченна сукупність розв'язків.

Відповідь

Помилкові.

Вправа$\PageIndex{43}$

Використовуйте правило Крамера, щоб знайти рішення $$\begin{aligned}x+2y&=1 \\ 2x-y&=2\end{aligned}$$

Відповідь

Рішення полягає в:$[x = 1, y = 0]$

Вправа$\PageIndex{44}$

Використовуйте правило Крамера, щоб знайти рішення $$\begin{array}{c}x+2y+z=1 \\ 2x-y-z=2 \\ x+z=1\end{array}\nonumber$$

Відповідь

Рішення таке:$[x = 1, y = 0,z = 0]$. Наприклад, $$y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&-1\\1&1&1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&-1&-1\\1&0&1\end{array}\right|}=0\nonumber$$